Luận văn Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé

Nội dung tài liệu: Luận văn Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
3. Mục Lục Lời cảm ơn ....................................................................................................... 3 Phần mở đầu .................................................................................................... 4 Bảng kí hiệu ..................................................................................................... 8 Chương 1: Kiến thức cơ sở ............................................................................. 9 1.1. Iđêan nguyên tố liên kết ......................................................................... 9 1.2. Độ cao của một iđêan ........................................................................... 10 1.3. Chiều của một iđêan ............................................................................. 10 1.4. Độ sâu của mô đun ............................................................................... 11 1.5. Vành Cohen – Macaulay ...................................................................... 13 1.6. Vành phân bậc ...................................................................................... 13 1.7. Hàm tử xoắn ......................................................................................... 14 1.8. Mô đun đối đồng điều địa phương ....................................................... 16 1.9. Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương .................... 18 Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé ........................................... 20 2.1. Khái niệm về sự ổn định tiệm cận ........................................................ 20 2.2. Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương. ........................................... 21 2.3. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1. 21 2.4. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 2. ........................................................ 28 KẾT LUẬN .................................................................................................... 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 36
4. Lời cảm ơn Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012 Học viên Lê Đình Nghĩa
5. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Cho RR= ⊕ trong đó họ (R ) là họ các vành Noether, R+ = n≥0 n n n0≥ ⊕ R là một iđêan của R và M là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. n0> n i HR+ (M) là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R+ được i ∈ trang bị tính phân bậc tự nhiên. Với mỗi n  ta có HR+ (M)n là thành phần phân bậc thứ n của mô đun Hi (M), tập hợp Ass Hi (M) là tập hợp các R+ RR0 ( + n ) i iđêan nguyên tố liên kết của HR+ (Mn ) . Trong quá trình nghiên cứu và tìm i hiểu về mô đun đối đồng điều địa phương HR (M) các nhà toán học đã thu + i được nhiều kết quả hết sức thú vị và đặc biệt về mô đun HR+ (M)và một trong những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp Ass Hi (M) . Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của RR0 ( + n ) i Ass H (M) là nhà toán học M. Brodmann, M. Brodmann đã chứng RR0 ( + n ) minh được một số kết quả quan trọng: j (1) [2.2.1] “ Nếu R – mô đun HR+ (M) là hữu hạn sinh với mọi j < i, thì ta có sự ổn định tiệm cận thứ i của Ass Hi (M) ”. RR0 ( + n ) (2) [2.2.2] “ Nếu R0 là vành (nửa địa phương) địa phương và có dim(R0) ≤ i 1 thì chúng ta có tập hợp Ass H (M) ổn định tiệm cận tại mọi i”, RR0 ( + n ) Vấn đề đặt ra ở đây là trong kết quả (2) khi mở rộng thêm giả thiết thì i sự ổn định tiệm cận của Ass H (M) thay đổi như thế nào? Trong RR0 ( + n )
6. trường hợp R0 không là địa phương thì chúng ta có sự ổn định tiệm cận hay không hoặc cần bổ sung những điều kiện gì nữa để tính ổn định tiệm cận vẫn còn? Trong trường hợp không có điều kiện địa phương thì cần những điều i kiện gì của R0 để cho Ass H (M) vẫn ổn định tiệm cận? RR0 ( + n ) Năm 2003 trong một bài báo của M. Bordmann, S. Fumasoli, và C.S. Lim đã trả lời cho những câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể hiện trong các định lý sau. Để mở rộng (2) trong trường hợp bỏ đi tính địa phương R0, chúng ta cần thêm một số điều kiện nhỏ thể hiện trong các kết quả sau: (3) [2.3.3] Giả sử R0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A0 sao cho ∩=A0với mỗi iđêan tối tiểu của R . Thì với mỗi i∈ . q00 q0 0  Τ=Τii = ∈ i ∩ ≤ (i) (M): {p AssRR (H+ (M))| ht(p R) 1}là hữu hạn. Τ=Τii = ∈ i ≤ (ii) nn(M): {pp00 AssRR (H+ (M)n )| ht( ) 1} ổn định tiệm cận. 0 (4) [2.3.6] Giả sử R0 chủ yếu hữu hạn trong một trường. Thì với mỗi i∈0 . (i) Τ=Τii(M): = {p ∈ Ass (Hi (M))| ht(p∩ R) ≤ 1} là hữu hạn. RR+ (ii) Τ=Τii(M): = {pp ∈ Ass (Hi (M) )| ht( )≤ 1} ổn định tiệm cận. nn 00RR0 + n Trong trường hợp đặc biệt, khi dim(R0 )≤ 1 ta có kết quả: (5) [2.3.9] Giả sử dim(R0 )≤ 1 và R0 hoặc là vành nữa đơn hoặc là mở rộng của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trên một trường. Thì với mỗi i∈ . i (i) AssRR (H+ ( M) ) là hữu hạn. (ii) Ass (Hi M ) ổn định tiệm cận. RR+ ( )n Ngoài ra còn có một hướng mở rộng (2) trong trường hợp dim( R0 )= 2 nhưng vẫn giữ nguyên tính địa phương của R0, ta có kết quả yếu hơn:
7. = (6) [2.4.7] Giả sử R0 là vành nửa địa phương với dim(R 0 ) 2 . Với i∈ . Thì i HR+ (M) là thuần hóa. Đặc biệt, khi thêm vài điều kiện nhỏ thì ta có kết quả: (7) [2.4.8] Giả sử R0 là vành nửa địa phương với dimR0 ≤ 2 . Nếu R0 hoặc mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trong một trường. Thì với mọi i∈ tập hợp Ass Hi (M) ổn định tiệm  RR0 ( + n ) cận. Những vấn đề trên có vai trong quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. 2. Mục đích của đề tài Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các bài chứng minh cho các kết quả (3), (4). Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (6), (7). 3. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Bài nghiên cứu sẽ trình bày một vài khái niệm cơ bản cùng các kiến thức hỗ trợ và tập trung làm việc trên tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương i Ass H (M) để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận hoặc những tính chất RR0 ( + n ) khác của nó. Đặc biệt là bài nghiên cứu dừng ở mức độ số chiều của R0 thấp 0,1,2 cũng như chỉ thêm vào R0 những điều kiện nhỏ và cần thiết. Luận văn được chia làm hai chương:
8. Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau. Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh các kết quả (3), (4) cùng với hệ quả liên quan. Phần 2 trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (6), (7).
9. Bảng kí hiệu ={0,1,2...} - tập hợp các số tự nhiên   ={...,-1,0,1,2...} - tập hợp các số nguyên ⊕ R - tổng trực tiếp của họ các vành Rn n0≥ n R/p – vành thương của R theo p Spec(R) - tập hợp các iđêan nguyên tố của R V(a ) - tập hợp các iđêan nguyên tố chứa a −1 SR - vành các thương của vành R theo tập con nhân S R p - vành địa phương tại p. Supp M=∈≠ {p Spec(R )| M 0} R0 ( ) 0 p R Var(m )= Supp( m) Ann(M) - linh hóa tử của M dim(R 0 ) - số chiều của vành R0 R012 [l ,l ,...,l r ] - vành đa thức lấy hệ số trên R0 inf {i∈... } - cận dưới đúng của một tập hợp sup{i∈... } - cận trên đúng của một tập hợp Hom( A,B) - tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B
10. Chương 1: Kiến thức cơ sở 1.1. Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x∈M sao cho Ann(x) = p. (ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/p. Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssR(M). Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x∈M, x ≠ 0}. Thì p ∈AssR(M). Hệ quả 1.1.3. AssR(M) = 0 ⇔ M = 0 Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt R'= S−1 R, M'= S−1 M. Thì AssRR (M')= f(AssR' (M')) = Ass (M) ∩{pp | ∩=∅ S } Trong đó f:Spec(R')→ Spec(R) là một đồng cấu. Ass M=∈⊆ R | Ass (M), Đặc biệt, RRp ( pp) {q q qp} Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Thì AssR(M) ⊆ SuppR(M), và với mọi phần tử tối tiểu của SuppR(M) đều nằm trong AssR(M). Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Thì iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.