Luận văn Ước lượng Gradiernt cho phương trình p-Laplacian

Nội dung tài liệu: Luận văn Ước lượng Gradiernt cho phương trình p-Laplacian

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN ------------------ L¶ V«n Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC Hà Nëi - N«m 2019
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN ------------------ L¶ V«n Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: PGS. TS. Nguy¹n Th¤c Dũng Hà Nëi - N«m 2019
3. Mục lục Lời c£m ơn i Danh mục ký hi»u 1 Lời nói đầu 3 1 Ki¸n thùc chu©n bị 5 1.1 H» frame địa phương, toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đa t¤p Riemann và c¡c to¡n tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Trường tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Đa t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Đa t¤p Riemann đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 C¡c to¡n tû tr¶n đa t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 T½ch ph¥n tr¶n đa t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Ước lượng gradient cho phương tr¼nh p-Laplacian 12 2.1 Ước lượng t½ch ph¥n gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ước lượng chu©n Lp .......................... 25 2.3 Ước lượng gradient cho nghi»m phương tr¼nh p-Laplacian . . . . . 28 2.4 C¡c h» qu£ và ùng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 K¸t luªn 31 Tài li»u tham kh£o 32 i
4. LÍI CẢM ƠN Trước ti¶n, tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn đến Th¦y, PGS. TS Nguy¹n Th¤c Dũng v· sự hướng d¨n tªn t¼nh và sự truy·n c£m hùng trong khoa học cũng như nhúng mèi quan t¥m đặc bi»t trong cuëc sèng. Ti¸p theo, tôi xin gûi lời c£m ơn đến c¡c c¡n bë trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, đặc bi»t là c¡c th¦y thuëc môn Gi£i t½ch, v· nhúng bài gi£ng s¥u s­c, lôi cuèn và sự giúp đỡ ch¥n thành. Tôi cũng c£m ơn c¡c thành vi¶n lớp Cao học khóa 2017-2019 v· nhúng sự giúp đỡ, trao đổi, s´ chia trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp t¤i trường ĐHKHTN- ĐHQGHN. Cuèi cùng, tôi c£m ơn gia đình và b¤n b± đã luôn động vi¶n tôi trong học tªp và cuëc sèng. ii
5. Danh mục ký hi»u Rn Không gian Euclid thực n chi·u A := BA định nghĩa bởi B TpM Không gian ti¸p xúc cõa đa t¤p M t¤i điểm p TM Ph¥n thớ ti¸p xúc T ∗M Ph¥n thớ đối ti¸p xúc ∗ Tp M Không gian đối ng¨u cõa TpM t¤i điểm p (M; g) Đa t¤p Riemann với metric g hX; Y i gp(X; Y ) jXj Chu©n cõa vectơ X: pg(X; Y ) r To¡n tû gradient ui Tọa độ thù i cõa v²c tơ ru ∆ To¡n tû Laplace div To¡n tû divergence Hess To¡n tû Hessian ⊗ T½ch tensơ Ricf Tensor Barky-Émery Ricci tr¶n đa t¤p M B0(R) Qu£ c¦u tr­c địa t¥m 0, b¡n k½nh R p k : kLp Ph²p l§y chu©n tr¶n không gian L . Ck Hàm trơn c§p k 1 C0 Hàm trơn, có gi¡ compact rX Y Li¶n thông Riemann cõa trường vectơ X, Y [X; Y ] To¡n tû móc Lie du To¡n tû vi ph¥n cõa hàm thực u 1
6. MỤC LỤC V Thº t½ch qu£ c¦u B0(R) @=@i Trường vectơ tọa độ @i Trường vectơ tọa độ 2 K¸t thúc chùng minh 2
7. Lời nói đầu Nëi dung luªn v«n chõ y¸u đề cªp đến c¡c k¸t qu£ đối với nghi»m dương cõa phương tr¼nh d¤ng p-Laplacian Lichnerowicz tr¶n không gian đo metric trơn. Nh­c l¤i r¬ng không gian đo metric trơn là mët bë ba (M; g; dµ), trong đó (M; g) là mët đa t¤p Riemann n chi·u, đủ và dµ := e−f dv với f là mët hàm trơn gi¡ trị thực cè định tr¶n M, trong đó dv là d¤ng thº t½ch Riemann. Tr¶n M, ta x²t to¡n tû vi ph¥n ∆f , gọi là f-Laplacian, được định nghĩa bởi ∆f : := ∆: − hrf; r:i : Tr¶n không gian đo metric trơn có mët sự tương tự r§t tự nhi¶n cõa độ cong Ricci, gọi là độ cong m-Bakry-Émery Ricci, được x¡c định như sau rf ⊗ rf Ricm := Ric + Hessf − (n < m ≤ 1): f m − n 1 Đặc bi»t, khi m = 1, Ricf := Ricf := Ric + Hessf gọi là độ cong Bakry-Émery. Độ cong này được giới thi»u ở [2] bởi Bakry-Émery khi nghi¶n cùu v· sự khu¸ch t¡n trong l½ thuy¸t v· dáng Ricci. Trường hñp sû dụng m = n ch¿ được x¡c định khi f là hàm h¬ng. To¡n tû p-Laplace có trọng tr¶n đa t¤p M t¡c động tr¶n c¡c 1;p hàm u 2 Wloc (M) được định nghĩa theo nghĩa ph¥n phèi như sau f −f p−2 ∆p;f u = e div(e jruj ru); nghĩa là Z Z −f p−2  −f ∆p;f u'e dv = − rjuj ru; r' e dv Ω Ω 1;p với mọi Ω ⊂ M mở và ' 2 W0 (Ω) b§t k¼. Ước lượng gradient là mët công cụ quan trọng trong gi£i t½ch h¼nh học và đang được sû dụng rëng r¢i ở nhi·u lĩnh vực kh¡c nhau, tø c¡c định l½ Liouville, c¡c b§t đẳng thùc Harnack v· nghi»m dương tới c¡c d¤ng phương tr¼nh phi tuy¸n tr¶n đa t¤p Riemann. Kotschwar và Ni [1] đã thi¸t lªp mët ước lượng gradient địa phương cho c¡c hàm p-harmonic với gi£ thi¸t độ cong bị chặn dưới. G¦n 3
8. Lời nói đ¦u đây, Wang và Zhang [12] đã nghi¶n cùu v· hàm p-hamonic và d¨n đến ước lượng gradient địa phương và b§t đẳng thùc Harnack với c¡c h¬ng sè mà chúng ch¿ phụ thuëc vào cªn dưới cõa độ cong Ricci, chi·u đa t¤p, b¡n k½nh h¼nh c¦u. Đối với phương tr¼nh p-Laplacian tr¶n không gian đo trơn, mët vài k¸t qu£ v· ước lượng gradient và t½nh Liouville được tr¼nh bày ở [7]và [8]. Đặc bi»t, hai t¡c gi£ L. Zhao và D. Yang [6] đã đưa ra ước gradient cho mët d¤ng ri¶ng cõa phương tr¼nh Lichnerowicz vèn xu§t ph¡t tø phương tr¼nh Halminton ràng buëc, đó là phương tr¼nh p -Laplacian Lichnerowicz σ ∆p;f u + cu = 0 tr¶n không gian đo metric trơn,với c > 0, p > 1, σ ≤ p − 1 khi u > 0. B¶n c¤nh đó, t¡c gi£ L. Zhao cũng chùng minh c¡c ước lượng gradient cho mët sè d¤ng kh¡c, xem ở [5]. Luªn v«n s³ thi¸t lªp ước lượng gradient địa phương cho nghi»m dương cõa phương tr¼nh p-Laplacian phi tuy¸n têng qu¡t ∆p;f u + F (u) = 0; p > 1 (∗) F 0(u) với hàm F kh£ vi li¶n tục, thỏa m¢n với u > 0 th¼ F (u) ≥ 0 và p−1 u ≤ F (u). Khi đó, d¹ th§y r¬ng bài to¡n mà hai t¡c gi£ L. Zhao và D. Yang nói đến ở [6] là mët trường hñp ri¶ng cõa bài to¡n (*). Do đó, luªn v«n đã mở rëng k¸t qu£ cõa bài b¡o [6]. Ngoài ra, chúng tôi cũng s³ đưa ra mët sè h» qu£ khi F là c¡c hàm quan trọng thường gặp trong Vªt lý To¡n, ch¯ng h¤n phương tr¼nh Allen-Cahn, phương tr¼nh Fisher. Ngoài ra, vi»c tr¼nh bày ước lượng gradient cho phương tr¼nh ∆p;f u + F (u) = 0 cũng đưa ra chùng minh ch½nh x¡c hơn, và đính ch½nh được c¡c léi kỹ thuªt tương đối nghi¶m trọng trong bài b¡o [6]. Hà Nëi, ngày 26 th¡ng 11 n«m 2019 L¶ V«n Đại 4
9. Chương 1 Ki¸n thùc chu©n bị Chương này tr¼nh bày mët sè kh¡i ni»m li¶n quan đến h» frame địa phương, đa t¤p Riemann, c¡c to¡n tû và định nghĩa t½ch ph¥n tr¶n đa t¤p Riemann, tø đó làm ti·n đề x¥y dựng chương 2. 1.1 H» frame địa phương, toàn cục Cho M là đa t¤p trơn, có bi¶n hoặc không có bi¶n. Định nghĩa 1.1.1. (xem [9] tr.178) Cho M là đa t¤p trơn và TM là ph¥n thớ ti¸p xúc cõa nó. Mët trường vectơ tr¶n M là mët ¡nh x¤ li¶n tục X: M ! TM, thỏa m¢n với méi p 2 M th¼ X(p) = Xp, Xp 2 TpM. N¸u X là mët ¡nh x¤ trñn th¼ trường v²c tơ ti¸p xúc X được gọi là mët trường v²c tơ trơn. Lưu ý, xuy¶n suèt luªn v«n này, n¸u không nói g¼ th¶m th¼ ta luôn gi£ thi¸t r¬ng trường v²c tơ tr¶n đa t¤p trơn M là trơn. Định nghĩa 1.1.2. (xem [9] tr.178) Mët h» frame địa phương x¡c định tr¶n tªp mở U ⊆ M là bë n thành ph¦n trường vectơ (E1; :::; En) sao cho (E1jp; :::; Enjp) lªp n¶n cơ sở cõa TpM với méi p 2 U, khi U ≡ M th¼ nó được gọi là h» frame toàn cục. Đặc bi»t, n¸u méi Ei là hàm trơn th¼ gọi là h» frame trơn. 1.2 Đa t¤p Riemann và c¡c to¡n tû 1.2.1 Trường tenxơ Định nghĩa 1.2.1. (xem [9] tr.255) Cho π : E ! M là mët ph¥n thớ v²ctơ. Mët nh¡t c­t địa phương cõa E là mët ¡nh x¤ li¶n tục σ : M ! E x¡c định tr¶n tªp mở U ⊆ M thỏa m¢n πσ = IdU . Khi U ≡ M th¼ σ gọi là nh¡t c­t toàn cục. Sau đây, ta s³ định nghĩa c¡c ph¥n thớ tenxơ tr¶n M. 5
10. Chương 1. Ki¸n thùc chu©n bị Định nghĩa 1.2.2. (xem [9] tr.316) Cho M là đa t¤p trơn, có bi¶n hoặc không có bi¶n. Ph¥n thớ k-tenxơ hi»p bi¸n tr¶n đa t¤p M được định nghĩa bởi k ∗ a k ∗ T T M := T (Tp M); p2M với k ∗ ∗ ∗ ∗ T (Tp M) = Tp M ⊗ Tp M ⊗ ::: ⊗ Tp M; (k l¦n); ∗ trong đó Tp M là không gian đối ng¨u cõa không gian ti¸p xúc TpM. Tương tự, ta định nghĩa ph¥n thớ k-tenxơ ph£n bi¸n k a k T TM := T (TpM); p2M và ph¥n thớ tenxơ hén hñp d¤ng (k; `) bởi (k;`) a (k;`) T TM := T (TpM): p2M Chú ý r¬ng, c¡c ph¥n thớ véctơ T k(T ∗M), T k(TM) và T (k;`)(TM) có c§u trúc tự nhi¶n là c¡c ph¥n thớ véctơ trơn tr¶n M. Tø đây ta có định nghĩa v· c¡c trường tenxơ. Định nghĩa 1.2.3. (xem [9] tr.317) Mët nh¡t c­t cõa mët ph¥n thớ tenxơ được gọi là mët trường tenxơ (hi»p bi¸n, ph£n bi¸n, hén hñp) tr¶n đa t¤p M. Không gian c¡c nh¡t c­t trơn cõa ph¥n thớ k-tenxơ hi»p bi¸n, k-tenxơ ph£n bi¸n, (k; `)-tenxơ hén hñp được k½ hi»u l¦n lượt là Γ(T k(T ∗M)), Γ(T k(TM)) và Γ(T (k;`)(TM)), chúng là c¡c không gian véctơ vô h¤n chi·u tr¶n R. Nói ri¶ng, không gian t§t c£ c¡c trường k-tenxơ hi»p bi¸n trơn được k½ hi»u ng­n gọn là k T (M). Trong b§t k¼ h» tọa độ trơn (xi), c¡c trường k-tenxơ hi»p bi¸n có thº biºu di¹n A = Ai1:::ik dxi1 ⊗ ::: ⊗ dxik ; c¡c hàm Ai1:::ik được gọi là c¡c hàm thành ph¦n cõa A trong h» tọa độ đã chọn. 1.2.2 Đa t¤p Riemann Định nghĩa 1.2.4. (xem [10] tr.24) Mët metric Riemann tr¶n M là mët trường 2-tenxơ hi»p bi¸n đối xùng, x¡c định dương t¤i mọi điểm tr¶n M. Nói c¡ch kh¡c, mët metric Riemann g tr¶n M là mët ¡nh x¤ p 7! gp 2 2 L (TpM; R) sao cho c¡c t½nh ch§t sau thỏa m¢n 6