Luận văn Không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết Galois

Nội dung tài liệu: Luận văn Không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết Galois

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHÔNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHÓM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHÔNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHÓM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
4. LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của Thầy Nguyễn Thái Sơn. Nhờ đó, tôi có ý thức và trách nhiệm trong việc thực hiện. Tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy kính mến. Tôi xin chân thành được tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cô trong khoa Toán- Tin và Phòng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên để tôi an tâm học tập và nghiên cứu. Mặc dù tôi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót. Mong Quý Thầy Cô góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 3 1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ ...................................................... 3 1.2. Không gian phủ ........................................................................................ 5 1.3. Cái nâng .................................................................................................... 6 1.4. Phân loại không gian phủ ......................................................................... 7 1.5. Nhóm con của 1 .................................................................................... 11 1.6. Phép biến đổi phủ ................................................................................... 12 Chương 2. PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN ................................ 17 2.1. Tích tự do ............................................................................................... 17 2.2. Cấu trúc của không gian phủ .................................................................. 19 Chương 3. MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS ................................................................ 29 3.1. Đa tạp Riemann có độ cong thiết diện hằng .......................................... 29 3.2. Phát triển nhóm cơ bản........................................................................... 32 3.3. Đa tạp Riemann phẳng ........................................................................... 34 3.4. Tinh thể 2-D và 3-D ............................................................................... 46 3.5. Liên quan giữa lý thuyết Galois và không gian phủ .............................. 54 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 58
6. 1 MỞ ĐẦU Tôpô đại số là một môn học đặc thù của ngành tôpô - hình học. Sử dụng các kiến thức của tôpô để giải các bài toán đại số và ngược lại, trong đó một trong các công cụ chủ lực là nhóm cơ bản. Nhóm cơ bản được xem như là một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù các nhóm. Từ đó ta chuyển được một bài toán tôpô về một bài toán lý thuyết nhóm. Ngược lại nhờ tôpô đại số mà ta giải được nhiều bài toán thú vị về lý thuyết nhóm. Ví dụ sử dụng lý thuyết đồ thị ta chứng minh được nhóm con của một nhóm tự do là một nhóm tự do. Để tính được nhóm cơ bản một không gian tôpô có thể có nhiều cách, trong đó cách thông dụng nhất là dùng ánh xạ phủ. Liên hệ với ánh xạ phủ ta nghiên cứu về tác động nhóm bới nhóm cảm sinh của nhóm cơ bản. Bên cạnh đó ta cũng tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ của các không gian tôpô và ứng dụng của chúng trong hình học đại số và lí thuyết số. Điểm quan trọng của lý thuyết Galois là sự tương quan giữa các nhóm đối xứng của các mở rộng trường và bản thân các mở rộng trường, cung cấp cho ta một mối liên kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Các phủ của không gian tôpô cũng được trang bị cách định nghĩa tương tự. Ở đây, một phủ của không gian tôpô X thực chất là một không gian tôpô cùng với một ánh xạ Y → X sao cho Y và X “đồng dạng” địa phương. Lí thuyết Galois về các phủ sẽ đóng vai trò kết nối giữa sự đối xứng của các phủ và các nhóm cơ bản, đóng vai trò như nhóm Galois. Hơn nữa vai trò của lí thuyết Galois về các phủ là một phép so sánh đơn thuần và đặc biệt khi xem xét các đường cong, ta có thể thành lập một mối liên kết trực tiếp giữa các phủ và các mở rộng trường trong ()z về Riemann. Nếu xét trường hợp của phủ của mặt cầu với ba điểm cực biên thì ta sẽ tìm được
7. 2 mối tương quan giữa các đường cong đại số định nghĩa trên trường số và phủ tôpô. Những khám phá này cung cấp cho ta một phương pháp mã hóa các thông tin của nhóm Galois các số hữu tỉ theo dữ liệu tổ hợp. Tóm lại, những ghi chú này nhằm khơi gợi những mối liên kết đầy mới mẻ giữa tôpô cổ điển và giải tích phức với những sự phát triển mới mẻ trong hình học đại số và số học và từ đó cho ta một góc nhìn khác với nhóm Galois của . Nội dung của luận văn gồm 3 chương: Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Chương 2: PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN. Chương 3: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS.
8. 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản của Tôpô đại số liên quan đến nhóm cơ bản, không gian phủ, phân loại không gian phủ, nhóm con của 1 và phép biến đổi phủ. 1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ 1.1.1. Nhóm cơ bản Cho không gian tôpô X , một con đường trong X là một ánh xạ liên tục  :IX [0;1] . Mọi không gian tôpô đều liên thông đường địa phương, Hausdorf và mọi ánh xạ giữa các không gian tôpô đều liên tục. Cho hai con đường  và  với điểm cuối  (1) của  bằng với điểm đầu  (0) của  . Khi đó tích  là con đường  nối với  . Một con đường mà điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là con đường đóng. Ta chọn một điểm xX và gọi nó là điểm cơ sở. Tập hợp tất cả các con đường đóng với điểm gốc x được kí hiệu là (,)Xx. Cho một con đường đóng  (,)Xx ta định nghĩa  1 bởi  1(tt ) (1 ) Trên (,)Xxta định nghĩa quan hệ tương đương , ký hiệu , nếu  và  là hai tương đương đồng luân tương đối I, nghĩa là có một ánh xạ liên tục GIIX: sao cho: G( t ,0)  ( t ) G( t ,1)  ( t ) G(0, s )  (0)  (0)  (1)  (1) G (1, s ) . Thương (Xx , )/ có một nhóm cấu trúc với phép nhân được định nghĩa bởi tích của hai con đường đã định nghĩa ở trên. Nghịch đảo của lớp tương
9. 4 đương [] của con đường đóng  kí hiệu là [] 1 . Con đường đóng  1 là đồng luân tương đối I , đến con đường đóng cố định x: t x mà chúng đồng nhất của nhóm. Đồng luân được xác định bởi: 1  (st ) khi 0 t 2 G(,) t s 1  (s (1 t )) khi t 1 2 Tập hợp các lớp tương đương của các con đường đóng tại x kí hiệu là 1(,)Xx. Mỗi phần tử của 1(,)Xx kí hiệu là [] , [] , Trên 1(,)Xx ta trang bị một phép nhân [ ][  ] [  ]. 1(,)Xx cùng với phép nhân như trên lập thành một nhóm được gọi là nhóm cơ bản của X (với điểm gốc x ). Một không gian tôpô được gọi là đơn liên nếu nó là không gian tôpô liên thông đường và nhóm cơ bản của nó tại mỗi điểm là tầm thường. Hai nhóm 1(,)Xx và 1(,)Xy với xy là đẳng cấu nhưng không chính tắc. Thật vậy, vì X là liên thông đường nên có  : IX với (0) x và 1 (1) y . Khi đó ánh xạ    cảm sinh một đẳng cấu 11(,)(,)X y X x mà chỉ phụ thuộc vào  và vì thế nó không chính tắc. Một ánh xạ f:(,)(,) X x Y y cảm sinh đồng cấu f#:(,)(,) 1 X x 1 Y y bởi ff# ([ ]) [ ] với  1(,)Xx. Nếu không gian co rút được thì nhóm cơ bản của nó là tầm thường. Nếu là một tương đương đồng luân thì f# là một đẳng cấu. Quả cầu S n là đơn liên với n 1 vì mỗi con đường đóng là đồng luân
10. 5 tương đối I đến con đường đóng cố định. Trong phần này ta chỉ ra rằng 1 1(,)Sx . Ta gán cho mỗi con đường đóng trong S 1 số lần mà nó quấn quanh vòng tròn với dấu dương hoặc âm theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ hoặc chiều quay kim đồng hồ. 1.2. Không gian phủ 1.2.1. Định nghĩa Một không gian phủ của một không gian X là một không gian X cùng với một một ánh xạ p: X X thỏa điều kiện sau đây: 1 Với  xX tồn tại một lân cận Ux của X để pU()x là hợp rời của các tập 1 mở trong X sao cho p là đồng phôi từ pU()x vào Ux . Ánh xạ p được gọi là phủ, không gian được gọi là không gian đáy của cái phủ và không gian gọi là không gian toàn thể của cái phủ. Với mỗi xX thì px 1() được gọi là thớ đi qua x . 1.2.2. Ví dụ Ánh xạ exp : S1 xác định bởi exp(te ) 2 it . Lấy điểm x tùy ý trên đường tròn. Ta có xe 2 it với t . Xét lân cận U e2 (tk ) ,; k . Lấy x' sao cho tx 2' . 1 1 2jj 1 2  Khi đó exp (U ) { Sj  | j }, trong đó Sj  x | x x ' ; x ' .  22 Ta thấy rằng S là các tập mở rời nhau từng đôi một và exp | là đồng phôi từ j S j S j vào U . Vậy là không gian phủ của S 1 . 1.2.3. Ví dụ Trong ví dụ này ta chỉ ra rằng chùm phân thớ là những phân thớ nghĩa là