Luận văn Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ bose – einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên robin

Nội dung tài liệu: Luận văn Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ bose – einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên robin

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHAN THỊ OANH VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2017
2. LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Phan Thị Oanh
3. LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán với đề tài “Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Phan Thị Oanh
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 1. Lý do chon đề tài .................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 2 5. Những đóng góp mới của đề tài .............................................................. 2 6. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 2 Chương 1:TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN ................................................................................................. 3 1.1. Thống kê Bose – Einstein .................................................................... 3 1.2.Tổng quan nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein ........................... 10 1.2.1. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein ...................................... 10 1.2.2. Một số ứng dụng của ngưng tụ Bose – Einstein .............................. 15 Chương 2: LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ................................... 23 2.1. Gần đúng trường trung bình ............................................................... 23 2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii ........................................................... 26 Chương 3: VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN ........................................................................................... 28 3.1. Gần đúng Parabol kép (Double parabola approximation - DPA)........ 28
5. 3.2. Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép ................................... 30 3.3. Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin ......................................................... 34 KẾT LUẬN ............................................................................................. 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 41
6. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chon đề tài Nói đến vật lý hiện đại chúng ta nghĩ ngay đến Albert Einstein (1897 - 1955) là nhà Vật lý lý thuyết người Đức. Ông được coi là một trong những nhà khoa học có ảnh hưởng nhất của thế kỉ 20 – cha đẻ của Vật lý hiện đại. Nói tới Einstein không thể không nhắc tới hàng loạt những công trình nghiên cứu của ông, một trong số đó là ngưng tụ Bose – Einstein (Bose – Einstein condensate – BEC) được tạo ra đầu tiên trên thế giới từ những nguyên tử lạnh năm 1995. Trong lĩnh vực nghiên cứu về hệ ngưng tụ BEC hai thành phần (BECs) thì việc tìm ra vị trí măt phân cách giữa các thành phần đóng vai trò quan trọng. Khi biết vị trí mặt phân cách này chúng ta có thể nghiên cứu các tính chất khác của hệ như sức căng bề mặt, chuyển pha dính ướt, Ngoài các thông số đặc trưng của hệ như mật độ hạt, hằng số tương tác, thì vị trí của mặt phân cách còn phụ thuộc vào điều kiện biên đặt vào hệ. Điều kiện biên đã được nghiên cứu gồm điều kiện biên Neuman [6] và điều kiện biên Dirichlet [8]. Theo như chúng tôi biết thì hiện chưa có nghiên cứu nào cho điều kiện Robin. Trong lý thuyết trường trung bình, vị trí mặt phân cách được xác định thông qua giải hệ phương trình Gross - Pitaevskii. Tuy nhiên, do tính chất phi tuyến mà trong các trường hợp tổng quát ta không thể giải giải tích hệ phương trình này. Hiện đã có nhiều phương pháp gần đúng được đưa ra như phương pháp nội suy [5], phương pháp gần đúng parabol kép [6], Xuất phát từ những lí do trên, nên tôi chọn đề tài “Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin” làm đề tài nghiên cứu của mình.
7. 2 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin trong Vật lý thống kê và cơ học lượng tử nói riêng trong Vật lý lý thuyết nói chung. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin trên cơ sở thống kê Bose – Einstein, phương trình Gross - Pitaevskii tổng quát. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Phương trình Gross - Pitaevskii. - Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin 5. Những đóng góp mới của đề tài Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin có những đóng góp quan trọng trong Vật lý thống kê và cơ học lượng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết nói chung. 6. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng gần đúng parabol kép. - Sử dụng phần mềm Mathermatica tính số và vẽ hình.
8. 3 Chương 1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1. Thống kê Bose – Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Từ công thức chính tắc lượng tử [2], , (1.1) với là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có (1.2) trong đó là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ với xác suất khác nhau. Độ suy biến trong (1.1) tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị đó chính là số mới vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng , (1.3) trong đó , là thế nhiệt động lớn, là thế hóa. Ở đây có thừa số xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
9. 4 được do hoán vị các hạt. Ta kí kiệu (1.4) Khi đó (1.4) được viết lại như sau (1.5) Ta có hai nhận xét về công thức (1.5) như sau: Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có hạt nằm trên mức , hạt nằm trê mức , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng . (1.6) Hai là đại lượng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có . (1.7) Tìm Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng . Do đó số tổng cộng các trạng thái
10. 5 khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho . Khi đó , (1.8) thay giá trị của vào (1.4) ta thu được (1.7). Để tính trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng trong công thức (1.5) chỉ số , tức là ta sẽ coi hệ ta xét không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thế hóa học . Và cuối phép tính ta cho . Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau , (1.9) với , (1.10) nghĩa là . (1.11) Khi đó đạo hàm của theo dựa vào (1.10) và (1.11) (1.12) Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt thì theo (1.6) vế phải của công thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu được . (1.13) Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ ) và do đó theo (1.9) ta có