Luận văn Về hàm triệt tiêu cấp vô hạn

Nội dung tài liệu: Luận văn Về hàm triệt tiêu cấp vô hạn

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ HÀM TRIỆT TIÊU CẤP VÆ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC Hà Nëi - 2016
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ HÀM TRIỆT TIÊU CẤP VÆ HẠN Chuy¶n ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP M¢ sè: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: TS. NINH VĂN THU Hà Nëi - 2016
3. LÍI CẢM ƠN Luªn v«n này được hoàn thành dưới sự hướng d¨n cõa TS. Ninh V«n Thu. Nh¥n dịp này, tôi cũng xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c và ch¥n thành nh§t tới Th¦y. Người đã cho tôi bi¸t muèn làm khoa học th¼ ph£i học, ph£i đọc như th¸ nào. Được làm vi»c dưới sự hướng d¨n cõa Th¦y, tôi th§y m¼nh trưởng thành hơn r§t nhi·u. Th¦y cũng là Người đã dành nhi·u thời gian, công sùc để hướng d¨n, kiºm tra và giúp đỡ tôi hoàn thành luªn v«n này. Tôi cũng xin gûi lời c£m ơn đến l¢nh đạo và c¡c th¦y cô trong khoa To¡n - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhi¶n, Đại học Quèc Gia Hà Nëi v· nhúng ki¸n thùc, nhúng điều tèt đẹp mà tôi đã nhªn được trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp t¤i Khoa. Tôi cũng xin gûi lời c£m ơn đến Pháng Sau Đại học cõa nhà trường đã t¤o điều ki»n cho tôi hoàn thành c¡c thõ tục trong học tªp và b£o v» luªn v«n này. Cuèi cùng, tôi muèn bày tỏ láng bi¸t ơn đến gia đình, người th¥n và b¤n b±. Nhúng người luôn b¶n c¤nh động vi¶n õng hë tôi c£ v· vªt ch§t và tinh th¦n trong cuëc sèng và học tªp. Mặc dù b£n th¥n tôi đã có nhi·u cè g­ng nhưng b£n luªn v«n này v¨n khó tr¡nh khỏi nhúng thi¸u sót. V¼ vªy, tôi r§t mong nhªn được sự đóng góp ý ki¸n cõa quý th¦y, cô và c¡c b¤n. Hà Nëi, ngày 24 th¡ng 10 n«m 2016 Nguy¹n Thị Thu Hà 1
4. Mục lục 1 T½nh duy nh§t bi¶n cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh 4 1.1 Mët sè kh¡i ni»m trong gi£i t½ch phùc . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Kh¡i ni»m hàm ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Kh¡i ni»m v· ch¿ sè cõa đường cong . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Kh¡i ni»m hàm tri»t ti¶u c§p vô h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Gi£ thuy¸t Huang, Krantz, Ma và Pan . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Mët sè định nghĩa và bê đ· kĩ thuªt . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 T½nh duy nh§t bi¶n cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . 12 2 Mët sè lớp hàm tri»t ti¶u c§p vô h¤n và ùng dụng 14 2.1 Mët sè k¸t qu£ bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Sự không tồn t¤i trường vectơ ch¿nh h¼nh ti¸p xúc . . . . . . . . . 19 2.2.1 C¡c bê đề kĩ thuªt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Chùng minh Định l½ 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1
5. Danh mục c¡c k½ hi»u 0 @P • P (z) := P (z) = (z): Đạo hàm theo bi¸n z cõa hàm P . z @z • ∆r := fz 2 C: jzj 0 và ∆ = ∆1. • ∆~ r := fz2 2 ∆r : P (z2) 6= 0g với r > 0. • K½ hi»u . và &: K½ hi»u b§t đẳng thùc sai kh¡c mët h¬ng sè dương. • K½ hi»u ≈ k¸t hñp hai k½ hi»u . và &. •Ck(Ω): Không gian c¡c hàm kh£ vi đến c§p k tr¶n mi·n Ω ⊂ Cn; •C1(Ω): Không gian c¡c hàm kh£ vi c§p vô h¤n (hàm nh®n) tr¶n mi·n Ω ⊂ Cn; • ΓC := fz 2 C: jIm(z)j ≤ CjRe(z)jg, C > 0; • Γ1 := fz 2 C: Re(z) 6= 0g [ f0g; • ∆+ := fz 2 C: jzj 0g; • ∆+ := fz 2 C: jzj ≤ 1; Im(z) ≥ 0g; • Hol(∆+) := ff : ∆+ ! Cg, trong đó f là hàm ch¿nh h¼nh; • R+ := fx 2 R: x > 0g; • I(r) := Ind(f ◦ γr)(r > 0), ở đó γr := fz 2 C: jzj = r; Im(z) ≥ 0g. Đặt f; g : A ! C là c¡c hàm x¡c định tr¶n A ⊂ C với 0 2 A sao cho limz!0 f(z) = limz!0 g(z) = 0. Chúng ta vi¸t: • f ∼ g t¤i 0 tr¶n A n¸u limz!0 f(z)=g(z) = 1; • f ≈ g t¤i 0 tr¶n A n¸u với C > 0 th¼ 1=Cjg(z)j ≤ jf(z)j ≤ Cjg(z)j với mọi z 2 A. 2
6. Mở đầu Trong gi£i t½ch thực, chúng ta đã bi¸t hàm f : R ! R x¡c định bởi 8 − 1 <e x2 n¸u x 6= 0 f(x) = :0 n¸u x = 0 kh£ vi c§p vô h¤n tr¶n R và f (n)(0) = 0 với mọi n 2 N. Tuy nhi¶n, hàm f không khai triºn được thành chuéi Taylor t¤i điểm 0. Nhúng hàm sè như tr¶n được gọi là c¡c hàm tri»t ti¶u c§p vô h¤n. Mục đích cõa bài luªn v«n là nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa lớp c¡c hàm sè tri»t ti¶u c§p vô h¤n và ùng dụng cõa chúng trong bài to¡n v· sự tồn t¤i trường vectơ ch¿nh h¼nh ti¸p xúc. Luªn v«n tr¼nh bày l¤i mët sè k¸t qu£ trong bài b¡o"A note on uniqueness boundary of holomorphic mappings" cõa c¡c t¡c gi£ Ninh V«n Thu, Nguy¹n Ngọc Khanh ([8]) và ti·n §n ph©m"On the nonexistence of nontrivial tangential holomorphic vector fields of a certain hypersurface of infinite type" cõa t¡c gi£ Ninh V«n Thu ([9]). Bè cục bài luªn v«n gồm hai chương: Chương I: T½nh duy nh§t bi¶n cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. Nëi dung cõa chương này là tr¼nh bày mët sè ki¸n thùc cơ b£n cõa gi£i t½ch phùc như kh¡i ni»m hàm ch¿nh h¼nh, ch¿ sè cõa đường cong, kh¡i ni»m v· hàm tri»t ti¶u c§p vô h¤n. Ngoài ra, chúng tôi cán giới thi»u gi£ thuy¸t cõa Huang, Krantz, Ma, Pan ([4]) và chùng minh định l½ v· t½nh duy nh§t bi¶n cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. Chương II: Mët sè lớp hàm tri»t ti¶u c§p vô h¤n và ùng dụng. Trong chương này, chúng tôi tr¼nh bày kh¡i ni»m hàm thỏa m¢n điều ki»n (I), c¡c bê đề kĩ thuªt và ùng dụng cõa lớp c¡c hàm tri»t ti¶u c§p vô h¤n trong chùng minh sự không tồn t¤i trường vectơ ch¿nh h¼nh không t¦m thường ti¸p xúc với si¶u mặt kiºu vô h¤n trong C2. 3
7. Chương 1 T½nh duy nh§t bi¶n cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh 1.1 Mët sè kh¡i ni»m trong gi£i t½ch phùc 1.1.1 Kh¡i ni»m hàm ch¿nh h¼nh Gi£ sû Ω là mi·n cõa mặt ph¯ng phùc C và f là hàm bi¸n phùc z = x + iy x¡c định trong Ω. Định nghĩa 1.1. Hàm f được gọi là C - kh£ vi t¤i điểm z0 2 Ω n¸u tồn t¤i giới h¤n f(z + h) − f(z ) lim 0 0 h!0 h 0 . Ta nói r¬ng f có đạo hàm theo bi¸n phùc t¤i điểm z0 và k½ hi»u là f (z0). Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là ch¿nh h¼nh t¤i điểm z0 n¸u nó là C - kh£ vi t¤i mët l¥n cªn nào đó cõa điểm z0. Hàm f được gọi là ch¿nh h¼nh trong mi·n Ω n¸u nó ch¿nh h¼nh t¤i mọi điểm cõa mi·n §y. 1.1.2 Kh¡i ni»m v· ch¿ sè cõa đường cong Định nghĩa 1.3. Cho γ :[a; b] ! C∗ là đường cong trơn tøng khúc. Khi đó, ch¿ sè cõa γ đối với 0 là mët sè thực 1 Z dz 1 Z b γ0(t) Ind(γ) := Re = Re dt: 2πi γ z 2πi a γ(t) T½nh ch§t 1.1. (Mët sè t½nh ch§t cõa ch¿ sè) 4
8. • Ind(γ) := Ind(γ=jγj). • Ind(γ) := 0 n¸u γ n¬m tr¶n tia xu§t ph¡t tø gèc tọa độ. • Ind(γ) < 1=2 n¸u γ ⊂ Γ1 n f0g, trong đó Γ1 := fz 2 C: Re(z) 6= 0g [ f0g. • Ind(γ) 0g. 1.2 Kh¡i ni»m hàm tri»t ti¶u c§p vô h¤n Định nghĩa 1.4. Cho Ω là mi·n trong Rn với a 2 Ω. Hàm li¶n tục f : Ω ! C được gọi là tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i a n¸u với mọi N 2 N, ta có f(x) lim = 0: Ω3x!a jx − ajN V½ dụ 1.1. Hàm f : C ! R x¡c định bởi 8 − 1 <e jzjα n¸u z 6= 0 f(z) = :0 n¸u z = 0; trong đó α > 0, tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i 0. V½ dụ 1.2. Hàm f được x¡c định bởi p f(z) = exp(−eiπ=4= z); là hàm ch¿nh h¼nh trong ∆+, th¡c triºn nh®n l¶n ∆+ và tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i 0. Nhªn x²t 1.1. Cho ∆+ = fz 2 C: jzj 0g và gi£ sû hàm f : ∆+ ! R x¡c định tr¶n ∆+. Khi đó, hàm f tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i 0 n¸u và ch¿ n¸u f(z) = o(jzjn) với mọi n 2 N. Định nghĩa 1.5. Hàm f : ∆0 ! C (0 > 0) được gọi là ph¯ng (flat) t¤i z = 0 n¸u với mọi n 2 N, tồn t¤i h¬ng sè C;  > 0 (ch¿ phụ thuëc vào n) thỏa m¢n 0 <  < 0 sao cho jf(z)j ≤ Cjzjn; với mọi z 2 ∆. Nhªn x²t 1.2. Trong định nghĩa tr¶n ta không c¦n đến t½nh trơn cõa hàm f. V½ dụ hàm f được cho dưới đây 8 − 1 < 1 e jzj2 n¸u 1 < jzj ≤ 1 ; n = 1; 2;::: f(z) = n n+1 n :0 n¸u z = 0; 5
9. 1 là ph¯ng t¤i z = 0 nhưng không li¶n tục tr¶n ∆. Tuy nhi¶n n¸u f 2 C (∆0 ) th¼ theo định l½ Taylor ta có f ph¯ng t¤i z = 0 n¸u và ch¿ n¸u @m+n f(0) = 0; @zm@z¯n 1 với mọi m; n 2 N, i.e., f tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i 0. Vªy n¶n, n¸u f 2 C (∆0 ) @m+nf ph¯ng t¤i 0 th¼ @zm@z¯n cũng ph¯ng t¤i 0 với méi m; n 2 N. 1.3 Gi£ thuy¸t Huang, Krantz, Ma và Pan N«m 1991, M. Lakner [6] đã chùng minh được k¸t qu£ sau. Định lý 1.1. ([6]) Gi£ sû f 2 Hol(∆+) \C0(∆+), với ∆+ := fz 2 C: jzj < 1; Im(z) > 0g sao cho f(−1; 1) ⊂ ΓC := fz 2 C: jIm(z)j ≤ CjRe(z)jg với C > 0 nào đó. N¸u f j(−1;1) có không điểm cô lªp t¤i gèc tọa độ th¼ f tri»t ti¶u c§p húu h¤n t¤i 0. Ta bi¸t r¬ng hàm p f(z) = exp(−eiπ=4= z); là ch¿nh h¼nh tr¶n ∆+, th¡c triºn nh®n tr¶n ∆+ và tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i 0 [6]. Do đó, v½ dụ tr¶n cho th§y điều ki»n ¡nh x¤ f bi¸n (−1; 1) vào nón ΓC là c¦n thi¸t. N«m 1993, M. Baouendi and L. Rothschild [1] thu được k¸t qu£ dưới đây, trong đó điều ki»n f j(−1;1) có không điểm cô lªp t¤i 0 là không c¦n thi¸t. Định lý 1.2. ([1]) Cho f 2 Hol(∆+) \C0(∆+). Gi£ sû Ref(x) ≥ 0 với mọi x = Re(z) 2 (−1; 1). Khi đó, n¸u f tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i 0 th¼ f ≡ 0. Trong [4], Huang, Krantz, Ma và Pan đã đưa ra gi£ thuy¸t sau. Gi£ thuy¸t. (Gi£ thuy¸t cõa Huang, Krantz, Ma và Pan ) Cho ∆+ là nûa đĩa + 0 + trong C. Gi£ sû f 2 Hol(∆ ) \C (∆ ) sao cho f(−1; 1) ⊂ ΓC, với C > 0 nào đó. N¸u f tri»t ti¶u c§p vô h¤n t¤i 0 th¼ f ≡ 0. Chú ý r¬ng n¸u C = 1 th¼ Re[f 2(x)] ≥ 0 với mọi x 2 (−1; 1). Như vªy, theo Định l½ 1.2 th¼ gi£ thuy¸t tr¶n đúng trong trường hñp C ≤ 1. 1.4 Mët sè định nghĩa và bê đề kĩ thuªt Gi£ sû r¬ng f là hàm ch¿nh h¼nh tr¶n ∆+ := fz 2 C: jzj 0g và th¡c triºn nh®n l¶n (−1; 1). Tªp hñp không điểm cõa f tr¶n (−1; 1) là rời r¤c và 6
10. có điºm giới h¤n là 0. Gi£ sû méi không điểm cõa f tr¶n (−1; 1) n f0g có c§p húu h¤n. + + Cho frng ⊂ R là d¢y t«ng vô h¤n sao cho mọi không điểm cõa f trong ∆ n¬m tr¶n [nγrn , ở đó γr := fz 2 C: jzj = r; Im(z) ≥ 0g là nûa đường trán tr¶n với b¡n k½nh r > 0. K½ hi»u: + • κ(n) là sè c¡c không điểm cõa f tr¶n γrn \ ∆ t½nh c£ bëi. • κ~(n) là sè c¡c không điểm cõa f tr¶n γrn \ (−1; 1) t½nh c£ bëi. 0 • κ (n) là sè c¡c không điểm cõa f tr¶n γrn \ (−1; 1) không t½nh bëi. iθ • An := fre : rn+1 < r < rn; 0 ≤ θ ≤ πg. Bê đề 1.1. Gi£ sû r¬ng f 2 Hol(∆+) \C1(∆+) và f(−1; 1) ⊂ Γ := C n iR+. Ta gi£ sû tªp hñp không điểm cõa f j(−1;1) là rời r¤c, có điểm giới h¤n là 0 và méi không điểm cõa f tr¶n (−1; 1) n f0g có c§p húu h¤n. Khi đó, chúng ta có: + − κ~(n) (i) I(rn ) − I(rn ) = κ(n) + 2 ; 0 0 (ii) jI(r) − I(r )j < 2; rn+1 < r; r < rn. Chùng minh. (i) Với méi n ta biºu di¹n f dưới d¤ng sau: l1 lm f(z) = (z − α1) ··· (z − αm) '(z); trong đó α1; : : : ; αm là c¡c không điểm cõa f tr¶n γrn và ' là hàm li¶n tục, không có không điểm tr¶n An−1 [ An [ γrn , ch¿nh h¼nh trong ph¦n trong cõa nó. Mặt kh¡c, chúng ta có: 0 m 0 f (z) X lj ' (z) = + ; f(z) z − αj '(z) j=1 và m X I(r) = ljInd(γr − αj) + Ind(' ◦ γr): j=1 + L§y điểm a 2 ∆ với jaj = r . Khi đó, lim + Ind(γ −a) = 3=4 và lim − Ind(γ − n r!rn r r!rn r a) = −1=4. Hơn núa, với điểm b 2 γ \(−1; 1) ta có lim + Ind(γ −b) = 1=2 và lim − Ind(γ − rn r!rn r r!rn r b) = 0. 7