Luận văn Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và ứng dụng

Nội dung tài liệu: Luận văn Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và ứng dụng

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đào Thị Thu Hường VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đào Thị Thu Hường VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các nội dung và kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác. Tác giả Đào Thị Thu Hường
4. LỜI CẢM ƠN Lời nói đầu tiên, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến với thầy PGS TS. Mỵ Vinh Quang, người đã nhận hướng dẫn tôi, người đã giúp đỡ tôi rất rất nhiều trong việc làm quen với công việc nghiên cứu và tận tình chỉ dạy, động viên tôi hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tôi xin trân trọng cảm ơn đến thầy TS. Trần Huyên – Người cho tôi con đường yêu môn Đại số và quyết tâm theo đuổi ngành Đại số và lý thuyết số. Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu và các thầy cô trong tổ Toán của Trường TH, THCS, THPT Ngô Thời Nhiệm Quận 9 TP.HCM nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - Tin của Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học. Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng Khóa 27 đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là bạn Nguyễn Thanh Ngọc lớp LL&PPDHBM Toán đã đồng hành, động viên tôi cùng học tập . Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đến bố mẹ ruột, ba mẹ chồng, chồng và anh em tôi đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Đặc biệt là cảm ơn con gái đã thức cùng mẹ trong những ngày mẹ ôn bài thi. Tôi xin chân thành cảm ơn. Đào Thị Thu Hường
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 Chương 1. VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC ..................... 3 1.1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức ............................................................. 3 1.2. Căn và lũy thừa hữu tỷ ............................................................................... 5 1.3. Đạo hàm hình thức ..................................................................................... 7 1.4. Một số công thức ........................................................................................ 8 1.5. Hàm sinh của dãy số ................................................................................... 9 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC – HÀM SINH ....................................... 10 2.1. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số. ...... 10 2.2. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giải các bài toán đếm. ......................................................................................................... 17 2.3. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức trong việc chứng minh các công thức tổ hợp. .............................................................................. 24 2.4. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giải một số bài toán bậc phổ thông. ......................................................................................... 27 KẾT LUẬN ................................................................................................... 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 33
6. 1 MỞ ĐẦU Trong toán học, việc sử dụng các kiến thức toán cao cấp để giải quyết các bài toán ở phổ thông là điều rất quan trọng. Nó không chỉ giúp người làm toán có nhiều phương pháp lựa chọn lời giải, mở rộng tầm hiểu biết toán học mà còn phát huy được sự thông minh và sự sáng tạo, tầm bao quát toán, mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Như chúng ta đã biết các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và toán giải tích. Khi tiếp cận vấn đề này các em học sinh giỏi, sinh viên và khá nhiều thầy cô giáo phổ thông thường phải đối mặt với rất nhiều bài toán khó và lúng túng khi tìm cách giải. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường Đại học, cao đẳng, các bài toán liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thường rất khó, đòi hỏi người học, người làm toán phải có tầm hiểu biết rộng và rất sâu sắc các kiến thức về dãy số và chuỗi mới đưa ra các phương pháp giải toán hay và hoàn thiện được bài toán. Để phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học tập, nghiên cứu các bài toán về dãy số, các bài toán tổ hợp, các bài toán trong lý thuyết số Vành n các chuỗi lũy thừa hình thức  axn đã tỏ ra rất có ích và nó là một công cụ n 0 hữu hiệu để giải quyết các vấn đề trên. Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mỵ Vinh Quang, tác giả đã quyết định chọn đề tài luận văn :” Vành các chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng ”. Nội dung luận văn gồm có 2 chương: Chương 1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức.
7. 2 Trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và hàm sinh. Chương 2. Một số ứng dụng của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và hàm sinh. Trình bày cách ứng dụng của vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giảiquyết các bài toán về dãy số, các bài toán tổ hợp, các bài toán trong lý thuyết số, các bài toán sơ cấp Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp từ quý thầy cô và đọc giả.
8. 3 Chương 1. VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 1.1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức Ký hiệu vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến trên trường là: 2 i  xaaxaxa 01 2 ...iii  axa  . i 0  i 0 Mỗi phần tử f x , fax  i với x 1, được gọi là một chuỗi lũy i 0 thừa hình thức của biến x với các hệ tử thuộc . Để biến x thành một vành giao hoán có đơn vị ta cần các phép toán sau: nn Cho f axnn, g bx  x ta định nghĩa nn fg abnnn ,  0;1;...và n fg  ann bx n n fg  cnn x c a knk b . 1.1.1 nk Để thuận tiện, ta kí hiệu 0 cho chuỗi luỹ thừa với tất cả các hệ số bằng 0 và 1 cho chuỗi luỹ thừa 1 0.xx 0.2 ... và gọi chúng tương ứng là (chuỗi luỹ thừa) “không” và “đơn vị”. Một cách tổng quát hơn, với hằng số  , ta vẫn giữ kí hiệu cho chuỗi luỹ thừa hình thức  0.xx 0.2 .... Cuối cùng, ta kí hiệu A cho chuỗi luỹ thừa nhận được từ A bằng cách đổi dấu hệ số của nó. Nói rằng x là một vành giao hoán có đơn vị, có nghĩa là các phép toán ” + “ và ” . “ trên x có các tính chất sau đây và việc kiểm tra là rất đơn giản: với mọi A Ax , B Bx , C Cx  x ,
9. 4 100AAA 2 AB BA 30AA AA 4 A BCABC 5.11.AAA 6.AB BA . 7..AB C A .. BC 8.AB C ABAC . . 9.00.0AA Lưu ý rằng các đẳng thức (4), (7) nói rằng các phép toán ‘’+, . “ có tính kết hợp, các đẳng thức (2), (6) nói rằng các phép toán “+” và “. “ là giao hoán. Tất cả các tính chất mà chúng ta nêu lên ở trên là các tính chất quen thuộc trên vành các đa thức x . Giống như với x , đẳng thức (9) có phát biểu đảo sau đây Mệnh đề 1.1.1. Nếu A, Bx   sao cho AB.0 thì hoặc A 0 hoặc B 0. Chứng minh. Thật vậy, giả sử AB 0, 0 . Gọi ab, tương ứng là các hệ số khác 0 với chỉ số nhỏ nhất của A và B . Thế thì ab.0 chính là hệ số 0 của AB với chỉ số nhỏ nhất. Nói riêng AB 0. Định nghĩa 1.1.2. Ta nói A x là khả nghịch nếu tồn tại Bx   sao cho AB 1. Phần tử B như vậy nếu tồn tại là duy nhất và được gọi là nghịch 1 1 đảo của A . Ta còn kí hiệu nghịch đảo của A bởi A hay . A Nói riêng, nếu A là khả nghịch thì A 0 . Mặt khác, nếu A là nghịch đảo của B thì B là nghịch đảo của A .
10. 5 Mệnh đề 1.1.3. Với các phép toán trên, x lập thành một vành giao hoán có đơn vị. Chứng minh. Việc kiểm tra các tiên đề của vành là thoả mãn.  i Định lý 1.1.4. Chuỗi lũy thừa hình thức f  axi là khả nghịch khi và chỉ i 0 khi a0 0. Chứng minh. 1 n Giả sử f có nghịch đảo, nghĩa là bxn f n 0 Khi đó ff.1/ 1 và theo (1.1.1) ta có cab000 1. vì thế a0 0. Hơn nữa, trong trường hợp này (1.1.1) cho ta biết rằng với nc 1, nknk 0  ab , từ đó ta tìm được k 1 babnnknk  1 1.1.2 a k 1 0 Điều này xác định bb12,,... duy nhất.  Ngược lại, giả sử a0 0 . Khi đó ta có thể xác định bb01,,... từ n (1.1.2), và kết quả chuỗi bxn là nghịch đảo của f .  n 1.2. Căn và lũy thừa hữu tỷ Cho A xx  có hệ số tự do bằng 1 và mn, là các số nguyên với 1 A x n n Ax B x n dương. Ta định nghĩa luỹ thừa hay là chuỗi luỹ thừa n với hệ số tự do bằng 1 sao cho Bx Ax . Một cách tổng quát hơn, ta định