Luận văn Một số tính chất của không gian Lorentz và ứng dụng

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số tính chất của không gian Lorentz và ứng dụng

1. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH Bùi Hoài Nh¥n MËT SÈ TÍNH CHẤT CỦA KHÆNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2020
2. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH Bùi Hoài Nh¥n MËT SÈ TÍNH CHẤT CỦA KHÆNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chuy¶n ngành : To¡n Gi£i T½ch M¢ sè: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2020
3. LÍI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luªn v«n do ch½nh tôi thực hi»n dưới sự hướng d¨n khoa học cõa TS. Nguy¹n Thành Nh¥n. C¡c nëi dung nghi¶n cùu và k¸t qu£ tham kh£o trong luªn v«n được tr½ch d¨n và li»t k¶ đầy đủ trong mục Tài li»u tham kh£o. Thành phè Hồ Ch½ Minh, ngày 30 th¡ng 1 n«m 2020 Bùi Hoài Nh¥n
4. Lời c£m ơn Lời đầu ti¶n, tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c nh§t tới Th¦y TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN, người đã tªn t¼nh hướng d¨n và giúp đỡ để tôi có thº hoàn thành luªn v«n này. Tôi xin c£m ơn quý th¦y cô trong Hëi đồng ch§m luªn v«n đã đọc và góp ý giúp cho luªn v«n được hoàn ch¿nh hơn. Xin ch¥n thành c£m ơn quý th¦y cô Khoa To¡n - Tin học trường Đại học Sư ph¤m thành phè Hồ Ch½ Minh đã truy·n đạt cho tôi nhúng ki¸n thùc quý b¡u trong suèt nhúng n«m học vøa qua, t¤o cho tôi mët n·n t£ng vúng ch­c để thực hi»n luªn v«n. Cuèi cùng, tôi cũng gûi lời c£m ơn gia đình, b¤n b± và tªp thº lớp To¡n Gi£i t½ch K28 đã h¸t láng õng hë và động vi¶n, giúp đỡ tôi trong qu¡ tr¼nh học tªp cũng như trong qu¡ tr¼nh thực hi»n luªn v«n này. Tuy nhi¶n, do thời gian có h¤n n¶n luªn v«n cán nhi·u h¤n ch¸ và không tr¡nh khỏi nhúng sai sót. V¼ vªy, tôi r§t mong nhªn được sự đóng góp ý ki¸n cõa quý th¦y cô và c¡c b¤n để luªn v«n được hoàn thi»n hơn. Xin ch¥n thành c¡m ơn. Tp.HCM, ngày 30 th¡ng 1 n«m 2020 T¡c gi£ Bùi Hoài Nh¥n
5. Mục lục Lời nói đầu 1 B£ng ký hi»u 3 1 Không gian Marcinkiewicz 4 1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Hàm ph¥n phèi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian Lp y¸u ......................... 13 2 Không gian Lorentz 20 2.1 Hàm ho¡n vị gi£m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Hàm cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Không gian Lorentz Lp;q ...................... 35 3 Ứng dụng sự tồn t¤i nghi»m cõa phương tr¼nh p-Laplace 45 3.1 X¥y dựng ¡nh x¤ T ......................... 46 3.2 Sự tồn t¤i nghi»m renormalized cõa phương tr¼nh (3.1) . . . . . 50 Tài li»u tham kh£o 52
6. Lời nói đầu Không gian Lorentz được đưa ra tø n«m 1950 bởi nhà to¡n học George Lorentz và có nhi·u ùng dụng trong lĩnh vực phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng, đặc bi»t là c¡c bài to¡n v· sự tồn t¤i và t½nh ch½nh quy nghi»m. G¦n đây, nhi·u k¸t qu£ v· đánh gi¡ gradient cõa nghi»m phương tr¼nh elliptic d¤ng divergence thu được tr¶n không gian Lorentz, hoặc tr¶n không gian Lp y¸u (không gian Marcinkiewicz), thường được xem như mët trường hñp đặc bi»t cõa không gian Lorentz. Nhờ vào c¡c đ¡nh gi¡ này, sự tồn t¤i nghi»m cõa mët sè lớp phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng như phương tr¼nh p-Laplace, phương tr¼nh d¤ng Ricatti, . . . cũng được chùng minh. Nëi dung luªn v«n tªp trung kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t trong không gian Lorentz, c¡c định nghĩa v· chu©n và nûa chu©n trong không gian này. Ngoài ra luªn v«n kh£o s¡t mèi li¶n h» v· sự tương đương giúa chu©n và nûa chu©n trong không gian Lorentz. C¡c k¸t qu£ này là công cụ húu ½ch để chùng minh sự tồn t¤i nghi»m cõa phương tr¼nh d¤ng Riccati tr¶n không gian Lorentz. Cụ thº, trong luªn v«n này chúng tôi x²t sự tồn t¤i nghi»m renormalized (tham kh£o trong [8]) cõa phương tr¼nh d¤ng p-Laplace 8 q < −∆pu = jruj + µ trong X; (1) : u = 0 tr¶n @X; trong không gian Lorentz Ls;t. C¡c k¸t qu£ tham kh£o chõ y¸u trong c¡c bài b¡o [14], [16], [17]. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n “Mët sè t½nh ch§t cõa không gian Lorentz 1
7. 2 và ùng dụng” là t¼m hiºu v· mët sè t½nh ch§t quan trọng cõa không gian Lorentz và ch¿ ra được sự tồn t¤i nghi»m renormalized cõa phương tr¼nh p- Laplace trong không gian Lorentz. Nëi dung luªn v«n bao gồm 3 chương: Chương 1: Không gian Marcinkiewicz. Nëi dung ch½nh cõa ph¦n này là h» thèng l¤i mët sè ki¸n thùc li¶n quan đến không gian Lp và không gian Lp y¸u được tham kh£o trong 2 quyºn s¡ch cõa L. Grafakos là [4] và [3]. Chương 2: Không gian Lorentz. Nëi dung cõa chương gồm định nghĩa không gian Lorentz và chu©n cõa không gian Lorentz với tài li»u tham kh£o ch½nh cõa là [7] và quyºn s¡ch [13] cõa F. L. Santos. Chúng tôi s³ tr¼nh bày l¤i kh¡i ni»m không gian Lorentz như mët trường hñp kh¡i qu¡t hơn cõa không gian Lp và không gian Lp y¸u. Đồng thời cũng tr¼nh bày hai chu©n tương đương trong không gian Lorentz để thuªn ti»n hơn trong chương 3. Chương 3: Ứng dụng sự tồn t¤i nghi»m cõa phương tr¼nh p- Laplace. Nëi dung ch½nh cõa chương là tr¼nh bày l¤i k¸t qu£ tồn t¤i nghi»m cõa phương tr¼nh d¤ng p- Laplace trong không gian Lorentz. Chúng tôi đã chùng minh k¸t qu£ này b¬ng c¡ch ¡p dụng định lý điểm b§t động Schauder cõa mët to¡n tû li¶n tục x¡c định tr¶n mët tªp lồi, đóng và có £nh là mët tªp compact. Nëi dung cõa chương được tham kh£o trong c¡c bài b¡o [14],[16],[15] và [17] cõa c¡c t¡c gi£ M.-P. Tran và T.-N. Nguyen.
8. B£ng ký hi»u Lp Không gian Lebesgue. Lp;1 Không gian Marcinkiewicz. Lp;q Không gian Lorentz. p k:kLp(X,µ) Tựa chu©n trong không gian L (X; µ) với 0 < p ≤ 1. p jjj:jjjLp;1 Chu©n cõa không gian L y¸u với p > 1. p;q k:kLp;q Tựa chu©n trong không gian Lorentz L , là chu©n trong trường hñp 1 ≤ q ≤ p hoặc p = q = 1. µ(E) Độ đo µ cõa tªp E. p;q jjj:jjjLp;q Chu©n tương đương trong không gian Lorentz L với 1 < p < 1 và 1 ≤ q ≤ 1. df Hàm ph¥n phèi cõa hàm f với độ đo µ. mf Hàm ph¥n phèi cõa hàm f với độ đo m. f ∗ Hàm ho¡n vị gi£m cõa hàm f. f ∗∗ Hàm cực đại cõa hàm f. ru Gradient cõa hàm u. ∆p To¡n tû p-Laplace. M0(X) Không gian độ đo có bi¸n ph¥n bị chặn và li¶n tục tuy»t đối. 3
9. Chương 1 Không gian Marcinkiewicz 1.1 Không gian Lebesgue Định nghĩa 1.1.1. ([3]) Cho X là mët không gian độ đo, µ là mët độ đo dương và không nh§t thi¸t ph£i húu h¤n tr¶n X. Cho 0 < p < 1;Lp(X; µ) là mët tªp c¡c hàm đo được tr¶n X được định nghĩa  Z  Lp (X; µ) = f đo được tr¶n X : jfjpdµ < 1 : X Tªp L1 (X; µ) là tªp t§t c£ c¡c hàm f đo được tr¶n X sao cho tồn t¤i B > 0 để tªp fx : f (x) > Bg có độ đo b¬ng 0. Hai hàm được gọi là b¬ng nhau trong Lp (X; µ) n¸u chúng b¬ng nhau h¦u kh­p nơi tr¶n X, nghĩa là hai hàm b¬ng nhau tr¶n X, ngo¤i trø tªp có độ đo b¬ng 0. K½ hi»u Lp (Rn) nghĩa là không gian Lp (Rn; |·|), trong đó |·| là độ đo Lebesgue n chi·u. Độ đo Lebesgue trong Rn cũng được k½ hi»u là dx. N¸u không có sự nh¦m l¨n, ta có thº vi¸t Lp (X; µ) đơn gi£n là Lp. Không gian Lp (Z) được trang bị độ đo k½ hi»u là `p (Z) hoặc đơn gi£n là `p. Cho 0 < p < 1, ta định nghĩa tựa chu©n cõa mët hàm f trong Lp bởi 1 0 1 p Z p kfkLp(X,µ) = @ jf (x)j dµ (x)A ; (1.1) X 4
10. 5 và n¸u p = 1 kfkL1(X,µ) = ess:supjfj = inffB > 0 : µ(fx : f(x) > Bg) = 0g: (1.2) Sau đây là mët sè t½nh ch§t cõa k·kLp(X,µ) với 0 < p ≤ 1. M»nh đề 1.1.2. (B§t đẳng thùc H¨older[3]) Cho 0 < p; p1; p2; :::; pk ≤ 1 với pj pj k ≥ 2, và fj 2 L = L (X; µ). Gi£ sû 1 1 1 = + ::: + : p p1 pk P (i) Với f1; f2; :::; fk 2 L th¼ kf1:::fkkLp ≤ kf1kLp1 :::kfkkLpk : (1.3) (ii) N¸u pj là húu h¤n, với j = 1; k th¼ d§u đẳng thùc trong (i) x£y ra trong p1 pk trường hñp c1jf1j = ::: = ckjfkj h¦u kh­p nơi với méi cj ≥ 0. −1 −1 (iii) Cho 0 0 h¦u kh­p nơi, kgkLr = g Ljrj . Khi đó với f ≥ 0; g > 0 h¦u kh­p nơi ta có kfgkL1 ≥ kfkLq kgkLq0 ; (1.4) q với q0 = là li¶n hñp H¨oldercõa q. q − 1 Chùng minh. Ta chùng minh (i) b¬ng phương ph¡p quy n¤p. Trước h¸t ta s³ chùng minh b§t đẳng thùc đúng với trường hñp k = 2. Nghĩa là với 1 1 1 = + th¼ kf1f2kLp ≤ kf1kLp1 kf2kLp2 : p p1 p2 Không m§t t½nh têng qu¡t ta có thº gi£ sû p = 1, khi đó ta s³ chùng minh 1 1 + = 1 th¼ kf1f2kL1 ≤ kf1kLp1 kf2kLp2 : p1 p2 V¼ kf1f2kL1 ≤ kf1kLp1 kf2kL1 và kf1f2kL1 ≤ kf1kL1 kf2kLp2 với mọi x n¶n trường hñp p1 = 1; p2 = 1 và p1 = 1; p2 = 1 đã dược chùng minh.