Luận văn Functional calculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt

Nội dung tài liệu: Luận văn Functional calculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC ĨS TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC ĨS TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LÍI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luªn v«n tèt nghi»p do ch½nh tôi thực hi»n dưới sự hướng d¨n khoa học cõa TS. Tr¦n Tr½ Dũng. C¡c nëi dung nghi¶n cùu và k¸t qu£ tham kh£o trong luªn v«n được tr½ch d¨n và li»t k¶ đ¦y đủ trong mục Tài li»u tham kh£o. Thành phè Hồ Ch½ Minh, ngày 30 th¡ng 09 n«m 2019 PHẠM HỮU HIỆP
4. LÍI CẢM ƠN Hai n«m qua thªt sự là kho£ng thời gian không h· d¹ dàng đối c¡c b¤n sinh vi¶n mới ra trường khi ph£i cè g­ng hoàn thành tèt c¡c nhi»m vụ ở cơ quan và công vi»c học tªp, kº c£ tôi. Có thời điºm công vi»c nhi·u đến néi tưởng chøng s³ không thº ti¸p tục con đường học v§n. Nhưng, "Khó kh«n rồi s³ qua đi. Gièng như cơn mưa ngoài cûa sê, có t¦m t¢ cỡ nào rồi cuèi cùng cũng s³ trời quang m¥y t¤nh". Để vượt qua nhúng khó kh«n §y, tr¶n con đường tôi đi luôn có sự đồng hành cõa gia đình, Th¦y Cô và b¤n b±. T¤i trường Đại học Sư Ph¤m TP. HCM, tôi được học tªp r§t nhi·u điều bê ½ch v· chuy¶n môn, và đôi lúc được mở mang th¶m v· nhúng ki¸n thùc x¢ hëi. Tr¶n h¸t, tôi c£m nhªn được sự nhi»t t¼nh, tªn t¥m cõa c¡c Th¦y Cô gi£ng vi¶n, c¡c Th¦y Cô ở pháng sau đại học, đội ngũ nh¥n vi¶n cõa trường nói chung và c¡c Th¦y Cô khoa To¡n - Tin học nói ri¶ng. Tôi xin gûi lời c£m ơn ch¥n thành đến c¡c Th¦y Cô v¼ sự nhi»t t¼nh, tªn t¥m này. Thời gian thực hi»n luªn v«n có l³ là thời gian khó kh«n và đầy ¡p lực đối với ri¶ng tôi. Nhưng may m­n thay, b¶n tôi luôn có sự õng hë, động vi¶n cõa gia đình, người th¥n và b¤n b±. C£m ơn Cha, Mẹ, Anh em trai là ché dựa tinh th¦n vúng ch­c, luôn b¶n tôi nhúng lúc khó kh«n, b¸ t­c nh§t cõa cuëc đời. C£m ơn c¡c b¤n cõa tôi đã ngồi nghe nhúng t¥m sự nhàm ch¡n, đã để tôi gi£i tỏa nhúng c«ng th¯ng mà không ph£i do m¼nh g¥y ra. C£m ơn c¡c anh chị, b¤n b± đồng môn đã cùng tôi bước qua hai n«m học đầy gian nan và nhi·u thû th¡ch. Tôi cũng xin gûi lời c£m ơn đến quý Th¦y Cô ở trường THPT Chuy¶n Ti·n Giang đã luôn t¤o điều ki»n tèt nh§t để tôi ti¸p tục con đường học v§n. C£m ơn Th¦y Nguy¹n Trọng Nghĩa với nhúng lời d¤y, kinh nghi»m vô cùng quý b¡u v· c¡ch vi¸t và b£o v» luªn v«n. Đặc bi»t, tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c và ch¥n thành nh§t đ¸n Th¦y hướng d¨n khoa học, TS. Tr¦n Tr½ Dũng, gi£ng vi¶n khoa To¡n - Tin học, trường Đại học Sư Ph¤m TP. HCM đã tªn t¼nh hướng
5. d¨n, có nhúng định hướng, góp ý vô cùng quý b¡u để tôi có thº điều ch¿nh luªn v«n kịp thời. Nh¥n đây, tôi cũng xin gûi lời c£m ơn đến t¡c gi£ cõa nhúng tài li»u đã tham kh£o. Trong qu¡ tr¼nh thực hi»n đề tài, tôi đã dành nhi·u né lực, t¥m huy¸t và h¸t sùc nghi¶m túc trong nghi¶n cùu. Tuy nhi¶n, đề tài này thªt sự mới m´ và do nhúng h¤n ch¸ v· mặt ki¸n thùc, thời gian cũng như kh£ n«ng ti¸p cªn nguồn tư li»u, luªn v«n khó tr¡nh khỏi nhúng thi¸u sót, r§t mong nhªn được sự góp ý cõa quý Th¦y Cô và c¡c b¤n đồng môn. Mët l¦n núa, xin c£m ơn t§t c£ mọi người, chúc mọi người thªt nhi·u sùc khỏe và thành công trong cuëc sèng! Thành phè Hồ Ch½ Minh, ngày 30 th¡ng 09 n«m 2019 PHẠM HỮU HIỆP
6. Mục lục Mở đầu 1 1 Ki¸n thùc chu©n bị 5 1.1 Têng trực ti¸p cõa c¡c không gian Banach . . . . . . . . . . . . . .5 1.2 Đại sè Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2 To¡n tû không bị chặn 10 2.1 To¡n tû đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Functional calculus cho to¡n tû đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Functional calculus cho to¡n tû qu¤t 16 3.1 To¡n tû qu¤t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Không gian c¡c hàm ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 The natural functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.1 Functional calculus theo t½ch ph¥n lo¤i Cauchy . . . . . . . 30 3.3.2 The natural functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Mët sè t½nh ch§t kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.4 Luªt hñp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Sự mở rëng thông qua điều ki»n phê . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.1 Trường hñp A đơn ¡nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.2 Trường hñp 0 2 ρ(A) ...................... 48 3.5 T½nh bị chặn và x§p x¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7. 3.5.1 X§p x¿ qu¤t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.2 T½nh bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.3 T½nh x§p x¿ cõa c¡c hàm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.4 Kỹ thuªt x§p x¿ cõa McIntosh . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6 T½nh bị chặn cõa H1-Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.1 Định lý v· t½nh bị chặn cõa Functional calculus . . . . . . 59 3.6.2 T½nh duy nh§t cõa Functional calculus . . . . . . . . . . . 61 K¸t luªn và ki¸n nghị 63 Tài li»u tham kh£o 64
8. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU I To¡n tû đồng nh§t A Bao đóng cõa to¡n tû A A−1 To¡n tû kh£ nghịch cõa to¡n tû A An Lũy thøa tự nhi¶n cõa to¡n tû A C1 Mặt ph¯ng phùc mở rëng D(A) Mi·n x¡c định cõa to¡n tû A R(A) Mi·n gi¡ trị cõa to¡n tû A N (A) H¤t nh¥n cõa to¡n tû A C(X; Y ) Không gian c¡c to¡n tû đóng tø X vào Y C(X) Không gian c¡c to¡n tû đóng tø X vào X L(X; Y ) Không gi¡c c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh bị chặn tø X vào Y L(X) Không gian c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh bị chặn tr¶n không gian Banach X ρ(A) Tªp gi£i thùc cõa to¡n tû A σ(A) Phê cõa to¡n tû A σ~(A) Phê mở rëng cõa to¡n tû A R (·;A) Ánh x¤ gi£i thùc cõa to¡n tû A S! H¼nh qu¤t với góc 2! đối xùng qua trục thực S!0 (0;R) Tªp hñp S!0 \ B(0;R) 0 0 S!0 (" ; 1) Tªp hñp S!0 nB (0;" ) O (Ω) Không gian c¡c hàm ch¿nh h¿nh tr¶n tªp mở Ω ⊂ C Oc (S') Không gian c¡c hàm ch¿nh h¼nh tr¶n S' và bị chặn tr¶n tªp S' \ fr ≤ jzj ≤ Rg với 0 < r < R < 1 A (S') Lớp c¡c hàm The natural functional calculus cho c¡c to¡n tû qu¤t [ A [S!] A (S') '>! B (S') Lớp c¡c hàm The natural functional calculus cho to¡n tû qu¤t đơn ¡nh
9. [ B [S!] B (S') '>! C (S') Lớp c¡c hàm The natural functional calculus cho c¡c to¡n tû qu¤t kh£ nghịch [ C [S!] C (S') '>! R1 (Ω) Không gian c¡c hàm húu tỷ bị chặn tr¶n Ω 1 R0 (Ω) Không gian c¡c hàm húu tỷ bị chặn tr¶n Ω và tri»t ti¶u t¤i 1 1 H (Ω) Không gian c¡c hàm ch¿nh h¼nh bị chặn tr¶n tªp mở Ω ⊂ C1 C (Ω) Không gian c¡c hàm li¶n tục tr¶n không gian compact địa phương Ω C0 (Ω) Không gian c¡c hàm li¶n tục tri»t ti¶u t¤i 1 tr¶n không gian compact địa phương Ω ◦ A(K) Không gian c¡c hàm li¶n tục tr¶n K ⊂ C1 và ch¿nh h¼nh tr¶n K !A Góc phê cõa to¡n tû qu¤t A A" X§p x¿ qu¤t cõa to¡n tû A DR (S') Lớp Dunford-Riesz tr¶n góc qu¤t S' [ DR [S'] DR (S') '>! DR0 (S') Không gian c¡c hàm ch¿nh tr¶n S' \ f0g và t­t d¦n đ·u t¤i 1 DRext (S') Lớp Dunford-Riesz mở rëng tr¶n góc qu¤t S' [ DRext [S'] DRext (S') '>! t Ph²p d¢n cõa hàm với h» sè t dương a;b Hàm sè được sû dụng trong kĩ thuªt x§p x¿ McIntosh Sect (!) Lớp c¡c to¡n tû qu¤t với góc ! tr¶n không gian Banach X z τ Hàm (1 + z)2 −1 −1 ΛA To¡n tû τ(A) = (1 + A)A (1 + A) Γ' Bi¶n định hướng dương cõa góc qu¤t S' Γϕ,δ Bi¶n định hướng dương cõa cõa S' [ Bδ(0) 0 0 C (f; ! ) H¬ng sè đặc trưng, x¡c định bởi f 2 DRext (S') và ! < '
10. Mở đầu X²t tr¶n không gian Banach X = C[0; 1] c¡c hàm li¶n tục nhªn gi¡ trị phùc tr¶n kho£ng đơn vị. Méi hàm f 2 X x¡c định mët to¡n tû tuy¸n t½nh bị chặn Mf = (g 7! fg): C[0; 1] ! C[0; 1] tr¶n X gọi là to¡n tû hñp thành li¶n k¸t với f. Phê cõa nó là mi·n gi¡ trị
    f[0; 1] cõa f. Cho mët hàm li¶n tục tùy ý : σ Mf ! C, ta x²t to¡n tû hñp thành M ◦f li¶n k¸t với ◦ f. Điều này cho ta mët đồng c§u đại sè (algebra homomorphism)
    
    
    Φ = 7! M ◦f : C σ Mf !L(X): −1
    
    
    Do ta có Φ(z) = Mf và Φ (λ − z) = R λ, Mf với λ 2 ρ Mf và to¡n tû Φ( ) đơn gi£n là hñp thành bởi (f(z)), ta nói r¬ng Φ( ) thu được b¬ng c¡ch "ch±n" to¡n tû Mf vào hàm và vi¸t (f(z)) = Φ ( ). Têng qu¡t v½ dụ này thành không gian Banach X = C0 (R), ta nhªn th§y r¬ng t½nh bị chặn cõa to¡n tû không ph£i là y¶u c¦u cèt y¸u. Ý tưởng trực gi¡c v· Functional calculus là méi to¡n tû A đóng tr¶n không gian Banach X tương ùng với mët đại sè cõa c¡c hàm phùc tr¶n phê cõa nó, trong đó to¡n tû A có thº được ch±n mët c¡ch hñp lý. T½nh hñp lý ở đây có nghĩa là ½t nh§t (A) có ý nghĩa mong đợi vào điều ta mong muèn, v½ dụ n¸u λ 2 ρ(A) th¼ ta mong muèn (λ − z)−1 (A) = R(λ, A) hoặc n¸u A sinh ra mët nûa nhóm (semigroup) T th¼ etz(A) = T (t). Ánh x¤ thu được 7! (A) được gọi là mët Functional calculus với A. Nhưng đáng ti¸c, m¢i cho đến n«m 2003 không có sự ch½nh thùc hóa têng thº cõa ý tưởng này. Điều tèt 1