Luận văn Sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị

Nội dung tài liệu: Luận văn Sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị

1. 1 BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH DƯƠNG THÙY TRANG SỰ KHẢ VI FRÉCHET CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuy¶n ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Gi£ng vi¶n hướng d¨n: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH - 2018
2. 2 Mục lục Lời mở đầu 4 1 Ánh x¤ đa trị 7 1.1 Ánh x¤ đa trị, c¡c kh¡i ni»m cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 T½nh li¶n tục cõa ¡nh x¤ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Ánh x¤ affine 11 2.1 Định nghĩa, t½nh ch§t cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Ánh x¤ li¶n hñp cõa ¡nh x¤ đa trị affine . . . . . . . . . . . 15 2.3 Qu¡ tr¼nh tuy¸n t½nh li¶n k¸t với ¡nh x¤ đa trị affine . . . . 20 2.4 Mët vài t½nh ch§t kh¡c cõa ¡nh x¤ đa trị affine . . . . . . . . 22 2.5 Ánh x¤ đa trị affine không mở rëng đưñc . . . . . . . . . . . 24 3 Sự kh£ vi Fr²chet 27 3.1 Định nghĩa, t½nh ch§t cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Sự kh£ vi cõa ¡nh x¤ và sự kh£ vi cõa hàm tựa cõa nó . . . . 30
3. 3 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luªn v«n th¤c sĩ To¡n học với đề tài Sự kh£ vi Fr²chet cõa ¡nh x¤ đa trị, do tôi thực hi»n với sự hướng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh cõa PGS. TS. Nguy¹n B½ch Huy, không sao ch²p cõa b§t cù ai. Nëi dung cõa luªn v«n có tham kh£o và sû dụng mët sè thông tin, tài li»u tø c¡c nguồn s¡ch, t¤p ch½ được li»t k¶ trong danh mục tài li»u tham kh£o. Tôi xin hoàn toàn chịu mọi tr¡ch nhi»m v· luªn v«n cõa m¼nh.
4. 4 Lời mở đầu Gi£i t½ch đa trị là mët hướng nghi¶n cùu tương đối mới mặc dù tø nhúng n«m 30 cõa th¸ k¿ XX, c¡c nhà to¡n học đã nhªn ra t¦m quan trọng cõa chúng. Sự ra đời cõa t¤p ch½ quèc t¸ "Set- Valued Analysis" vào n«m 1993 là mët mèc lớn trong qu¡ tr¼nh ph¡t triºn cõa hướng nghi¶n cùu này. Hơn núa, ¡nh x¤ đa trị được nghi¶n cùu có h» thèng trong To¡n học vào nhúng n«m 1950-1960, do nhu c¦u ph¡t triºn nëi t¤i cõa To¡n học cũng như do nhu c¦u mô t£ c¡c nghi¶n cùu mô h¼nh mới ph¡t sinh trong qu¡ tr¼nh ph¡t triºn cõa khoa học, kỹ thuªt. Chúng được ùng dụng rëng r¢i trong nghi¶n cùu c¡c bao hàm thùc vi ph¥n và t½ch ph¥n, L½ thuy¸t điều khiºn, Tèi ưu, Tin học l½ thuy¸t,... Cũng gièng như vi»c nghi¶n cùu c¡c ¡nh x¤ đơn trị phi tuy¸n được đưa v· nghi¶n cùu c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh là đạo hàm cõa chúng; trong nghi¶n cùu c¡c ¡nh x¤ đa trị, c¡c nhà To¡n học cũng muèn x§p x¿ chúng bởi c¡c ¡nh x¤ đơn gi£n hơn, gọi là đạo hàm cõa chúng. Có ba hướng ch½nh trong c¡ch ti¸p cªn kh¡i ni»m kh£ vi cõa ¡nh x¤ đa trị. Ð hướng nghi¶n cùu thù nh§t, ¡nh x¤ đa trị F được đồng nh§t với đồ thị gr F và đạo hàm cõa F t¤i điểm z0 thuëc gr F được định nghĩa là ¡nh x¤ đa trị mà đồ thị cõa nó là nón ti¸p xúc (theo mët nghĩa nào đó) với gr F t¤i z0: Trong hướng nghi¶n cùu thù hai, c¡c ¡nh x¤ đa trị được x²t như c¡c ¡nh x¤ đơn trị, nhªn gi¡ trị trong mët không gian được x¥y dựng th½ch hñp, có c§u trúc không gian vectơ tôpô và đạo hàm cõa ¡nh x¤ đơn trị tương ùng được l§y làm đạo hàm cõa ¡nh x¤ đa trị ban đầu. Hướng thù ba là sự mở rëng tự nhi¶n cõa phương ph¡p định nghĩa đạo hàm cõa ¡nh x¤ đơn trị. Theo hướng này, đầu ti¶n ta định nghĩa kh¡i ni»m “tiếp xúc” trong lớp A c¡c ¡nh x¤ được x²t và chọn lớp c¡c ¡nh x¤ “đơn giản” hơn c¡c ¡nh x¤ thuëc lớp A: Khi đó ¡nh x¤ F thuëc lớp A gọi là kh£ vi n¸u có mët ¡nh x¤ thuëc lớp B ti¸p xúc với F: Hướng nghi¶n cùu thù nh§t và thù hai v· sự kh£ vi cõa ¡nh x¤ đa trị đã được tr¼nh bày trong nhi·u s¡ch v· Gi£i t½ch đa trị, trong khi đó, hướng thù ba chưa được giới thi»u nhi·u. Do đó vi»c thực hi»n luªn v«n Th¤c sĩ v·
5. 5 hướng này là tự nhi¶n và c¦n thi¸t. Mục ti¶u cõa đề tài là giới thi»u hướng nghi¶n cùu sự kh£ vi Fr²chet cõa ¡nh x¤ đa trị theo sơ đồ x¥y dựng kh¡i ni»m kh£ vi cõa ¡nh x¤ đa trị. Luªn v«n s³ là tài li»u bê ½ch cho c¡c học vi¶n Cao học khi học c¡c học ph¦n Ph²p t½nh vi ph¥n, Gi£i t½ch phi tuy¸n,...
6. 6 Lời c£m ơn Trong qu¡ tr¼nh hoàn thành bài vi¸t này, tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đến PGS. TS. Nguy¹n B½ch Huy - Người đ¢ trực ti¸p tªn t¼nh hướng d¨n, ch¿ b£o và giúp đỡ tôi trong suèt thời gian vøa qua. Tôi xin gûi lời c£m ơn ch¥n thành đến t§t c£ quý Th¦y Cô trong khoa To¡n - Tin trường Đại học Sư Ph¤m thành phè Hồ Ch½ Minh đã tªn t¼nh gi£ng d¤y, giúp đỡ và n¥ng cao tr¼nh độ chuy¶n môn trong suèt qu¡ tr¼nh học cao học. Và cũng c£m ơn c¡c b¤n học vi¶n cao học K26 đã cùng chia s´ với tôi r§t nhi·u v· kinh nghi»m học tªp, r±n luy»n. Cuèi cùng xin gûi lời chúc sùc khỏe, h¤nh phúc và thành công đến quý th¦y cô, anh chị và c¡c b¤n trường Đại học Sư Ph¤m thành phè Hồ Ch½ Minh.
7. 7 Chương 1 Ánh x¤ đa trị 1.1 Ánh x¤ đa trị, c¡c kh¡i ni»m cơ b£n Cho X và Y là c¡c không gian vector định chu©n có sè chi·u húu h¤n tr¶n trường R:F : X ⇒ Y là ¡nh x¤ tø X vào tªp hñp gồm toàn bë c¡c tªp con cõa Y: Ta nói F là ¡nh x¤ đa trị tø X vào Y: Như vªy với méi x 2 X th¼ F (x) là mët tªp con cõa Y . Không lo¤i trø kh£ n«ng với mët sè ph¦n tû x nào đó mà F (x) là mët tªp réng. Ta s³ thường dùng ký hi»u F : X ⇒ Y để ch¿ F là ¡nh x¤ đa trị tø X vào Y . N¸u với méi x 2 X tªp F (x) ch¿ gồm đúng mët ph¦n tû cõa Y , th¼ ta nói F là ¡nh x¤ đơn trị tø X vào Y . Khi đó, thay cho ký hi»u F : X ⇒ Y người ta sû dụng ký hi»u quen thuëc F : X ! Y . V½ dụ 1.1. X²t phương tr¼nh đa thùc n n−1 n−2 x + a1x + a2x + ::: + an−1x + an = 0 Trong đó n 2 N là sè nguy¶n dương và ai 2 R (i = 1; 2; :::; n) là c¡c h» n sè thực. Quy t­c cho tương ùng méi vector a = (a1; :::; an) 2 R với tªp nghi»m, ký hi»u bởi F (a); cho ta mët ¡nh x¤ đa trị n F : R ⇒ C n tø không gian Euclide R vào tªp sè phùc C . Theo định lý cơ b£n cõa đại n sè, F (a) 6= ? với mọi a 2 R và n jF (a)j 6 n; 8a 2 R ; ở đó jF (a)j ký hi»u lực lượng cõa tªp hñp F (a): N¸u ta đồng nh§t méi sè 2 phùc x = u + iv 2 C với cặp sè thực (u; v) 2 R th¼ ta có ¡nh x¤ n 2 F : R ! R :
8. 8 K½ hi»u 1.1. Mi·n húu hi»u dom F và đồ thị gr F cõa ¡nh x¤ đa trị F đi tø X vào Y tương ùng được x¡c định b¬ng c¡c công thùc domF := f x 2 X : F (x) 6= ?g gr F := f(x; y) 2 X × Y : y 2 F (x)g C¡c ký hi»u đó có nguồn gèc tø hai chú ti¸ng Anh là “domain” và “graph”. n Với F là ¡nh x¤ đa trị trong v½ dụ 1.1 ta có dom F = R và  n n n−1 n−2 gr F = (a; x) 2 R × C : x + a1x + a2x + ::: + an−1x + an = 0 −1 Ánh x¤ ngược F : Y ⇒ X cõa ¡nh x¤ đa trị F : X ⇒ Y được x¡c định bởi công thùc F −1(y) = fx 2 X : y 2 F (x)g (y 2 Y ) Định nghĩa 1.1. Ánh x¤ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là đóng n¸u gr F là tªp đóng trong X × Y: Ánh x¤ đa trị G : X ⇒ Y được gọi là mët mở rëng (h¤n ch¸) cõa ¡nh x¤ đa trị F : X ⇒ Y n¸u dom F ⊂ dom G (dom G ⊂ dom F ) và F (x) = G(x) với mọi x 2 dom F (x 2 dom G) K½ hi»u 1.2. bcc Y là tªp hñp gồm c¡c tªp con lồi, đóng, bị chặn trong Y. bccY được trang bị hai ph²p to¡n gồm ph²p cëng và ph²p nh¥n với mët sè thực không ¥m là mët không gian nûa tuy¸n t½nh. M + N := fy1 + y2 : y1 2 M; y2 2 Ng với M; N 2 bcc Y αM := fαy : y 2 Mg với M 2 bcc Y; α ≥ 0 Định nghĩa 1.2. Ánh x¤ dH : bcc Y × bcc Y ! R x¡c định bởi dH (M; N) := inffα > 0 : M ⊂ N + αBY ;N ⊂ M + αBY g được gọi là kho£ng c¡ch Hausdorff, khi đó x¡c định mët c§u trúc cõa không gian metric trong bcc Y: Ð đây BY là qu£ c¦u đơn vị, BY = fy 2 Y :k y k6 1g: Trong bài vi¸t này chúng ta s³ x²t ¡nh x¤ đa trị F : X ⇒ Y trong trường hñp F (x) 2 bcc Y; với mọi x 2 dom F: Điều này giúp ta gi£i th½ch hàm đa trị F : X ⇒ Y được x²t dưới đây là mët hàm đơn trị F : X ! bcc Y: X²t X∗ và Y ∗ l¦n lượt là không gian đối ng¨u cõa X và Y:
9. 9 K½ hi»u 1.3. H(Y ∗) là không gian Banach cõa c¡c ¡nh x¤ thu¦n nh§t dương ∗ ∗ ∗ ∗ p(λy ) = λp(y ); 8y 2 Y ; 8λ > 0 và c¡c ¡nh x¤ li¶n tục với nhúng ph²p to¡n đại sè và chu©n được định nghĩa bởi kpk = maxfjp(y∗)j : ky∗k = 1g ∗ Định nghĩa 1.3. Mët ¡nh x¤ thu¦n nh§t dương p : Y ! R được gọi là tuy¸n t½nh dưới n¸u nó là cëng t½nh dưới, nghĩa là ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ p(y1 + y2) 6 p(y1) + p(y2) ; 8y1; y2 2 Y : CH(Y ∗) tªp c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh dưới, là nón lồi trong H(Y ∗): Nón CH(Y ∗) là đóng trong topo chu©n t­c cõa không gian Banach H(Y ∗): Bao tuy¸n t½nh DCH(Y ∗) = hCH(Y ∗)i cõa nón CH(Y ∗) được gọi là không gian cõa nhúng ¡nh x¤ có d¤ng hi»u cõa hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh dưới. Như vªy ¡nh x¤ thuëc DCH(Y ∗) n¸u và ch¿ n¸u p có thº được biºu di¹n dưới d¤ng hi»u cõa hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh dưới. Ánh x¤ đơn trị P : Y ∗ ! X∗ được biºu di¹n dưới d¤ng hi»u cõa hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh dưới n¸u với b§t k¼ x 2 X th¼ ¡nh x¤ y∗ ! hx; P (y∗)i được biºu di¹n dưới d¤ng hi»u cõa hai ¡nh x¤ tuy¸n t½nh dưới. Với méi tªp con M 2 bcc Y ta x²t hàm tựa ∗ ∗ sM (y ) = maxfhy; y i : y 2 Mg hàm tựa này ch½nh là ph²p đẳng c§u giúa không gian metric tuy¸n t½nh dưới và nón lồi CH(Y ∗) cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh dưới. ∗ Cho ¡nh x¤ đa trị F : X ! bcc Y: Ánh x¤ sF : dom F × Y ! R được x¡c định bởi ∗ ∗ sF (x; y ) := maxfhy; y i : y 2 F (x)g được gọi là hàm tựa cõa F: V¼ t½nh đối ng¨u Minkowski n¶n có thº li¶n k¸t mët ¡nh x¤ đa trị F : X ! bcc Y với mët ¡nh x¤ đơn trị F~ : dom F ! CH(Y ∗) sao cho F~(x) = sF (x; :) ; 8x 2 dom F: Do CH(Y ∗) ⊂ DCH(Y ∗) ⊂ H(Y ∗) n¶n ta cũng có thº x²t F~ : dom F ! DCH(Y ∗) hoặc F~ : dom F ! H(Y ∗):
10. 10 1.2 T½nh li¶n tục cõa ¡nh x¤ đa trị Định nghĩa 1.4. F là nûa li¶n tục tr¶n t¤i x¯ 2 dom F n¸u với mọi tªp mở V ⊂ Y thỏa m¢n F (¯x) ⊂ V tồn t¤i l¥n cªn mở U cõa x¯ sao cho F (x) ⊂ V; 8x 2 U: N¸u F là nûa li¶n tục tr¶n t¤i mọi điểm thuëc dom F; th¼ F được gọi là nûa li¶n tục tr¶n ở trong X: Định nghĩa 1.5. F là nûa li¶n tục dưới t¤i x¯ 2 dom F n¸u với mọi tªp mở V ⊂ Y thỏa m¢n F (¯x) \ V 6= ? tồn t¤i l¥n cªn mở U cõa x¯ sao cho F (x) \ V 6= ?; 8x 2 U \ dom F: N¸u F là nûa li¶n tục dưới t¤i mọi điểm thuëc dom F; th¼ F được gọi là nûa li¶n tục dưới ở trong X: Định nghĩa 1.6. F là li¶n tục t¤i x¯ 2 dom F n¸u F đồng thời là nûa li¶n tục tr¶n và nûa li¶n tục dưới t¤i x:¯ N¸u F là li¶n tục t¤i mọi điểm thuëc dom F; th¼ F được gọi là li¶n tục ở tr¶n X: