Luận văn Về phân tích phổ của hệ động lực Tô-pô

Nội dung tài liệu: Luận văn Về phân tích phổ của hệ động lực Tô-pô

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HÅC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHÊ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÆ-PÆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Hà Nëi - 2019
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HÅC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHÊ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÆ-PÆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nëi - 2019
3. Mục lục Lời c£m ơn 1 Mở đầu 1 1 Ki¸n thùc chu©n bị 3 1.1 T½nh gi¢n đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2 T½nh bóng cõa đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Ph¥n t½ch phê cõa h» động lực tôpô 23 2.1 Tªp quay lui x½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tªp ên định và không ên định . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Ph¥n t½ch phê cõa h» động lực tô-pô . . . . . . . . . . . 35 K¸t luªn 44 Tài li»u tham kh£o 45 i
4. LÍI CẢM ƠN Luªn v«n này được thực hi»n t¤i Trường Đại học khoa học tự nhi¶n - Đại học Quèc gia Hà nëi và hoàn thành dưới sự hướng d¨n cõa TS. L¶ Huy Ti¹n. Em xin được bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c ch¥n thành và tới th¦y gi¡o hướng d¨n khoa học cõa m¼nh, người đã đặt v§n đ· nghi¶n cùu, dành nhi·u t¥m huy¸t, thời gian hướng d¨n và tªn t¼nh gi£i đáp nhúng th­c m­c cõa em trong suèt qu¡ tr¼nh làm luªn v«n. Em cũng xin tr¥n trọng c£m ơn Ban Gi¡m hi»u Trường Đại học khoa học tự nhi¶n, Ban Chõ nhi»m Khoa Toán-Cơ-Tin học, Bë môn To¡n gi£i t½ch, cùng c¡c gi£ng vi¶n đã tham gia gi£ng d¤y, đã t¤o mọi điều ki»n tèt nh§t để em học tªp và nghi¶n cùu. Đồng thời, em cũng xin gûi lời c£m ơn tới tªp thº lớp cao học To¡n học (khóa 2016-2018), c£m ơn gia đình b¤n b± đ¢ động vi¶n và giúp đỡ em r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh học tªp. Hà Nëi, ngày 15 th¡ng 11 n«m 2019. Học vi¶n Nguy¹n Hoàng Vi»t 1
5. Mở đầu Lịch sû lý thuy¸t h» động lực b­t đầu được bi¸t đến bởi Issac-Newton, người mà đã mô t£ c¡c quy luªt chuyºn động và ph¡t hi»n ra lực h§p d¨n. Trong lý thuy¸t cõa Newton, c¡c chuyºn động trong mët h» động lực được mô t£ bởi c¡c h» phương tr¼nh vi ph¥n. Sau đó, cuèi th¸ kỷ 19, Poincar² đã ph¡t triºn lý thuy¸t định t½nh phương tr¼nh vi ph¥n. Poincar² nghi¶n cùu t½nh ch§t nghi»m thay v¼ t¼m được công thùc gi£i t½ch cõa nghi»m. Nhi·u n«m sau đó, c¡c nhà khoa học đã ph¡t triºn c¡c lý thuy¸t nghi¶n cùu định t½nh h» động lực trong cơ sở lý thuy¸t tôpô. Trong đó, vi»c nghi¶n cùu đồng phôi gi¢n và bóng là mët chõ đề lớn trong nhúng n«m qua. T½nh ch§t bóng xu§t ph¡t tø vi»c gi£i sè phương tr¼nh vi ph¥n. T½nh ch§t bóng có nghĩa là tồn t¤i mët quỹ đạo g¦n mët gi£ quỹ đạo cho trước. T½nh bóng được nghi¶n cùu đầu ti¶n bởi Anosov, Bowen, Sinai, c¡c t¡c gi£ này đã cho r¬ng nó li¶n quan đến bài to¡n ên định toàn cục cõa h» động lực. C¡c t¡c gi£ này đều ti¸p cªn t½nh bóng b¬ng c¡c phương ph¡p h¼nh học. Trong luªn v«n này, chúng tôi s³ tr¼nh bày v§n đề “V· ph¥n t½ch phê cõa h» động lực tô-pô ”. Trong đó, chúng tôi s³ tr¼nh bày chi ti¸t v· đồng phôi không gi¢n và bóng có ph¥n t½ch phê. Nëi dung luªn v«n được chia làm 2 chương. Trong đó, • Chương 1: Ki¸n thùc chu©n bị. Trong chương này, chúng tôi s³ tr¼nh bày c¡c ki¸n thùc đồng phôi gi¢n cõa mët không gian m¶tric tôpô và c¡c t½nh ch§t li¶n quan, t½nh bóng cõa đồng phôi và đồng phôi Anosov tôpô. 1
6. • Chương 2: Ph¥n t½ch phê cõa h» động lực tôpô. C¡c nëi dung quan trọng và chùng minh chi ti¸t v· ph¥n t½ch phê theo Smale và Bowen s³ được tr¼nh bày. Tài li»u ch½nh được tham kh£o kh£o trong khi hoàn thành luªn v«n này là [2]. Ngoài ra, chúng tôi cũng tham kh£o c¡c tài li»u [1], [7]. 2
7. Chương 1 Ki¸n thùc chu©n bị Chương này s³ tr¼nh bày mët sè ki¸n thùc cơ b£n v· h» động lực, ¡nh x¤ li¶n tục và c¡c t½nh ch§t cõa h» Anosov và ¡nh x¤ Anosov tôpô. B¶n c¤nh đó, chúng tôi cũng tr¼nh bày mët sè v§n đề v· đồng phôi gi¢n và t½nh ch§t gi£ quỹ đạo. C¡c tài li»u ch½nh được tham kh£o cho ki¸n thùc ở chương này là [2]. 1.1 T½nh gi¢n đồng phôi Trong mục này, chúng tôi s³ tr¼nh bày định nghĩa, t½nh ch§t cõa mët đồng phôi gi¢n. Tø đó d¨n đến t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ gi¢n dương, ¡nh x¤ c-gi¢n tr¶n mët không gian m¶tric compact. Trong ph¦n này, ta luôn gi£ thi¸t không gian pha cõa mët h» động lực là mët đa t¤p kh£ vi. Định nghĩa 1.1.1. Toàn ¡nh li¶n tục f : M ! N cõa mët không gian m¶tric được gọi là mët đồng phôi n¸u nó là mët đơn ¡nh và ¡nh x¤ ngược f −1 : N ! M cũng li¶n tục. Không gian m¶tric M được gọi là mët đa t¤p tôpô n-chi·u n¸u tồn t¤i tªp con mở Ui ⊂ M và đồng phôi αi bi¸n tương ùng 1-1 méi tªp Ui n thành mët tªp con mở cõa không gian R , sao cho fUig phõ M. Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian m¶tric với m¶tric d. Đồng phôi f : X ! X được gọi là đồng phôi gi¢n n¸u tồn t¤i h¬ng sè e > 0 sao cho 3
8. với x 6= y, x; y 2 X ta có d(f n(x); f n(y)) > e; với n là sè nguy¶n. H¬ng sè e ở đây được gọi là h¬ng sè gi¢n cõa f. Hơn núa, t½nh ch§t này phụ thuëc vào c¡ch chọn m¶tric đối với X khi X là compact. Ta đưa ra kh¡i ni»m độ phụ thuëc nh¤y c£m vào điều ki»n ban đầu. Điều ki»n này y¸u hơn điều ki»n gi¢n, tùc là với méi x 2 X, tồn t¤i δ > 0 n n và l¥n cªn U cõa x mà tồn t¤i y 2 U và n 2 Z sao cho d(f (x); f (y)) > δ. Tø kh¡i ni»m này ra suy ra X không có điểm cô lªp. Ti¸p theo, ta đưa ra t½nh ch§t truy·n ùng tôpô cõa mët đồng phôi. Đồng phôi f : X ! X có t½nh truy·n ùng tôpô n¸u tồn t¤i x0 2 X sao n cho quỹ đạo Of (x0) = ff (x0): n 2 Zg trù mªt trong X. Với kh¡i ni»m này, ta có mët sè k¸t qu£ sau đây. Định lý 1.1.3. Cho f : X ! X là đồng phôi cõa không gian m¶tric compact. Khi đó, (a) Đồng phôi f có t½nh ch§t truy·n ùng tôpô khi và ch¿ khi với c¡c tªp n mở kh¡c réng U; V , tồn t¤i sè nguy¶n n 2 Z sao cho f (U) \ V 6= ;. (b) N¸u gi£ thi¸t th¶m X là tªp vô h¤n, đồng phôi f có t½nh ch§t truy·n ùng tôpô và P er(f) = fx 2 X : f n(x) = x; n > 0g trù mªt trong X th¼ f phụ thuëc nh¤y c£m vào điều ki»n ban đầu. Chú ý r¬ng, với f : X ! X là đồng phôi cõa không gian m¶tric compact như ở tr¶n và ký hi»u cl(E) là bao đóng cõa tªp con E nào đó. Khi đó, mët phõ mở húu h¤n α cõa X là ph¦n tû sinh (ph¦n tû sinh y¸u) T1 −n đối với f n¸u với mọi d¢y k²p fAng cõa α: giao vô h¤n n=−∞ f (cl(An)) t¤i nhi·u nh§t mët điểm. N¸u α; β là c¡c phõ mở cõa X th¼ hñp cõa chúng là α _ β được x¡c định bởi α _ β = fA \ B : A 2 α; B 2 βg: 4
9. Ta nói r¬ng β là mịn hơn α n¸u mọi ph¦n tû cõa β đều là tªp con cõa ph¦n tû nào đó thuëc α và khi đó ta ký hi»u là α ≤ β. Rã ràng α ≤ α _ β và β ≤ α _ β. Hơn núa, n¸u f : X ! X là toàn ¡nh li¶n tục th¼ f −1(α) = ff −1(A): A 2 αg là mët phõ mở cõa X. Ta cũng có thº th§y r¬ng n¸u f −1(α _ β) = f −1(α) _ f −1(β) và f −1(α) ≤ f −1(β) n¸u α ≤ β. Định lý 1.1.4. Cho f : X ! X là đồng phôi cõa không gian m¶tric compact. Khi đó, c¡c kh¯ng định sau là tương đương. (1) f là gi¢n, (2) f có mët ph¦n tû sinh, (3) f có mët ph¦n tû sinh y¸u. Chùng minh. Rã ràng (2) ) (3) là hiºn nhi¶n. Trước khi đi vào chùng minh ph¦n ti¸p theo, ta nh­c l¤i r¬ng với X là mët không gian m¶tric compact và α là mët phõ mở húu h¤n cõa X. N¸u với b§t kỳ tªp con A ⊂ B 2 α luôn thỏa m¢n diam (A) < δ th¼ δ được gọi là sè Lebesgue cõa α. Ta s³ chùng minh (3) ) (2). Thªt vªy, cho β = fB1;B2;:::;B2g là c¡c ph¦n tû sinh y¸u cõa f và δ > 0 là sè Lebesgue cõa β. Ký hi»u α là mët phõ mở húu h¤n chùa c¡c tªp Ai với đường k½nh diam (cl(Ai)) ≤ δ. N¸u fAin g là mët d¢y đôi trong α th¼ với mọi n, tồn t¤i jn sao cho cl(Ajn ) ⊂ Bj n¶n 1 1 [ −n \ −n f cl(Ajn ) ⊂ f (Bjn ): n=−∞ n=−∞ Do đó, α là ph¦n tû sinh. (1) ) (2): Cho δ > 0 là h¬ng sè gi¢n cõa f và α là mët phõ húu h¤n chùa c¡c h¼nh c¦u mở b¡n k½nh δ=2. Gi£ thi¸t r¬ng x; y 2 T1 −n n n n=−∞ f (cl(An)), với An 2 α. Khi đó, d(f (x); f (y)) ≤ δ với mọi n n¶n theo gi£ thi¸t suy ra x = y. (3) ) (1): Gi£ sû α là ph¦n tû sinh y¸u và δ > 0 là sè Lebesgue n n cõa α. Khi đó, n¸u f(f (x); f (y)) < δ với mọi sè nguy¶n n th¼ An 2 α, 5
10. n n T1 −n n 2 Z sao cho f (x); f (y) 2 An và x; y 2 n=−∞ f (An), mà giao vô h¤n này t¤i nhi·u nh§t mët điểm. Suy ra f là gi¢n. Vªy định lý được chùng minh. Định lý 1.1.5. Cho f : X ! X là đồng phôi cõa không gian m¶tric compact và k là sè nguy¶n kh¡c 0. Khi đó, f là đồng phôi gi¢n khi và ch¿ khi f k là gi¢n. Chùng minh. Ta chú ý tø kh¯ng định n¸u α là ph¦n tû sinh đối với f th¼ jk|−1 _ f −i(α) = α _ f −1(α) _···_ f jk|−1(α); i=0 cũng là ph¦n tû sinh đối với f k. Ngược l¤i n¸u α là ph¦n tû sinh đối với f k th¼ α cũng là ph¦n tû sinh đối với f. Tø đó, ta có điều ph£i chùng minh. Định lý 1.1.6. (a) N¸u f : X ! X là đồng phôi gi¢n và Y là tªp con đóng cõa X với f(Y ) = Y , khi đó fjY : Y ! Y là đồng phôi gi¢n, (b) N¸u fi : Xi ! Xi, i = 1; 2, là ¡nh x¤ gi¢n th¼ đồng phôi f1 × f2 : X1 × X2 ! X1 × X2 được định nghĩa như sau (f1 × f2)(x1; x2) = (f1(x1); f2(x2)); (x1; x2) 2 X1 × X2 là đồng phôi gi¢n. Hơn núa, mọi t½ch trực ti¸p húu h¤n cõa c¡c đồng phôi gi¢n là gi¢n, (c) N¸u X compact và f : X ! X là đồng phôi gi¢n th¼ h◦f◦h−1 : Y ! Y là đồng phôi gi¢n, trong đó, h : X ! Y là mët đồng phôi. Trong ph¦n ti¸p theo cõa mục này, chúng tôi s³ tr¼nh bày kh¡i ni»m v· đồng phôi gi¢n dương và c-gi¢n cùng mët sè t½nh ch§t. Định nghĩa 1.1.7. Cho X là không gian m¶tric. Đồng phôi f : X ! X là gi¢n dương n¸u tồn t¤i h¬ng sè e > 0 sao cho n¸u x 6= y th¼ 6