Luận văn Vành tự đồng cấu của P - Nhóm Abel

Nội dung tài liệu: Luận văn Vành tự đồng cấu của P - Nhóm Abel

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA P – NHÓM ABEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA – NHÓM ABEL P Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số và lý thuyết số với đề tài: “Vành tự đồng cấu của p - nhóm Abel” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng
4. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn TS. Phạm Thị Thu Thủy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô trong khoa Toán - Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận văn này. Tôi cũng không quên bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý thầy cô trong phòng Sau Đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và làm việc trong suốt quá trình học Cao học. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè, những người luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt quá trình thực hiện đề tài, song có thể còn có những mặt hạn chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp và sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo và các bạn học viên. TP. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng
5. MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2 1.1 Nhóm Abel ........................................................................................................ 2 1.2 Một số kết quả của lý thuyết tập hợp ................................................................ 8 Chương 2. TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN .................................. 11 2.1 Định nghĩa và một số tính chất của tự đồng cấu của nhóm Abel ................... 11 2.2 Tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn ........................................................ 16 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 25
6. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập hợp các số tự nhiên. * : Tập hợp các số tự nhiên khác 0 . : Tập hợp các số nguyên. : Tập hợp các số hữu tỉ. a : Họ các phần tử a với iI . i iI i a : Nhóm con sinh bởi phần tử a . p : Vành các số nguyên mod p . oa : Cấp của phần tử a . hap : p - độ cao của phần tử a . X : Lực lượng của tập hợp X . Hom AB , : Tập hợp các đồng cấu nhóm từ A đến B. End A : Tập hợp các tự đồng cấu nhóm của . Gi : Tích trực tiếp của các nhóm Gi , i I . iI Gi : Tổng trực tiếp của các nhóm Gi , i I . iI
7. 1 LỜI MỞ ĐẦU Mọi nhóm Abel đều là một module trên vành tự đồng cấu của mình, hơn nữa các tính chất của vành đồng cấu phản ánh nhiều thông tin về bản thân nhóm Abel. Mối quan hệ giữa tính chất của nhóm Abel và tính chất của vành đồng cấu luôn là đề tài nhận được nhiều quan tâm. Mặc dù trong trường hợp chung, các kết quả về vành tự đồng cấu của nhóm Abel còn khá rời rạc, nhưng đối với lớp nhóm Abel xoắn, cụ thể là các p - nhóm Abel, nhiều kết quả đẹp đã đạt được trong các công trình của Baer, Kaplansky, Richman, Walker, Pierce v.v. Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kết quả về tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Vành tự đồng cấu của nhóm Abel xoắn. Chương 2 gồm 2 bài. Bài 2.1 trang bị các kiến thức chung về tự đồng cấu của nhóm Abel. Bài 2.2 trình bày các kết quả về tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn.
8. 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số khái niệm về nhóm, đồng cấu nhóm, tổng trực tiếp, tích trực tiếp. Trình bày định lý phổ dụng của tổng trực tiếp, tích trực tiếp và các kết quả của lý thuyết tập hợp. Các kết quả của chương này sẽ được sử dụng trong chương sau. 1.1 Nhóm Abel Định nghĩa 1.1.1. Nhóm là một tập hợp G , trên đó đã xác định một phép toán hai ngôi thỏa các điều kiện: i) Với mọi x,, y z G ta có x y z x y z . ii) Tồn tại 0 G sao cho với mọi xG , ta có x 00 x x . iii) Với mọi xG , tồn tại xG sao cho x x x x 0. Nếu nhóm G thỏa mãn x y y x với mọi xG thì G được gọi là nhóm Abel. Trong luận văn này mọi nhóm được xét đều là nhóm Abel, nên để đơn giản khi ghi “nhóm” ta mặc nhiên hiểu là “nhóm Abel”. Định nghĩa 1.1.2. Tập con A của một nhóm G được gọi là nhóm con của G nếu thỏa mãn các điều kiện: i) A . ii) Với mọi a, b A ta có a b A. Nhóm con A của G được ký hiệu AG . Định nghĩa 1.1.3. Cho nhóm G và phần tử aG . Cấp của phần tử a là số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho na 0 . Kí hiệu cấp của a là oa . Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta quy ước oa . Định nghĩa 1.1.4. Cho G là một nhóm. Với mỗi số tự nhiên m , đặt G m x G mx 0. Đồng cấu nhóm
9. 3 Định nghĩa 1.1.5. Cho hai nhóm G và G . Một ánh xạ f: G G được gọi là đồng cấu nhóm nếu với mọi a, b G ta có f a b f a f b . Tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm từ G đến G ký hiệu là Hom GG , . Ta cũng ký hiệu EndGGG Hom , . Nếu đồng cấu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì ta nói f là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nhóm. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp Định nghĩa 1.1.6. Cho một họ không rỗng các nhóm Gi , i I . Khi đó tập tích Descartes Gi cùng với phép toán định nghĩa iI xi y i x i y i với mọi xi , y i  G i iI tạo thành một nhóm, gọi là tích trực tiếp các nhóm Gi , i I . Định lý 1.1.7 (Định lý về tính phổ dụng của tích trực tiếp). Cho họ nhóm X , khi đó với bất kỳ nhóm , mỗi họ đồng cấu f: X X được phân i iI X iiiI  tích một cách duy nhất qua họ các phép chiếu pi:  X t X i . Nói cách khác, tI iI tồn tại và duy nhất một đồng cấu f: X  X t sao cho fii p f với mọi iI . tI Chứng minh. Đồng cấu f được xây dựng theo công thức sau: ! f XX  t tI fi pi X i
10. 4 Với mọi x X, f x f x . Khi đó hiển nhiên thỏa mãn điều kiện i iI pii f f , với mọi iI . Với mọi x, x X , ta có f x x f x x i iI f x f x ii iI f x f x ii i I i I f x f x Suy ra f là một đồng cấu. Nếu có đồng cấu h: X  X t sao cho pii h f thì khi đó với mọi xX : tI h x p h x f x f x . ii i I i I Suy ra hf nghĩa là f là duy nhất. Định nghĩa 1.1.8. Cho một họ không rỗng các nhóm Gi , i I . Tập con của G gồm các bộ x x, x G mà hầu hết trừ ra một số hữu hạn các thành  i i iI i i iI phần xi 0, là nhóm con trong Gi , gọi là tổng trực tiếp ngoài của các nhóm iI Gi , i I và kí hiệu là Gi . iI Định nghĩa 1.1.9. Cho họ A là các nhóm con của nhóm G thỏa i iI i)  AGi iI ii) Với mọi jI ta có AAji  0 . i I, i j thì G gọi là tổng trực tiếp trong của các nhóm con Ai , i I . Nhận xét 1.1.10. Hai cách định nghĩa tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài là tương đương nhau.