Luận văn Xây dựng trực tiếp hàm Tor

Nội dung tài liệu: Luận văn Xây dựng trực tiếp hàm Tor

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng chúng tôi, nội dung được nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác HỌC VIÊN PHAN LÊ THANH QUANG 1
4. MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................................... 1 LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................................................ 3 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................................... 5 §1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ................................................................................................. 5 §2. HÀM TỬ TENXO .......................................................................................................... 14 §3. PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR .................................................................. 19 Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR ........................................................ 24 §1. MODUN ĐỐI NGẪU ..................................................................................................... 24 §2. XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR ................................................................. 31 §3. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH .......................................................................................................... 46 KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 56 2
5. LỜI NÓI ĐẦU Đồng điều là công cụ dùng để đo mức độ không khớp của một dãy nửa khớp Các hàm tử Hom và Tenxo là các hàm tử nửa khớp. Để đo mức độ không khớp của các hàm tử này so với một hàm tử khớp, người ta xây dựng các hàm tử dẫn xuất tương ứng là Tor (hàm tử xoắn ) và Ext (hàm tử mở rộng ). Các hàm tử này ngày nay đã trở thành những công cụ trụ cột của nhiều lĩnh vực nghiên cứu trong Hình học, Topo, Đại số, Lý thuyết số Qua quá trình nghiên cứu tại trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi tiếp cận với phương pháp xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh. Câu hỏi đặt ra ở đây: Ngoài cách xây dựng hàm tử Tor như đã nói trên, thì hàm tử Tor còn có thể xây dựng bằng phương pháp nào khác không? Điều đó dẫn đến lý do khiến chúng tôi thực hiện đề tài này. Đề tài được thực hiện nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor trực tiếp. Sau quá trình xây dựng, chúng tôi sẽ chứng minh hàm tử Tor được xây dựng trực tiếp và hàm tử Tor được xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh là tương đương đồng luân với nhau. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về phức, đồng điều, hàm tử tenxo và phép giải xạ ảnh. Qua đó, xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh. Chương 2: Xây dựng trực tiếp hàm tử Tor bằng các phân hoạch bộ ba, trình bày một số tính chất và định lý liên quan. Cuối cùng, trong chương này, ta sẽ trình bày định lý về sự tương đương giữa hai cách xây dựng. 3
6. Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Huyên, người thầy đã hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần Huyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô là giảng viên đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, đã đặt những nền móng kiến thức vô cùng quý báu với tôi. Tôi xin cảm ơn với Ban giám hiệu, các thầy cô công tác tại phòng sau đại học trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. 4
7. Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU 1.1 Phức Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 1.1.1: Phức dưới (phức lùi) là một dãy các modun và đồng cấu modun được đánh số lùi theo tập chỉ số các số nguyên có dạng: n 11  n  n K : Kn 11  K n  K n  n (1) thỏa nn  1 0 n , tức là Imnn 1 Ker   n . Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (1) và viết đơn giản:    K : Kn 11  K n  K n  n và  0 n , tức là Im Ker   n . Định nghĩa 1.1.2: Phức trên (phức tiến ) là một dãy các modun và đồng cấu modun được đánh số tiến theo tập chỉ số các số nguyên có dạng: n 11  n  n K : Kn 11  K n  K n  n (2) thỏa nn 1  0 n , tức là Imnn Ker  1  n . Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (2) và viết đơn giản    K : Kn 11  K n  K n  n và , tức là . 5
8. Như vậy một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp được đánh số theo tập số nguyên. Nếu phức có chiều tăng các chỉ số cùng chiều với chiều đồng cấu thì ta gọi đó là phức tiến. Ngược lại, nếu phức có chiều tăng các chỉ số ngược chiều với chiều các đồng cấu thì ta gọi đó là phức lùi. Ta có thể chuyển phức tiến thành phức lùi và ngược lại bằng cách đặt lại chỉ số nn' . Thật vậy, ta xét dãy phức tiến sau: ' Bằng cách đặt KLnn và nn  , khi đó ta được dãy phức lùi: '''  n 11  n  n L : L n 11  L n  L n  n Trong luận văn này, chúng ta chỉ tập trung vào phức lùi. Vì thế, khi nói phức K hay phức KK  nn,  ta ngầm hiểu đây là phức lùi. 1.2 Biến đổi dây chuyền '' Cho hai phức và KK',  nn. Khi đó, ta có định nghĩa Định nghĩa 1.2.1: n 11  n  n Một K bi ế:n đ ổi K n dây 11  chuy Kề nn  f:' K K n K là một n h ọ các đồng cấu ' ' fn: K n K n thỏa mãn đẳng thức nff n n 1  n với mọi số nguyên n . Điều kiện đó đồng nghĩa với biểu đồ sau đây giao hoán: n 11  n  n KKKK :...n 11 n  n  ... fn 11 f n  f n  ''' K ': '''n 11  n  n ...KKKn 11 n  n  ... Để đơn giản, chúng ta thường lược bỏ phần chỉ số. Tuy vậy, khi gặp mỗi hệ thức đồng cấu, ta phải ngầm hiểu rằng đó là đồng cấu với chỉ số nào. 6
9. Mệnh đề 1.2.2: Ta có một số tính chất sau: Tích đồng cấu của 2 biến đổi dây chuyền cũng là một biến đổi dây chuyền. Đồng cấu đồng nhất 1 1 : K K cũng là một biến đổi dây chuyền. K Kn n n 1.3 Phạm trù các phức Với các phức và các biến đổi dây chuyền được định nghĩa như trên, ta định nghĩa được phạm trù các phức như sau. Định nghĩa : Phạm trù các phức là phạm trù mà trong đó: Vật là các phức. Cấu xạ là các biến đổi dây chuyền. KPhép hợp thành: là phép hợp 2 đồng cấu. 1.4. Đồng điều Cho phức , ta định nghĩa ZKKn ker  n  n và BKZKn Im  n 1  n ( ) Định nghĩa: ZKn Ker n Ta đặt HKn BKn Im n 1 Khi đó, ta gọi HKn là modun đồng điều chiều n của phức . Mỗi phần tử trong là một lớp tương đương có dạng xx Im n 1 trong đó x  Ker n ''' ' Cho 2 phức KKKK n,,,  n n  n và f: K K là một biến đổi dây chuyền Xét sơ đồ sau : 7
10. Theo định nghĩa của biến đổi dây chuyền thì biểu đồ trên giao hoán. Do ' ' đó, fn Ker n  Ker  n và fn Im n 11  Im  n . Vì thế, fn cảm sinh đồng cấu với mỗi n : f* Hn f :' H n K H n K Với mỗi phần tử x Im  Hn K , ảnh của chúng qua đồng cấu trên được xác ' định như sau f* x Im  Hn x Im  f x Im  Ta dễ dàng chứng minh được đồng cấu được cảm sinh bởi có các tính chất sau: H 11 nK HKn K Hn gf H n g .H n f Như vậy, H n là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù các phức và các biến đổi dây chuyền đến phạm trù các modun. Mỗi phức ứng với modun đồng điều và mỗi biến đổi dây chuyền f thì ứng với đồng cấu modun Hfn . Hàm tử này ta gọi là hàm tử đồng điều. HKn 1.5 Đồng luân dây chuyền Bây giờ, ta xét 2 biến đổi dây chuyền f,:' g K K . 8