Luận văn Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai

Nội dung tài liệu: Luận văn Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai

1. TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH TRẦN THỊ LỤA ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẬC HAI Bë môn: To¡n lý MSSV: 41.01.102.059 KHÂA LUẬN TÈT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. LƯƠNG LÊ HẢI Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2019
2. LÍI MÐ ĐẦU Để khóa luªn đ¤t k¸t qu£ như hôm nay, trong qu¡ tr¼nh b­t đầu và hoàn thi»n em đã nhªn được r§t nhi·u sự giúp đỡ tø quý th¦y cô, b¤n b± và gia đình. Em xin gûi lời c£m ơn ch¥n thành đến: Đầu ti¶n là th¦y Lương L¶ H£i - gi£ng vi¶n định hướng và trực ti¸p hướng d¨n em trong suèt qu¡ tr¼nh làm khóa luªn. Th¦y luôn đồng hành giúp đỡ, động vi¶n, ch¿ d¨n tªn t¥m khi em gặp v§n đề khó hiºu. Ngoài ra, em cán nhªn được tø th¦y sự tự tin, kinh nghi»m sèng và ni·m đam m¶ nghi¶n cùu khoa học. Thù hai, c¡c th¦y, cô trong khoa Vªt Lý đã gi£ng d¤y, truy·n cho em nhúng ki¸n thùc chuy¶n môn n·n t£ng, kĩ n«ng, phương ph¡p để em có thº vúng bước vào ngh· trong tương lai. Cùng với đó là gia đình và b¤n b± th¥n thi¸t luôn b¶n c¤nh và giúp đỡ em trong thời gian qua. Mët l¦n núa em xin ch¥n thành c£m ơn. Tp.HCM, ngày 30 th¡ng 04 n«m 2019 Tr¦n Thị Lụa
3. PHẦN MÐ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay nhúng h» lượng tû ½t chi·u trong c¡c trường ngo¤i lực như điện trường hoặc tø trường được nghi¶n cùu và kh£o s¡t mët c¡ch m¤nh m³ trong c¡c qu¡ tr¼nh như quang ion hóa, t¡i hñp c¡c nguy¶n tû và ph¥n tû, chuyºn dịch bùc x¤ cõa c¡c tr¤ng th¡i Rydberg cõa nguy¶n tû trong c¡c b¨y quang tø [1–3], khu¸ch t¡n lượng tû tr¶n b· mặt cõa c¡c ph¥n tû [4] hay truy·n ¡nh s¡ng trong c¡c èng quang d¨n rời r¤c không đều [5], [6]. Mô h¼nh to¡n học cõa c¡c qu¡ tr¼nh tr¶n là nhúng bài to¡n bi¶n có chùa phương tr¼nh Schrodinger, mët phương tr¼nh cơ b£n đặc trưng cho tr¤ng th¡i cõa mët h» lượng tû b§t k¼ (c¡c h¤t cơ b£n như electron, proton, h¤t nh¥n, nguy¶n tû, ph¥n tû v.v..) hoặc h» phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng bªc hai d¤ng Elip trong mi·n vô h¤n với nhúng hàm th¸ n«ng kh¡c nhau. Đã có mët sè công tr¼nh khoa học đưa ra nhúng chương tr¼nh dựa tr¶n c¡c sơ đồ t½nh to¡n b¬ng phương ph¡p sè và gi£i t½ch kh¡c nhau để gi£i nhúng mô h¼nh to¡n học tr¶n với mục đích t¼m ra hàm sóng và n«ng lượng ri¶ng cõa h» lượng tû. C¡c chương tr¼nh này được vi¸t tr¶n c¡c chương tr¼nh ph¦n m·m t½nh to¡n như Mathcad, Mathematica. Tuy nhi¶n sè lượng c¡c công tr¼nh như vªy cán kh¡ ½t và k¸t qu£ cõa nhúng công tr¼nh ch¿ đưa ra nhúng chương tr¼nh t½nh to¡n mët c¡ch sơ bë, rời r¤c và ch¿ ¡p dụng cho mët vài phương ph¡p đơn gi£n với nhi·u l½ do như sự h¤n ch¸ tèc độ vªn hành cõa méi ph¦n m·m, m¢ code chưa được chu©n, hoặc sự h¤n ch¸ v· mặt t½nh to¡n sè học hay v³ đồ thị v.v.. V¼ vªy vi»c x¥y dựng và ¡p dụng nhúng chương tr¼nh dựa tr¶n nhúng phương ph¡p mới để kh£o s¡t nhúng mô h¼nh lưñng tû phùc t¤p là mët nhi»m vụ c¦n thi¸t và quan trọng đối với nhúng người nghi¶n cùu khoa học, đặc bi»t là trong lĩnh vực khoa học tự nhi¶n và kĩ thuªt. Trong khóa luªn này chúng tôi sû dụng chương tr¼nh có t¶n gọi "KANTBP 4M — A program for solving boundary problems of the self-adjoint system of ordinary second order differential equations " [7]. Đây là chương tr¼nh được bi¶n so¤n tr¶n ph¦n m·m Maple (Maplesoft) bởi c¡c cëng t¡c vi¶n khoa học ở Vi»n Li¶n hi»p H¤t nh¥n Dubna, Thành phè Dubna, Li¶n Bang Nga. Chương tr¼nh có chùa hơn 1000 m¢ code và thuªt to¡n phùc hñp được thº hi»n qua c¡c sơ đồ t½nh to¡n dựa tr¶n phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n [8] với đa thùc nëi suy Hermite [9] để kh£o s¡t c¡c mô h¼nh to¡n
4. 3 học được đơn gi£n hóa tø c¡c mô h¼nh vªt lý lưñng tû ½t chi·u phùc t¤p. 2. Đối tượng và phương ph¡p nghi¶n cùu Khóa luªn tr¼nh bày l¤i v­n t­t c¡ch chương tr¼nh gi£i c¡c bài to¡n b¬ng phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n và nëi dung bài to¡n trị ri¶ng, bài to¡n t¡n x¤. Tø đó, vªn dụng gi£i c¡c bài to¡n cụ thº tương ùng. 3. C§u trúc khóa luªn Khóa luªn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lý thuy¸t cõa chương tr¼nh KANTBP 4M Chương này gồm c¡c nëi dung như giới thi»u chương tr¼nh KANTBP 4M, bài to¡n trị ri¶ng và bài to¡n t¡n x¤, phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n, đa thùc nëi suy Hermite. Chương 2: Ứng dụng chương tr¼nh KANTBP 4M Vªn dụng chương tr¼nh KANTBP 4M để kh£o s¡t c¡c bài to¡n trị ri¶ng và bài to¡n t¡n x¤ cho phương tr¼nh hoặc h» phương tr¼nh vi ph¥n.
5. Mục lục 1 Cơ sở lý thuy¸t cõa chương tr¼nh KANTBP 4M........5 1.1 Bài to¡n bi¶n, bài to¡n trị ri¶ng và phi¸m hàm bªc hai đối xùng..........................5 1.2 Mô t£ ng­n gọn c¡c d¤ng bài to¡n...........6 1.3 Sự h¼nh thành phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n cõa bài to¡n đại sè........................ 10 1.4 Đa thùc nëi suy Hermite................. 10 1.5 Sự h¼nh thành bài to¡n trị ri¶ng đại sè......... 14 1.6 Sơ đồ t½nh to¡n cõa bài to¡n t¡n x¤ nhi·u k¶nh.... 18 2 Ứng dụng cõa chương tr¼nh KANTBP 4M........... 22 2.1 Bài to¡n 1: Nghi»m cõa bài to¡n trị ri¶ng với phương tr¼nh Schrodinger cho dao động tû điều háa mët chi·u và phương tr¼nh xuy¶n t¥m cho dao động tû điều háa d – chi·u......................... 22 2.2 Bài to¡n 2: Nghi»m cõa bài to¡n trị ri¶ng cho h» phương tr¼nh với hàm th¸ không đổi li¶n tục tøng ph¦n.... 31 2.3 Bài to¡n 3: Nghi»m cõa bài to¡n t¡n x¤ nhi·u k¶nh cho h» phương tr¼nh với hàm th¸ không đổi li¶n tục tøng ph¦n............................. 36 2.4 Bài to¡n 4: Nghi»m cõa bài to¡n t¡n x¤ nhi·u k¶nh mô t£ sự truy·n qua rào th¸ cõa h» hai h¤t đồng nh§t với tương t¡c dao động.................... 40 K¸t luªn................................. 45 Tài li»u tham kh£o........................... 46
6. 5 1. Cơ sở lý thuy¸t cõa chương tr¼nh KANTBP 4M 1.1. Bài to¡n bi¶n, bài to¡n trị ri¶ng và phi¸m hàm bªc hai đối xùng Chương tr¼nh KANTBP 4M [7] là chương tr¼nh dùng để gi£i nhúng bài to¡n bi¶n và bài to¡n trị ri¶ng có chùa h» gồm N phương tr¼nh vi ph¥n thường T bªc hai đối với hàm sè chưa bi¸t (hàm ri¶ng) Φ(z) = (Φ1(z) :::; ΦN (z)) cõa bi¸n sè độc lªp z 2 Ω zmin; zmax b¬ng phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n [8]: (i)  1 d d (D − EI)Φ (z) ≡ − I fA(z) + V(z) fB(z) dz dz f (z) d 1 d f (z)Q(z)  + A Q(z) + A − EI Φ(z) = 0 (1.1) fB(z) dz fB(z) dz Với fB(z) > 0 và fA(z) > 0 là nhúng hàm li¶n tục hoặc li¶n tục tøng ph¦n mang gi¡ trị dương, I là ma trªn đơn vị, V(z) là ma trªn đối xùng, Vij(z) = Vji(z) và Q(z) là ma trªn ph£n xùng, Qij(z) = −Qji(z) cõa th¸ hi»u dụng có k½ch thước N × N. C¡c ph¦n tû cõa c¡c ma trªn này là nhúng h» sè li¶n tục hoặc li¶n tục tøng ph¦n mang gi¡ trị thực hoặc phùc thuëc s≥1 không gian Sobolev H2 (Ω), với điều ki»n tồn t¤i c¡c nghi»m b§t thường thỏa m¢n c¡c điều ki»n bi¶n thu¦n nh§t: Dirichlet (lo¤i I) hoặc Neumann (lo¤i II) hoặc lo¤i III t¤i c¡c điểm bi¶n trong kho£ng z 2 zmin; zmax với gi¡ trị được cho s®n cõa c¡c ph¦n tû thuëc ma trªn thực hoặc phùc R(zt) có k½ch thước N × N. (I) : Φ(zt) = 0; t=min và (hoặc) max (1.2)  d  (II) : lim fA(z) I − Q(z) Φ(z) = 0; t=min và (hoặc) max (1.3) z!zt dz  d   (III) : I − Q(z) Φ(z) = R(zt)Φ(zt); t=min và (hoặc) max(1.4) dz z=zt s≥1 Nghi»m Φ(z) 2 H2 (Ω) cõa c¡c bài to¡n bi¶n (1.1)–(1.4) được rút gọn theo ph²p t½nh to¡n sè học c¡c điểm døng cõa phi¸m hàm bªc hai đối xùng
7. 6 b¬ng c¡ch sû dụng phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n. Z zmax Ξ(Φ; E; zmin; zmax) ≡ Φ.(z)(D − EI)Φ(z)dz zmin = Π(Φ; E; zmin; zmax) − f A(zmax)Φ.(zmax)G(zmax)Φ(zmax) + f A(zmin)Φ.(zmin)G(zmin)Φ(zmin) (1.5) max Z z  dΦ.(z) dΦ(z) Π(Φ; E; zmin; zmax) = f A(z) + f B(z)Φ.(z)V(z)Φ(z) zmin dz dz dΦ(z) dΦ(z). + f AΦ.(z)Q(z) − f A(z) Q(z)Φ(z) dz dz  − f B(z)EΦ.(z)Φ(z) dz (1.6) Với G(z) = R(z) − Q(z) là ma trªn đối xùng có k½ch thước N × N, d§u . là ho¡n vị T hoặc li¶n hñp Hermite y, tùc là chuyºn vị với li¶n hñp phùc phụ thuëc vào lo¤i bài to¡n c¦n gi£i. 1.2. Mô t£ ng­n gọn c¡c d¤ng bài to¡n X²t 2 d¤ng bài to¡n bi¶n cơ b£n: Bài to¡n t¡n x¤ nhi·u k¶nh Tr¶n trục z 2 (−∞; +1) với gi¡ trị n«ng lượng không đêi E = <E, (i) N (i) (i) nghi»m c¦n t¼m ở d¤ng ma trªn Φ(z) ≡ fΦv (z)gi=1, Φv (z) = (Φ1v (z);:::; (i) T 1 ΦNv(z)) , Φ(z) 2 W2(Ωz) (ch¿ sè dưới v l§y gi¡ trị ! hoặc và có nghĩa là hướng ban đầu cõa sóng tới là tø tr¡i sang ph£i hoặc tø ph£i sang tr¡i h¼nh 1:1) cõa bài to¡n bi¶n (1.1) dành cho h» N phương tr¼nh vi ph¥n thường bªc hai trong kho£ng z 2 [zmin; zmax] được t½nh b¬ng code cõa chương tr¼nh [13,14]. C¡c nghi»m ở d¤ng ma trªn này ph£i thỏa m¢n điều ki»n bi¶n thu¦n nh§t lo¤i III (1.4) t¤i c¡c điểm bi¶n trong kho£ng z 2 [zmin; zmax] với ti»m cªn có d¤ng "sóng tới + sóng truy·n qua" trong c¡c k¶nh mở i = 1;:::;No:
8. 7 l )o (z o rf ) )m (z o rf ) )l o o rf )m o rf ( ) ( ) l  l l  l X (z ) X (z ) o o m m ( ) (+) ( ) (+)   X(z ) R o X(z ) T o X(z ) T m X(z ) R m z  0 z ! 0 z  0 z ! 0  !  ! H¼nh 1.1: Sơ đồ biºu di¹n nghi»m cõa bài to¡n t¡n x¤ với ti»m cªn có d¤ng "sóng tới + sóng ph£n x¤ và sóng truy·n qua" trong c¡c k¶nh mở. 88 (+) max ><X (z)Tv; z 2 [z ; +1); > v =!; > (+) (−) min <>:X (z) + X (z)Rv; z 2 (−∞; z ]; Φv(z ! ±∞) = 8 (−) (+) max ><X (z) + X (z)Rv; z 2 [z ; +1); > v = ; > (−) min :>:X (z)Tv; z 2 (−∞; z ]; (1.7) Trong đó Tv và Rv là ma trªn chú nhªt và ma trªn vuông chưa bi¸t cõa bi¶n độ truy·n qua và ph£n x¤ tương ùng, để thành lªp ma trªn t¡n x¤ S có L R k½ch thước No × No, No = No + No : ! R T S = ! ; SyS = SyS = I (1.8) T! R là ma trªn đối xùng và đơn nh§t trong trường hñp hàm th¸ n«ng có gi¡ trị thực. Đối với bài to¡n t¡n x¤ nhi·u k¶nh tr¶n b¡n trục z 2 [zmin; +1) hoặc z 2 (−∞; zmax], nghi»m ở d¤ng ma trªn c¦n t¼m Φ(z) cõa bài to¡n bi¶n dành cho h» N phương tr¼nh vi ph¥n thường bªc hai (1.1) được t½nh trong kho£ng z 2 [zmin; zmax]. C¡c nghi»m cõa ma trªn này ph£i thỏa m¢n điều ki»n bi¶n thu¦n nh§t lo¤i III (1.4) t¤i điểm bi¶n zmax hoặc zmin cõa kho£ng đang x²t, với ti»m cªn cõa lo¤i "sóng tới + sóng truy·n qua" trong c¡c k¶nh mở i = 1;:::;No: (−) (+) max Φ (z ! +1) = X (z) + X (z)R ; z 2 [z ; +1) (1.9) (+) (−) min hoặc Φ!(z ! −∞) = X (z) + X (z)R!; z 2 (−∞; z ] và thỏa m¢n điều ki»n bi¶n thu¦n nh§t (1.2)–(1.4) t¤i điểm bi¶n zmin hoặc
9. 8 max z để thành lªp ma trªn t¡n x¤ S = R hoặc S = R! là ma trªn đối xùng và đơn nh§t trong trường hñp hàm th¸ n«ng có gi¡ trị thực. Trong nghi»m cõa bài to¡n t¡n x¤ nhi·u k¶nh c¡c k¶nh đóng cũng được x²t. Trong trường hñp này điều ki»n ti»m cªn (1.7),(1.9) có d¤ng: 8 (!) (c) c max as <Xmax(z)T! + Xmax(z)T!; z ≥ z Φ! = (1.10) (!) ( ) (c) c min :Xmin (z) + Xmin (z)R! + Xmin(z)R!; z ≤ z 8 ( ) (!) (c) c max as <Xmax(z) + Xmax(z)R + Xmax(z)R ; z ≥ z Φ = (1.11) ( ) (c) c min :Xmin (z)T + Xmin(z)T ; z ≤ z (!) (+) max (!) (+) min trong đó Xmax(z) = X (z); z ≥ z ; Xmin (z) = X (z); z ≤ z ; ( ) (−) min ( ) Xmin (z) = X (z); z ≤ z trong phương tr¼nh (1.10) và Xmax(z) = (−) max (!) (+) max ( ) (−) X (z); z ≥ z ; Xmax(z) = X (z); z ≥ z ; Xmin (z) = X (z); z ≤ zmin trong phương tr¼nh (1.11). Gi£ sû c¡c sè h¤ng ch½nh cõa c¡c nghi»m ti»m cªn X(±)(z) cõa bài to¡n bi¶n t¤i z ≤ zmin và (hoặc) z ≥ zmax có d¤ng như sau: t trong c¡c k¶nh mở Vioio < E th¼ nghi»m dao động: exp(±{pt z) X± (z) ! io δ ; ioj p t ioj fA(z)pi s f (zt)q pt = B E − V t j = 1; : : : ; N; i = 1;:::;N ; (1.12) io t ioio o o fA(z ) t trong c¡c k¶nh đóng Vicic ≥ E th¼ nghi»m gi£m theo hàm sè mũ: 1 Xc (z) ! exp(−pt jzj)δ ; icj p ic icj fA(z) s f (zt)q pt = B V t − E j = 1; : : : ; N; i = N + 1; : : : ; N: (1.13) ic t icic c o fA(z ) C¡c h» thùc này trở n¶n đúng đắn n¸u c¡c h» sè cõa phương tr¼nh đối với z ≤ zmin và (hoặc) z ≥ zmax thỏa m¢n điều ki»n dưới đây: t fA(z) fA(z ) t t = t + o(1); t = min; max;Vii(z) = Vii + o(1);Vij(z) = o(1); fB(z) fB(z ) t Qij = o(1); i =6 j: (1.14)
10. 9 Bài to¡n trị ri¶ng Chương tr¼nh KANTBP 4M t½nh to¡n mët bë M trị ri¶ng n«ng lượng E : <E1 ≤ <E2 ≤ ::: ≤ <EM và bë hàm ri¶ng tương ùng Φ(z) ≡ m M m (m) (m) T 2 fΦ (z)gm=1; Φ (z) = (Φ1 (z);:::; ΦN (z)) thuëc không gian H2 đối với h» N phương tr¼nh vi ph¥n thường bªc hai (1.1). C¡c hàm ri¶ng này ph£i thỏa m¢n điều ki»n bi¶n thu¦n nh§t: lo¤i I và (hoặc) lo¤i II hay lo¤i III ((1.2)–(1.4)) t¤i c¡c điểm bi¶n thuëc kho£ng z 2 [zmin; zmax]. Trong trường hñp hàm th¸ n«ng có gi¡ trị thực, nghi»m ph£i thỏa m¢n điều ki»n chu©n hóa và trực giao: Z zmax (m) (m0) (m) y (m0) = fB(z)(Φ (z)) Φ (z)dz = δmm0 (1.15) zmin và phi¸m hàm bªc hai đối xùng (1.5) tương ùng được sû dụng, trong đó d§u . là li¶n hñp Hermite y c¦n thi¸t cho t½nh rời r¤c cõa bài to¡n khi dùng phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n. Trong trường hñp, hàm th¸ n«ng có gi¡ trị phùc, nghi»m ph£i thỏa m¢n điều ki»n chu©n hóa và trực giao: Z zmax (m) (m0) (m) T (m0) = fB(z)(Φ (z)) Φ (z)dz = δmm0 (1.16) zmin và phi¸m hàm bªc hai đối xùng (1.5) tương ùng được sû dụng, trong đó . là chuyºn vị T c¦n cho t½nh rời r¤c cõa bài to¡n khi dùng phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n. Để gi£i bài to¡n giới h¤n tr¶n trục hoặc nûa trục sè, bài to¡n ban đầu được x§p x¿ b¬ng bài to¡n bi¶n (1.1)–(1.4) tr¶n kho£ng giới h¤n z 2 [zmin; zmax] với c¡c điều ki»n bi¶n lo¤i III (1.4) với ma trªn R(zt) đã cho phụ thuëc vào trị ri¶ng E chưa bi¸t và mët bë trị ri¶ng, hàm ri¶ng x§p x¿ được t½nh to¡n. N¸u ma trªn R(zt) phụ thuëc vào trị ri¶ng E chưa bi¸t khi đó R(zt;E) được x¡c định b¬ng khai triºn ti»m cªn đã bi¸t cõa nghi»m c¦n t¼m. Trong trường hñp đó, để t½nh trị ri¶ng và hàm ri¶ng x§p x¿ trong chương tr¼nh th¼ sơ đồ lặp cõa Newton được triºn khai để t½nh to¡n. Sự x§p x¿ th½ch hñp ban đầu được chọn tø nghi»m đã t½nh trước đó với điều ki»n bi¶n phụ thuëc vào E.