Luận văn Sự hội tụ nghiệm của hệ Gradient bậc hai

Nội dung tài liệu: Luận văn Sự hội tụ nghiệm của hệ Gradient bậc hai

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn thạc sĩ do tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong luận văn đã được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 9 năm 2017 Học viên thực hiện Trần Ngọc Quang Tạo
4. LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự quan tâm và giúp đỡ rất lớn từ thầy cô, gia đình và bạn bè. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đến: Thầy TS. Nguyễn Thành Nhân, người hướng dẫn khoa học, đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Quý Thầy Cô trong khoa Toán-Tin của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu khi tôi học tại trường. Ban giám hiệu và quý Thầy Cô trong Phòng sau đại học của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Trong quá trình thực hiện luận văn, khó tránh khỏi sai sót và hạn chế. Vì thế, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. Học viên thực hiện Trần Ngọc Quang Tạo
5. MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1 Hệ gradient bậc hai ..................................................................................... 3 Chương 2 Kết quả hội tụ của nghiệm số .................................................................. 10 2.1 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định Lyapunov ...................................... 13 2.2 Sự hội tụ của nghiệm số ............................................................................. 20 2.2.1 Trường hợp 휺 > ............................................................................ 20 2.2.2 Trường hợp bậc một 휺 = .............................................................. 29 Chương 3 Một số ứng dụng ....................................................................................... 36 3.1 Dạng rời rạc của phương trình truyền sóng. ........................................... 36 3.2 Dạng rời rạc của phương trình Swift-Hohenberg .................................. 40 Kết luận . 42 Tài liệu tham khảo ....................................................................................................... 43
6. CÁC KÝ HIỆU ℝ Tập hợp số thực ℝ Không gian thực chiều với chuẩn Euclide ℝ+ Tập hợp các số thực không âm 0 (ℝ+, ℝ ) Không gian các hàm liên tục ℝ+ ⟶ ℝ 푛(ℝ , ℝ) Không gian các hàm khả vi cấp 푛 liên tục ℝ ⟶ ℝ ,훼 푙표 (ℝ , ℝ) Không gian các hàm ℝ ⟶ ℝ khả vi cấp liên tục Holder với số mũ 훼 trên mọi tập con compact của ℝ 1 퐿푙표 (ℝ+, ℝ ) Không gian các hàm ℝ+ ⟶ ℝ đo được khả tích trên mọi tập con compact của ℝ 2 퐿 (ℝ+, ℝ ) Không gian các hàm ∶ ℝ+ ⟶ ℝ đo được thỏa mãn ∫ ‖ (푠)‖2d < ∞ ℝ+ 퐿 (Ω) Không gian các hàm đo được thỏa mãn ‖ (푠)‖ dμ < ∞ ∫Ω ∞ 퐿 (ℝ+, ℝ ) Không gian các hàm ℝ+ ⟶ ℝ đo được bị chặn hầu khắp nơi trên ℝ+ 2,1 푊푙표 (ℝ+, ℝ ) Không gian các hàm ℝ+ ⟶ ℝ có đạo hàm riêng suy rộng đến cấp 2 khả tích trên mọi tập con compact của ℝ+ 1(Ω) Không gian các hàm thuộc 퐿2(Ω) có đạo hàm riêng suy rộng cấp 1 thuộc 퐿2(Ω) 1 2 0 (Ω) Không gian các hàm thuộc 퐿 (Ω) và bằng 0 trên biên Ω có đạo hàm riêng suy rộng cấp 1 thuộc 퐿2(Ω)
7. 1 MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng đang được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng rộng rãi của nó. Các phương trình này thường được xây dựng từ các mô hình thực tế nên đôi khi phức tạp và chưa tìm được nghiệm giải tích. Thay cho việc tìm nghiệm của các phương trình này, các đánh giá định tính về sự tồn tại và cấu trúc nghiệm như tính chất về dáng điệu tiệm cận, sự ổn định nghiệm trở nên hữu ích. Hiện tại, cùng với sự phát triển của khoa học máy tính, phần lớn các phương trình này đã được giải một cách hiệu quả bằng các phương pháp số. Tuy nhiên, khi áp dụng các phương pháp số, nghiệm số của các phương trình này có thể không còn mang đầy đủ tính chất của nghiệm giải tích. Do đó, việc nghiên cứu các tính chất của lời giải số trở nên cần thiết. Thuật toán cơ bản đầu tiên có thể được áp dụng là thuật toán backward Euler. Việc khảo sát nghiệm số của thuật toán này tin rằng có thể giúp chúng ta thu được những tính chất cần thiết cho các thuật toán phức tạp hơn. Mặt khác, hệ phương trình dạng gradient mang đặc trưng cơ bản của các phương trình tiến hóa tiêu tán là hàm năng lượng giảm dần theo thời gian. Đặc trưng cơ bản này giúp ta có thể biểu diễn nhiều phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng dưới dạng một hệ phương trình có dạng gradient hoặc tựa gradient. Từ đó, việc khảo sát nghiệm số của các phương trình dạng gradient gần đây được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả thú vị. Các kết quả về sự hội tụ nghiệm giải tích và nghiệm số cho hệ tựa gradient bậc nhất đã được tìm hiểu trong một vài luận văn thạc sĩ các khóa trước. Tiếp nối chủ đề này, luận văn tập trung khảo sát kết quả về sụ hội tụ nghiệm cho hệ gradient bậc hai. Nội dung luận văn tập trung khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm số của hệ gradient bậc hai dạng rời rạc, cùng với một số ứng dụng. Các kết quả hội tụ của bài toán liên tục được tham khảo trong các bài báo [1], [4], [8]. Kết quả hội tụ cho bài toán
8. 2 rời rạc và ứng dụng được tham khảo trong [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]. Luận văn được trình bày theo ba chương. Chương 1. Hệ gradient bậc hai. Giới thiệu khái niệm về hệ gradient bậc hai và kết quả hội tụ của nghiệm giải tích. Chương 2. Kết quả hội tụ của nghiệm số. Trình bày một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và sự hội tụ của nghiệm số cho hệ gradient ở dạng rời rạc. Chương 3. Một số ứng dụng. Trình bày ứng dụng của kết quả hội tụ cho hệ gradient ở dạng rời rạc đối với phương trình truyền sóng và phương trình Swift- Hohenberg.
9. 3 Chương 1 Hệ gradient bậc hai Chúng ta gọi một hệ gradient bậc hai trên ℝ là hệ có dạng 휀푈′′(푡) + 푈′(푡) + ∇퐹(푈(푡)) = (푡), 푡 ≥ 0, (1.1) 1 푡 1,1 với 휀 ≥ 0, ∈ 퐿푙표 (ℝ+, ℝ ), 푈 = ( 1, 2, , ) , 퐹 ∈ 푙표 (ℝ , ℝ), và 휕퐹 휕퐹 휕퐹 푡 ∇퐹 = ( , , , ) . 휕 1 휕 2 휕 Ta có thể viết lại (1.1) thành hệ gradient bậc nhất: 푈′(푡) = (푡), { 푡 ≥ 0. (1.2) 휀 ′(푡) = − (푡) − ∇퐹(푈(푡)) + (푡), Nếu 퐹 là hàm giải tích và thỏa mãn: tồn tại 훿 > 0 sao cho ∞ 1+훿 2 sup (푡 ∫ ‖ (푠)‖ ds) < ∞, (1.3) 푡∈ℝ+ 푡 Ta sẽ chỉ ra rằng bất cứ nghiệm bị chặn nào của (1.1) cũng đều hội tụ về điểm tới hạn của 퐹 khi 푡 tiến tới ∞. Nội dung của chương chủ yếu được tham khảo trong [1], [4], [8]. Trước khi đi vào chứng minh, ta cần một công cụ quan trọng là bất đẳng thức Lojasiewicz mà chúng ta phát biểu ngay sau đây: Định nghĩa 1.0.1 Ta nói 퐹 ∈ 1(ℝ , ℝ) thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz tại điểm 푈∗ ∈ ℝ nếu tồn tại hằng số 휃 ∈ (0, 1] , 훾 ≥ 0 và 휎 > 0 sao cho 2 ∀푈 ∈ ℝ , ‖푈 − 푈∗‖ < 휎 ⇒ |퐹(푈) − 퐹(푈∗)|1−휃 ≤ 훾‖∇퐹(푈)‖. (1.4) Số 휃 xuất hiện trong định nghĩa được gọi là số mũ Lojasiewicz tại 푈∗. Nếu 퐹 thỏa mãn (1.4) với một số mũ 휃 ∈ (0, 1] nào đó thì bằng cách thay đổi hằng số 훾 và 휎 nếu 2 cần, ta thấy rằng 퐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz với mọi số mũ 휃′ ∈ (0, 휃].
10. 4 Kết quả của Lojasiewicz còn nói rằng nếu 퐹: ℝ ⟶ ℝ là hàm giải tích thực trong lân cận của 푈∗ ∈ ℝ thì 퐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz tại 푈∗. Ta định nghĩa tập 휔 − limit của 푈 ∈ 0(ℝ+, ℝ ): ∗ ∗ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 휔(푈) = {푈 ∈ ℝ : ∃푡푛 ⟶ ∞ sao cho 푈(푡푛) ⟶ 푈 } = ⋂ ⋃{푈(푡)}, 휏≥0 푡≥휏 và đặt 풮 ≔ {푈∗ ∈ ℝ ∶ ∇퐹(푈∗) = 0}. 2,1 Định lý 1.0.2 Cho 푈 ∈ 푊푙표 (ℝ+, ℝ ) là nghiệm của (1.1) với 휀 ≥ 0, và giả sử (1) 퐹 ∈ 2(ℝ , ℝ), (2) tập hợp {푈(푡): 푡 ≥ 0} bị chặn trong ℝ , (3) tồn tại 푈∗ ∈ 휔(푈) sao cho 퐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz tại 푈∗ theo định nghĩa (1.4), với số mũ Lojasiewicz 휃, 1 (4) ∈ 퐿푙표 (ℝ+, ℝ ) thỏa mãn (1.3) với 훿 > 0. Khi đó lim 푈(푡) = 푈∗. Hơn nữa, tồn tại hằng số > 0 sao cho với mọi 푡 ≥ 0, ta có: 푡⟶∞ 휃 훿 ‖푈(푡) − 푈∗‖ ≤ (1 + 푡)− , 푣ớ푖 = min { , } . 1 − 2휃 2 Chứng minh Ta sẽ chứng minh sự hội tụ khi 휀 > 0 một cách tương tự chứng minh trong [10]. ′ 1 Đặt = 푈 ∈ 퐿푙표 (ℝ+, ℝ ), khi đó (푈, ) thỏa mãn (1.2). Đặt: ∞ 휀 2 2 Φ0(푡) = ‖ (푡)‖ + 퐹(푈(푡)) + 휇 ∫ ‖ (푠)‖ d푠, 2 푡 trong đó 휇 ∈ (0,1) và > 1 . Khi đó ta có 휇 4휇 ′ ′ ′ 2 −Φ 0(푡) = −휀〈 (푡), (푡)〉 − 〈∇퐹(푈(푡)), 푈 (푡)〉 + 휇‖ (푡)‖ ′ ′ 2 = −휀⟨ (푡), (푡)⟩ − ⟨ (푡) − 휀 (푡) − (푡), (푡)⟩ + 휇‖ (푡)‖ 2 2 = ‖ (푡)‖ − 〈 (푡), (푡)〉 + 휇‖ (푡)‖ 2 1 2 ≥ (1 − 휇)‖ (푡)‖ + ( − ) ‖ (푡)‖ ≥ 0. (1.5) 휇 4휇