Luận văn Phủ của vành hữu hạn

Nội dung tài liệu: Luận văn Phủ của vành hữu hạn

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG TP HỒ CHÍ MINH – 2019
3. Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ các bài báo, sách được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình. Tác giả luận văn Dương Thái Bảo
4. Lời cám ơn Trong quá trình học tập, nghiên cứu đề tài ``Phủ của vành hữu hạn'' tôi đã nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo nhiệt tình của các thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh để hoàn thành luận văn này. Với tình cảm chân thành, tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, Khoa Toán Tin– Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, các thầy giáo, cô giáo đã tham gia quản lý, giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ sự biết ơn đặc biệt đến PGS. TS. Mỵ Vinh Quang – người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ về kiến thức, tài liệu và phương pháp để tôi hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, cổ vũ, khích lệ và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt quá trình thực hiện đề tài, song có thể còn có những mặt hạn chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp và sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Dương Thái Bảo
5. Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Vành hữu hạn và trường hữu hạn 2 1.1. Trường hữu hạn 2 1.2. Vành con sinh bởi một phần tử 8 Chương 2. Phủ của vành hữu hạn 10 2.1. Vành con tối đại của tích trực tiếp các trường hữu hạn 10 2.2. Phủ của tích các vành hữu hạn 18 2.3. Phủ của tích trực tiếp các trường hữu hạn 22 2.4. Số phủ của tích trực tiếp các trường hữu hạn 25 2.5. Ví dụ về phủ của vành giao hoán địa phương 28 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31
6. 1 Mở đầu Phủ của nhóm G là một họ nhóm con thực sự của G mà hợp của chúng bằng G . Dễ thấy, G không có phủ gồm 2 nhóm con thực sự. Tuy nhiên, mọi nhóm hữu hạn không xyclic đều có phủ hữu hạn. Vấn đề được đặt ra tương tự đối với vành. Phủ của vành A là họ các vành con thực sự của A mà hợp của chúng bằng A. Tất nhiên, vành A không có phủ gồm 2 vành con thực sự. Bởi vậy, câu hỏi khi nào thì vành hữu hạn A có phủ gồm hữu hạn vành con thực sự là câu hỏi thú vị, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và đến nay vẫn còn nhiều vấn đề mở cần tiếp tục tìm tòi, nghiên cứu. Chính bởi vậy, tôi quyết định chọn đề tài “phủ của vành hữu hạn” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ toán của mình với mong muốn được tìm hiểu về một vấn đề thú vị của toán học. Mục tiêu chính của đề tài là: nghiên cứu các vành con, vành con tối đại của vành hữu hạn, nghiên cứu tích trực tiếp của các vành hữu hạn và ứng dụng các kết quả ở phần trên để tìm các điều kiện cần và đủ để một vành hữu hạn có phủ hữu hạn. Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé nhất các phần tử trong một phủ. Số đó được gọi là số phủ của vành. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Vành hữu hạn, vành con, vành con tối đại của vành hữu hạn. - Tích trực tiếp của hữu hạn các vành hữu hạn và các trường hữu hạn. - Các phủ của vành hữu hạn và điều kiện cần và đủ để có phủ. - Số phủ của vành hữu hạn.
7. 2 Chương 1 Vành hữu hạn và trường hữu hạn Trong luận văn này, khái niệm vành được hiểu là vành có đơn vị. Tập con S khác rỗng của vành R được gọi là vành con của R nếu S cùng với phép toán cộng trong R lập thành nhóm Abel và đóng với phép toán nhân của R (vành con không hẳn chứa phần tử đơn vị). Bên cạnh đó, kí hiệu RR , lần lượt cho nhóm cộng của R , nhóm nhân các phần tử khả nghịch của R (phần tử đơn vị được kí hiệu là e hoặc là 1). 1.1. Trường hữu hạn Trong mục này chúng ta nhắc lại một số kết quả về mở rộng trường và trường hữu hạn. Đầu tiên là khái niệm đặc số của vành: số nguyên dương p được gọi là đặc số của vành R nếu p là số bé nhất thỏa px 0 với mọi xR . Nếu không tồn tại số nguyên dương p như thế thì ta nói vành R có đặc số bằng không. Định lí 1.1.1 Cho F là trường bất kì, khi đó đặc số của F hoặc là 0 hoặc là số nguyên tố p . Chứng minh. Gọi F là trường có đặc số p 0. Giả sử p không là số nguyên tố, khi đó tồn 2 tại pp12, thỏa mãn 1, p12 p p và p p12 p . Ta có 0 pe ( p12 p ) e , mà ee nên (p12 e )( p e ) 0 . Do F là trường nên pe1 0 hoặc pe2 0 hay p1 hoặc p2 là đặc số của F . Điều này mâu thuẫn với 1, p12 p p.□
8. 3 Phần tử đơn vị e cùng với đặc số p của một trường F sẽ tạo nên trường con p . Định lí 1.1.2. Cho F là một trường có phần tử đơn vị e , khi đó nếu đặc số của F là p 0 thì đặt p {0,e ,2,3, e e  ,( p 1)}, e và nếu F có đặc số là 0 thì đặt 1 p {(me )( ne ) | m , n , n 0}. Khi đó p là trường con bé nhất của F và được gọi là trường con nguyên tố của F . Chứng minh Nếu p là trường thì do mọi trường con của F đều chứa phần tử đơn vị e nên mọi trường con của F đều chứa p . Xét F có đặc số p 0. Lấy le, ke p thì le ( p l ) e pe 0 , suy ra le () p l e p . Vì thế kele ke ()() ple k ple p . Nếu le 0 thì (pl , ) 1, nên tồn tại uv, sao cho pu lv 1. Do đó ()pu lv e e hay ()lv e e, kéo theo (le )( ve ) e . Điều này có nghĩa là ()le 1 ve, lúc này thì 1 (ke )( le ) ( kv ) e p . Vậy p là một trường con của F và dễ dàng nhận thấy pp . Xét F có đặc số 0, chúng ta dễ dàng nhận thấy: với mọi m, n , n 0 thì 1 (me )( ne ) 1 me n e mn nm ( *) và 1 1 1 (me )( ne ) m e n e mn nm e nn e 1 1 1 (mene )( ) mene mme nne
9. 4 1 Vậy p đóng với hai phép toán của F . Mặt khác thì nếu (me )( ne ) p thì 1 1 1 ( me )( ne ) p . Ngoài ra nếu (me )( ne ) 0 thì m 0 , vì thế (ne )( me ) p và (me )( ne ) 11 ( ne )( me ) e Vậy p là trường con của F . Bên cạnh đó do (*) nên p  thông qua ánh m xạ (me )( ne ) 1 . n Hệ quả 1.1.3. Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F là số nguyên tố. Chứng minh. Theo định lí 1.1.1 thì đặc số của p hoặc là 0 hoặc số nguyên tố. Giả sử F có đặc số là 0, khi đó theo định lí thì trường con nguyên tố p  . Suy ra p có vô hạn phần tử (mâu thuẫn với tính hữu hạn của F ). Kế đến chúng ta sẽ nói đến đặc điểm về số phần tử của một trường hữu và trường con của nó. Định lí 1.1.4 . Cho F là trường hữu hạn chứa trường con K có q phần tử. Khi đó F có qm phần tử và m [:] F K . Chứng minh. Lúc này ta xem F như một không gian vectơ trên trường K , do F hữu hạn nên nó là không gian vectơ hữu hạn chiều trên K . Nếu m [:] F K thì F có cơ sở trên K gồm m phần tử, kí hiệu b12,,, b bm . Khi đó mỗi phần tử của F được biểu diễn duy nhất qua dạng a1 b 1 a 2 b 2  amm b , trong đó a1,, am K . m Tuy nhiên mỗi ai có q lựa chọn nên F có đúng q phần tử. Định lí 1.1.5. Cho F là trường hữu hạn. Khi đó F có pn phần tử, trong đó số nguyên tố p là đặc số của F và nF [:]p . Chứng minh. Áp dụng trực tiếp định lí trên cho trường con nguyên tố p .
10. 5 Tiếp theo định lí này, chúng ta nhắc lại về sự tồn tại của trường hữu hạn với số phần tử cho trước. Tuy nhiên để làm được điều này, chúng ta cần đến khái niệm trường phân rã. Định nghĩa 1.1.6. Cho mở rộng trường FK/ và S là một tập con khác rỗng của F . Ta kí hiệu KS() là giao của tất cả các trường con của F chứa K và S , khi đó KS() được gọi là trường con của F sinh bởi K và S . Định nghĩa 1.1.7. Cho K là trường và f()[] x K x và F là một mở rộng trường của K . Ta nói đa thức f phân rã trên F nếu nó phân tích được thành tích những nhân tử tuyến tính f()()() x a x a1  x an với a,,, a1  an F . Trường F được gọi là trường phân rã của f trên K nếu f phân rã trên F và F  K(,,) a1 an . Bổ đề 1.1.8. Cho f là một đa thức bất khả qui trên trường K . Khi đó tồn tại một mở rộng F của K trong đó f có nghiệm. Chứng minh. Vì fx() bất khả qui nên F K[ x ] / ( f ( x )) là trường. Xét hai ánh xạ sau i:[] K K x aa j: K [ x ] K [ x ] / ( f ( x )) p( x ) p ( x ) ( f ( x )) Khi đó ij, đều là đơn cấu, suy ra ji là một đơn cấu từ K vào K[ x ] / ( f ( x )) . Vì thế F là một mở rộng trường của K . Đặt  x ( f ( x )) F . Ta có f( ) f ( x ) ( f ( x )) 0 F . Vậy  là nghiệm của fx().