Luận văn Về tính chính quy nghiệm của một lớp phương trình elliptic với dữ liệu độ đo

Nội dung tài liệu: Luận văn Về tính chính quy nghiệm của một lớp phương trình elliptic với dữ liệu độ đo

1. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MËT LÎP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÎI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2020
2. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MËT LÎP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÎI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2020
3. LÍI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luªn v«n với đề tài "V· t½nh ch½nh quy nghi»m cõa mët lớp phương tr¼nh elliptic với dú li»u độ đo" do ch½nh tôi thực hi»n. C¡c k¸t qu£ trong luªn v«n là trung thực và không sao ch²p b§t kỳ luªn v«n nào kh¡c. Trong qu¡ tr¼nh thực hi»n luªn v«n, tôi đã thøa k¸ nhúng k¸t qu£ trong nhi·u bài b¡o đ¢ được công bè cõa c¡c nhà khoa học với sự tr¥n trọng và bi¸t ơn. Tôi xin cam đoan r¬ng mọi sự giúp đỡ cho vi»c thực hi»n luªn v«n đã được c¡m ơn và c¡c thông tin tr½ch d¨n trong luªn v«n đã được ghi rã nguồn gèc và đưñc ph²p công bè. Học vi¶n thực hi»n Trịnh Thị Ngọc Nga
4. LÍI CẢM ƠN Trong suèt qu¡ tr¼nh thực hi»n luªn v«n, tôi đã nhªn được r§t nhi·u sự giúp đỡ, động vi¶n tø quý cô, gia đình và b¤n b±. V¼ vªy, trước ti¶n tôi xin ch¥n thành c£m ơn PGS.TS. Nguy¹n B½ch Huy và TS. Nguy¹n Thành Nh¥n đã tªn t¼nh gi£ng d¤y, hướng d¨n và giúp đỡ tôi hoàn thành luªn v«n. Tôi xin tr¥n trọng c£m ơn Ban l¢nh đạo Khoa To¡n - Tin học, Pháng Sau Đại học, Thư vi»n trường Đại học Sư ph¤m thành phè Hồ Ch½ Minh đã t¤o mọi điều ki»n thuªn lñi cho tôi thực hi»n tèt luªn v«n. Tôi xin c£m ơn quý th¦y cô trong Hëi đồng ch§m luªn v«n đã đọc và góp ý giúp cho luªn v«n được hoàn ch¿nh hơn. Xin ch¥n thành c£m ơn quý th¦y cô Khoa To¡n - Tin học trường Đại học Sư ph¤m thành phè Hồ Ch½ Minh đã truy·n đạt cho tôi nhúng ki¸n thùc quý b¡u trong suèt nhúng n«m học vøa qua, t¤o cho tôi mët n·n t£ng vúng ch­c để thực hi»n luªn v«n.
5. Cuèi cùng, tôi xin ch¥n thành c£m ơn gia đình, b¤n b± và tªp thº lớp To¡n Gi£i t½ch K27 đã h¸t láng õng hë và động vi¶n, giúp đỡ tôi trong qu¡ tr¼nh học tªp cũng như trong qu¡ tr¼nh thực hi»n luªn v«n này. Tuy nhi¶n, do thời gian có h¤n n¶n luªn v«n cán nhi·u h¤n ch¸ và không tr¡nh khỏi nhúng sai sót. V¼ vªy, tôi r§t mong nhªn được sự đóng góp ý ki¸n cõa quý th¦y cô và c¡c b¤n để luªn v«n được hoàn thi»n hơn. Ch¥n thành c£m ơn. Học vi¶n thực hi»n Trịnh Thị Ngọc Nga
6. MỤC LỤC Lời cam đoan Lời c£m ơn Mục lục C¡c k½ hi»u Mở đầu 1 Chương 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bị 7 1.1 To¡n tû tựa tuy¸n t½nh .................................. 8 1.2 Độ đo Radon húu h¤n .................................. 9 1.3 Điều ki»n p-capacity .................................... 11 1.4 Nghi»m renormalized ................................... 12 1.5 Không gian Lorentz ..................................... 14 1.6 C¡c to¡n tû cực đại ..................................... 15 Chương 2. Đánh gi¡ gradient trong không gian Lorentz 20 2.1 Đánh gi¡ địa phương b¶n trong ........................... 21
7. 2.2 Đánh gi¡ địa phương tr¶n bi¶n ........................... 30 2.3 K¸t qu£ ch½nh quy nghi»m ............................... 32 Chương 3. Ứng dụng vào phương tr¼nh d¤ng Riccati 47 3.1 Định lý điểm b§t động Schauder .......................... 48 3.2 Chu©n trong không gian Lorentz ......................... 48 3.3 Sự tồn t¤i nghi»m renormalized cõa phương tr¼nh d¤ng Riccati 51 K¸t luªn 59 Tài li»u tham kh£o 61
8. CÁC KÝ HIỆU Ω Mi·n mở, bị chặn trong Rn Ωc Ph¦n bù cõa mi·n Ω trong Rn @Ω Bi¶n cõa mi·n Ω diam(Ω) Đường k½nh cõa mi·n Ω n Br(x) Qu£ c¦u mở t¥m x, b¡n k½nh r trong R jEj Độ đo Lebesgue cõa tªp đo được E ⊂ Rn ru Gradient cõa hàm u : Rn ! R div(F ) Divergence cõa hàm F : Rn ! Rn Mb(Ω) Không gian độ đo Radon với bi¸n ph¥n bị chặn tr¶n Ω Lp(Ω) Không gian Lebesgue c¡c hàm đo được, có lũy thøa p kh£ t½ch tr¶n Ω L1(Ω) Không gian c¡c hàm đo được, bị chặn h¦u kh­p nơi tr¶n Ω n E f(x)dx T½ch ph¥n trung b¼nh cõa hàm f tr¶n E ⊂ R ffl W 1;p(Ω) Không gian Sobolev tr¶n Ω 1;p Wloc (Ω) Không gian Sobolev địa phương tr¶n Ω k:k Chu©n Cn(Ω) Tªp c¡c hàm kh£ vi li¶n tục c§p n tr¶n Ω C1(Ω) Tªp c¡c hàm kh£ vi li¶n tục vô h¤n l¦n tr¶n Ω  K¸t thúc chùng minh.
9. 1 MÐ ĐẦU Phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng là mët trong nhúng lĩnh vực thu hút nhi·u nh§t sự quan t¥m cõa c¡c nhà to¡n học. Li¶n quan đến vi»c nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t định t½nh cõa nghi»m phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng, mët trong c¡c bài to¡n được nghi¶n cùu ban đầu là bài to¡n v· sự tồn t¤i, duy nh§t nghi»m và t½nh ch½nh quy nghi»m. Với sự ph¡t triºn li¶n tục, hi»n nay có kh¡ nhi·u phương ph¡p được sû dụng để kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t nghi»m này cõa phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng. Trong mët sè kỹ thuªt g¦n đây, vi»c chùng minh được sự tồn t¤i, duy nh§t nghi»m và nghi¶n cùu t½nh ch½nh quy cõa nghi»m c¡c phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng thường được ¡p dụng tø công cụ húu hi»u tø t½nh bị chặn cõa c¡c to¡n tû cực đại trong lĩnh vực Gi£i t½ch điều háa, hoặc c¡c k¸t qu£ đánh gi¡ gradient cho nghi»m cõa phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng. C¡c phương ph¡p này d¦n chùng tỏ được sự hi»u qu£, khi chùng minh được c¡c k¸t qu£ ch½nh quy nghi»m cho c¡c lớp bài to¡n kh¡ têng qu¡t với dú li»u độ đo. Tø đó, c¡c nghi¶n cùu v· đánh
10. 2 gi¡ gradient cho nghi»m cũng b­t đầu được nhi·u nhà to¡n học nghi¶n cùu sôi động, k²o theo r§t nhi·u k¸t qu£ được công bè tr¶n c¡c t¤p ch½ to¡n học uy t½n. Li¶n quan đ¸n chõ đề này, có thº kº đến c¡c công tr¼nh mới và ti¶u biºu cõa c¡c nhà to¡n học lớn như L.A. Caffarelli, E. DiBenedetto, L. Boccardo, F. Murat, G. Mingione, F. Duzaar, M. Colombo, T. Kuusi, L. Grafakos, T. Kilpelainen, J. Maly, Y. Sire, P. Baroni, L. Veron, S. Byun, T. Mengesha, . . . Trong luªn v«n này, chúng tôi x²t phương tr¼nh elliptic tựa tuy¸n t½nh với dú li»u độ đo, có d¤ng như sau: 8 <>−div(A(x; ru)) = µ trong Ω; :> u = 0 tr¶n @Ω; trong đó Ω là mi·n mở, bị chặn trong Rn với n ≥ 2, µ là độ đo Radon húu h¤n trong Ω, to¡n tû phi tuy¸n A là hàm gi¡ trị vector Carath²dory thỏa: tồn t¤i p > 1 và hai h¬ng sè dương ζ, ν sao cho jA(x; ξ)j ≤ ζjξjp−1; p−2 hA(x; ξ) − A(x; η); ξ − ηi ≥ ν jξj2 + jηj2
    2 jξ − ηj2; với mọi (ξ; η) 2 Rn × Rn n f(0; 0)g. V· sự tồn t¤i nghi»m cõa phương tr¼nh này, k¸t qu£ đầu ti¶n được đưa ra bởi L. Boccardo và c¡c cëng sự [1, 2]. Trong đó, c¡c t¡c gi£ ch¿ ra r¬ng sự tồn t¤i