Luận văn Một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm muckenhoupt

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm muckenhoupt

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đây là luận văn tớt nghiệp do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Trí Dũng. Các nợi dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. TP.HCM, tháng 9 năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải
4. LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP. Hờ Chí Minh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đới với TS. Trần Trí Dũng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tận tình từng bước để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các Thầy cơ trong Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP. Hờ Chí Minh và Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP. Hờ Chí Minh đã tạo điều kiện tớt nhất cho tác giả hoàn thành đề tài trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Cuới cùng át c giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạnbè, đờng nghiệp trong cơng ty đã giúp đỡ, đợng viên và tạo điều kiện thuận lợi về thời gian và cơng việc cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn của mình. Trân trọng. TP.HCM, tháng 9 năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 3 1.1. Hàm phân bớ và các chuẩn 푳풑 ................................................................ 3 1.2. Bất đẳng thức Jensen ............................................................................... 3 1.3. Bở đề phủ ................................................................................................ 4 1.4. Nợi suy .................................................................................................... 5 1.5. Hợi tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu .................................... 6 1.6. Bất đẳng thức Kolmogorov ..................................................................... 6 Chương 2. TỐN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 풑 .................................................................................. 8 2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood .......................................................... 8 2.2. Bất đẳng thức Fefferman – Stein .......................................................... 11 2.3. Các hàm trọng Muckenhoupt: ............................................................... 13 2.4. Toán tử cực đại trung tâm 푴흁 ............................................................ 20 2.5. Các hàm trọng và bất đẳng thức dạng mạnh......................................... 21 2.6. Toán tử cực đại trên các cơ sở .............................................................. 23 2.6.1. Cơ sở các hình lập phương nhị nguyên .......................................... 23 2.6.2. Cơ sở các hình chữ nhật .................................................................. 25 2.6.3. Cơ sở các hình chữ nhật trong tất cả các hướng ............................. 26 2.6.4. Cơ sở các khoảng , .................................................................... 26 2.6.5. Cơ sở các hình lập phương Carleson .............................................. 26 2.7. Những tính chất đầu tiên của các lớp hàm trọng 풑 ............................ 27
6. 2.8. Xây dựng các lớp hàm trọng ........................................................... 32 2.8.1. Cách xây dựng của Coifman........................................................... 32 2.8.2. Thuật toán Rubio de Francia: ......................................................... 34 2.9. Phân tích nhân tử ................................................................................... 36 Chương 3. LỚP HÀM HƯLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG ∞ ............................................................................. 42 3.1. Bất đẳng thức Hưlder ngược cho các lớp hàm trọng 풑 ...................... 42 3.2. Bở đề Gehring ....................................................................................... 48 3.3. Đặc trưng của các lớp hàm trọng .................................................... 49 3.4. Lớp hàm trọng ∞ ................................................................................ 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 64
7. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 퐿 (휇)là khơng gian các hàm lũy thừa bậc khả tích ứng với 휇; ‖∙‖ ,휇 là chuẩn; 휇( ) là đợ đo của ứng với 휇. 퐿 (휇) = { ∶ | | 휇 < +∞}. ∫ℝ푛 Khi 휇 là đợ đo Lebesgue ta viết gọn là 퐿 , ‖∙‖ và | |. Tương tự, ta sẽ khơng đề cập đến 휇 cho tích phân tương ứng với đợ đo Lebesgue. Khi 휇( ) = 푤( ) , ta viết 퐿 (푤), ‖∙‖ ,푤 và 푤( ) = ∫ 푤( ) . 퐿 (푤) = { ∶ | | 푤( ) < +∞}. ∫ℝ푛 ′ là mũ liên hợp của : 1 1 1 + = 1 (vớ i = 0). ′ ∞ ∈ 퐿1(ℝ ): ‖ ‖ = | ( )| . ∫ℝ 1 ∈ 퐿 (휇): ‖ ‖ = ‖ ‖ = ( | | 휇) . ,휇 ∫ℝ푛 1 ∈ 퐿 (푤): ‖ ‖ = ‖ ‖ = ( | | 푤( ) ) . ,푤 ∫ℝ푛 휒 là hàm đặc trưng của tập A. Cho mợt hình lập phương 푄, 푙(푄) là đợ dài cạnh của nó; 푄 là kí hiệu cho hình lập phương có cùng tâm với 푄 và 푙( 푄) = 푙(푄). ( , ) là quả cầu tâm với bán kính. Cho mợt hàm trọng 푤, xuyên suớt luận văn này ta dùng kí hiệu 휎 để chỉ 푤1− ′, tức là 휎 = 푤1− ′, giá trị của sẽ được quy định trong ngữ cảnh. ( ) Cho mợt hàm trọng 푤 và mợt hình lập phương 푄, 푤 = 푤 푄 là trung bình của 푄 |푄| 푤 trên 푄. ess inf 푤( ) = sup{ ∶ |{ ∈ 푄: 푤( ) < }| = 0}.
8. 1 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích điều hòa hiện đại ngày nay là mợt nhánh quan trọng của Toán họcvà có nguờn gớc từ lý thuyết chuỗi Fourier và tích phân Fourier cở điển. Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hòa hiện đại phát triển rất mạnh mẽ và có nhiềuứng dụng đa dạng trong các lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thớng kê, xử lí tín hiệu. Lý thuyết về các toán tử tích phân cực đại, là mợt trong nhữngđớitượng nghiên cứu quan trọng của giải tích điều hòa hiện đại và lý thuyết phương trìnhđạo hàm riêng, trong đó toán tử cực đại Hardy – Littlewood là mợt trong những ví dụ. Các đặc điểm đầy đủ của các hàm trọngw sao cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn trên 퐿 (푤) được xây dựng bởi B. Muckenhoupt và xuất bản năm 1972. Kết quả của Muckenhoupt trở thành mợt bước ngoặc trong lý thuyết bất đẳng thức trọng bởi vì hầu hết các kết quả được biết trước đó cho các toántửcở điển chỉ đạt được cho mợt sớ các hàm trọng đặc biệt (như hàm trọng lũythừa). Trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt thì các lớp hàm và các biến thể của nó là quan trọng nhất. Tầm quan trọng của lớp hàm được nhận rõ sau cơng trình của Muckenhoupt vì dùng lớp hàm này ta có thể xây dựng được các bất đẳng thức trọng cho mợt sớ toán tử quan trọng khác trong giải tích Fourier tương tự như cách xây dựng các bất đẳng thức trọng cho toán tử cực đại Hardy– Littlewood. Với tầm quan trọng của lớp hàm trọng , tơi tin rằng việc nghiên cứu lớp hàm này là mợt chủ đề cần thiết và thú vị.Luận văn sẽ trình bày lý thuyết về lớp hàm dùng để chứng minh các bất đẳng thức dạng yếu và dạng mạnh cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood và các toán tử cực đại khác. Các tính chất chính của các lớp được nghiên cứu trong luận văn. Luận văn cũng đề cập các toán tử cực đại và các hàm trọng được định nghĩa từ các cơ sở khác, đơi khi các tính chất của các lớp thơng thường mở rợng ngay lập tức tới các cơ sở này theo cách thiết lập tởng quát, nhưng cũng có những tính chất phở biến khơng đúng với mợt vài cơ sở.
9. 2 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đờng thời định hướng mợt sớ hướng nghiên cứu về sau, thuợc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muớn đạtđược mục tiêu: tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy– Littlewood và mợt sớ vấn đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tởng hợp và trình bày mợt sớ kiến thứccơbảnvề toán tử cực đại Hardy- Littlewood, các tính chất của hàm trọng Muckenhoupt. Cơng việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu củagiải tích Fourier, giải tích hàm, đợ đo- tích phân và giải tích thực. 4. Nợi dung Nợi dung luận văn gờm ba chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày mợt sớ khái niệm và kiến thức cần sử dụng cho các phần sau của luận văn như Lý thuyếtđ ợ đo tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực. Chương 2. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và các lớp hàm trọng 풑. Trong chương này nghiên cứu về toán tử cực đại Hardy-Littlewood và tính bị chặn của nó, mơ tả đặc điểm của các hàm trọng w mà toán tửcựcđạiHardy – Littlewood bị chặn trên 퐿 (푤) bằng điều kiện , tính chất của các lớp hàm trọng , cách xây dựng các lớp hàm trọng từ các lớp hàm trọng 1 và phép phân tích nhân tử từ mợt hàm trọng thuợc lớp theo hai hàm trọng thuợc lớp 1. Chương 3. Lớp hàm Hưlder ngược và lớp hàm trọng ∞. Chương này dành cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hưlder ngược, lớp hàm Hưlder ngược, lớp hàm trọng ∞ và các điều kiện tương đương.
10. 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm phân bố và các chuẩn 푳풑 Cho ( , 휇) là mợt khơng gian đo được và : ⟶ ℂ là mợt hàm đo được. Hàm được định nghĩa cho 푡 ∈ (0, +∞) bởi 휇({ ∈ ∶ | ( )| > 푡}) là hàm phân bớ của (liên kết với 휇). Ta có thể sử dụng hàm phân bớ để đại diện cho chuẩn 퐿 (휇) của mợt hàm. Bở đề 1.1: Cho 휙 ∶ [0, ∞) ⟶ [0, ∞) khả vi, tăng và 휙(0) = 0. Khi đó: ∞ ∫ 휙(| ( )|) 휇 = ∫ 휙′(푡)휇({ ∈ ∶ | ( )| > 푡}) 푡. 0 Để chứng minh kết quả này, cần lưu ý rằng vế trái tương đương với: | ( )| ∫ ∫ 휙′(푡) 푡 휇 0 và sau đó thay đởi thứ tự lấy tích phân. Trong trường hợp đặc biệt, 휙(푡) = 푡 với > 0, ta có: ∞ ∫| ( )| 휇 = ∫ 푡 −1휇({ ∈ ∶ | ( )| > 푡}) 푡. (1.1) 0 Bất đẳng thức Chebyshev: | ( )| 휇({ ∶ | ( )| > 푡}) ≤ ∫ 휇( ). 푡 { : | ( )|>푡} 1.2. Bất đẳng thức Jensen Bở đề 1.2: (xem [ ]) Cho 휇 là mợt đợ đo xác suất trên (nghĩa là 휇( ) = 1) và là mợt hàm dương, khả tích trên . Khi đó hàm: 1/푠 ℎ(푠) = (∫ 푠 휇)