Luận văn Về đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin

Nội dung tài liệu: Luận văn Về đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
3. LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS. Trần Tuấn Nam, người đã hết lòng giúp đỡ và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN- SĐH của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp Đại số và lý thuyết số khóa 22. Thành phố Hồ Chí Mịnh, ngày 17 tháng 09 năm 2013 Học viên Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh 1
4. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG CÁC KÍ HIỆU ................................................................................................. 3 LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5 CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................... 7 1.1. Môđun noether và môđun artin ..................................................................................... 7 1.2. Hàm tử Tor .................................................................................................................... 7 1.3. Hàm tử xoắn .................................................................................................................. 8 1.4. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng .................................................................. 9 1.5. Đối ngẫu Matlis ............................................................................................................. 9 1.6. Giới hạn ngược và đầy đủ ........................................................................................... 10 1.7. Môđun đầy đủ I- adic .................................................................................................. 12 1.8. Độ dài của môđun ....................................................................................................... 13 1.9. Iđêan nguyên tố đối liên kết ........................................................................................ 14 1.10. Giá của môđun .......................................................................................................... 14 CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN16 2.1. Môđun đồng điều địa phương suy rộng ...................................................................... 16 2.2. Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin ....................................... 17 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 36 2
5. BẢNG CÁC KÍ HIỆU R vành giao hoán có đơn vị ˆ R vành đầy đủ của R R Tori ( A, B) tích xoắn i chiều trên R của các môđun A và B HXi ( ) môđun đồng điều thứ i của phức X HXi ( ) môđun đối đồng điều thứ i của phức X lim M giới hạn ngược của {Mf, } ←  t t rt t lim M giới hạn thuận của {Mf, }  → t t rt t Hom( A, B) tập hợp các đồng cấu từ môđun A đến môđun B i ExtR ( A, B) tích mở rộng i chiều trên R của các môđun A và B ΓI (M ) hàm tử I - xoắn i HI ( MN, ) môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của MN, đối với I AssR ( M ) tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M depthI ( M ) độ sâu của môđun M trong iđêan I widthI ( M ) chiều rộng của môđun M trong iđêan I  R (M ) độ dài của môđun M DM( ) đối ngẫu Matlis của môđun M ERm( / ) bao nội xạ của Rm/ ΛI (M ) đầy đủ I - adic của môđun M NMdim( ) chiều noether của môđun M 3
6. Coass( M ) tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M Supp( M ) giá của môđun M CosR ( M ) đối giá của môđun M VI( ) {P∈⊇ SpecR P I} I Hi ( MN, ) môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i của MN, đối với I GrJ ( R) vành phân bậc liên kết của R đối với J pd( M ) chiều xạ ảnh của môđun M AnnR ( M ) {x∈= R xM 0} 0:K x {a∈= K ax 0} 4
7. LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta biết rằng lý thuyết đồng điều địa phương là đối ngẫu của lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck. Lý thuyết về đồng điều địa phương suy rộng đã được nghiên cứu và phát triển ngày càng mạnh bởi J. P. C. Greenless, J. P. May, L. Alonso Tarrio, A. Jeremias Lopez, J. Lipman, J. Herzog, N. T. Cuong, T. T. Nam Cho R là một vành noether giao hoán với phần tử đơn vị khác không. Lấy I là một iđêan I của R, M, N là các R-môđun, khi đó môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i Hi (,) MN của M, N đối với I được định nghĩa: I Rt H(,)lim MN= Tor (M/,) IMN ii←  t Định nghĩa này mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng và là mở rộng của đồng điều địa phương thông thường. Nhiều kết quả quan trọng về môđun đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra, bên cạnh đó các nhà toán học vẫn đang nghiên cứu tìm ra những kết quả mới về môđun đồng điều địa phương suy rộng. Từ định nghĩa của môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu một số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin như tính artin, tính noether. Phần tiếp theo của luận văn sẽ tìm hiểu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương từ tính chất của môđun đồng điều địa phương thông qua đối ngẫu Matlis. Bên cạnh đó, luận văn còn mô tả chiều rộng WidthI ( M ) , độ sâu depthI ( M ) của môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng. Nội dung luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là cung cấp và trình bày lại các khái niệm, một số mệnh đề cũng như tính chất cơ bản nhằm mục đích sử dụng trong các chứng minh ở chương 2. Vì lý do đó nên trong chương 1 các tính chất, mệnh đề chỉ được thừa nhận mà không chứng minh. Chương 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin 5
8. Mục đích của chương này là nghiên cứu một vài tính chất của môđun đồng điều địa suy rộng cho môđun artin: tính artin, tính noether và dựa vào đồng điều địa phương suy phương để mô tả chiều rộng của môđun M. Bên cạnh đó chúng tôi sẽ dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu một vài tính chất của đối đồng điều địa phương suy rộng. Vì những mục đích đó nên chương 2 sẽ được chia ra làm 2 phần: Phần một: Trình bày định nghĩa của môđun đồng điều địa phương suy rộng. Phần hai: Trình bày một số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin, và dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu một vài tính chất của đối đồng điều địa phương suy rộng. Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, phê bình, bổ sung của quý thầy cô, các bạn để luận văn được hoàn chỉnh thêm. Sau đây là nội dung của luận văn. 6
9. CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Môđun noether và môđun artin Mệnh đề 1.1.1. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R- môđun 00→NMP → →→ Khi đó M là môđun noether (artin) khi và chỉ khi N và P đều là các môđun noether (artin). Mệnh đề 1.1.2. Mỗi R- môđun hữu hạn sinh trên vành noether là R- môđun noether. Mệnh đề 1.1.3. Cho M là một môđun trên vành giao hoán R. i) Nếu M là môđun noether thì mọi môđun con và môđun thương của M cũng là môđun noether. ii) Nếu M là môđun artin thì mọi môđun con và môđun thương của M cũng là môđun artin. 1.2. Hàm tử Tor Mệnh đề 1.2.1. R Cho M, N là các R- môđun. Khi đó Tor0 ( M, N) ≅⊗ MR N . Định lí 1.2.2. i) Cho dãy khớp các R-môđun 00→MNL → →→ và G là một R-môđun khi đó ta có dãy khớp dài sau: E* ...→ Tori++11 ( G , N )→ Tor i ( G , L ) → Tor ii ( G , M )→ Tor ( G , N )→ .... E* ...→Tor1 ( G , L ) →⊗ G M →⊗→⊗→ G N G L 0 → → →→ ii) Cho dãy khớp các R-môđun 00MNL và A là một R-môđun khi đó ta có dãy khớp dài sau: 7
10. E* ...→ Tori++11 ( N , A )→ Tor i ( L , A ) → Tor ii ( M , A )→ Tor ( N , A ) → .... E* ...→Tor1 ( L , A ) →⊗→ M A N ⊗→⊗→ A L A 0 1.3. Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.3.1. Cho R là một vành giao hoán, M là một R- môđun, I là iđêan của R, tập Γ=(MI ) (0 :n ) , là tập tất cả các phần tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của IM n∈ I. Rõ ràng, ΓI ()M là một môđun con của M. Với mỗi R- đồng cấu môđun fN:M → , ta có fM(ΓII ( )) ⊆Γ ( N ) . Như vậy, f sẽ cảm sinh một đồng cấu thu hẹp của nó trên ΓI ()M , định bởi: Γ( fM) : Γ( )  → Γ ( N) II I m fm( ) Nếu gM:  → N và hN:  → L là các R- đồng cấu môđun, khi đó ta có: ΓI(hg ) =ΓΓ II( h) ( g) ΓI(hg +) =Γ II( h) +Γ ( g) ΓII(rh) =Γ r( h) ∀∈ r R Γ=(Id) Id IM ΓI (M ) Từ các nhận xét trên, ta thấy ΓI trở thành hàm tử hiệp biến và cộng tính, R- tuyến tính và cộng tính từ phạm trù các R- môđun vào chính nó. ΓI còn được gọi là hàm tử I - xoắn. Nếu Γ=I (M ) 0 thì ta nói M là I - không xoắn, nếu Γ=I (MM) thì ta nói M là I - xoắn. Từ đó, với mọi R- môđun M , thì môđun ΓI (M ) là I - xoắn và MMΓI ( ) là I - không xoắn. Mệnh đề 1.3.2. Cho M là một R- môđun I- xoắn. Khi đó tồn tại một phép giải nội xạ của M sao cho mỗi thành viên đều là các R- môđun I- xoắn. 8