Luận văn Toán tử hardy-cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian morrey có trọng

Nội dung tài liệu: Luận văn Toán tử hardy-cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian morrey có trọng

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TOÁN TỬ HARDY-CESÀRO CÓ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN MORREY CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TOÁN TỬ HARDY-CESÀRO CÓ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN MORREY CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Trí Dũng. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ sách, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về luận văn của mình. Lê Thị Kim Hương
4. LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy Trần Trí Dũng, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị khóa trên và bạn bè trong chuyên ngành Giải tích luôn bên cạnh, động viên và là điểm tựa vững chắc cho tôi trong thời gian làm luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Lê Thị Kim Hương
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục các ký hiệu MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................... 3 1.1 Kiến thức giải tích điều hòa .............................................................................. 3 1.2 Hàm trọng 흎 ..................................................................................................... 3 1.3 Toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử của nó ............................ 5 1.4 Không gian 푴푶 có trọng ............................................................................... 6 1.5 Không gian Morrey có trọng ............................................................................. 9 1.6 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood .................................................................. 10 Kết hợp các đánh giá trên, ta được ........................................................................ 13 CHƯƠNG 2. TÍNH BỊ CHẶN CỦA TOÁN TỬ HARDY-CESÀRO CÓ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN MORREY TRUNG TÂM CÓ TRỌNG ....................................................................................................................................... 14 2.1 Không gian Morrey trung tâm có trọng và không gian BMO trung tâm có trọng ................................................................................................................................... 14 2.2 Tính bị chặn của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng trên không gian Morrey trung tâm có trọng ........................................................................................ 21 2.3 Tính bị chặn của hoán tử toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng trên không gian Morrey trung tâm có trọng ................................................................................. 24 2.4 Hoán tử bậc cao trên không gian Morrey trung tâm có trọng ......................... 37 KẾT LUẬN ................................................................................................................... 39
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 40
7. DANH MỤC KÝ HIỆU ℕ Tập hợp số tự nhiên. ℝ Tập hợp số thực. ℝ푛 Không gian vector n chiều trên ℝ, mà mỗi phần tử của nó có ̅̅̅̅̅ dạng x x12, x ,..., xn với 푖 ∈ ℝ, ∀𝑖 = 1, 푛. ℂ Tập hợp số phức. 휒 Hàm đặc trưng của E. 퐿 Không gian các hàm khả tích Lebesgue : ℝ푛 → ℝ với chuẩn 1 p p fp f() s ds . L n 퐿∞( ) Tập hợp các hàm đo được sao cho tồn tại hằng số < ∞ thỏa f() x c hầu khắp nơi trên , với chuẩn định bởi ‖ ‖∞ = 𝑖푛 { : | ( )| ≤ ℎầ ℎắ 푛ơ𝑖 푡 ê푛 }. 푛 퐿푙표 (ℝ ) Không gian các hàm khả tích Lebesgue bậc p địa phương trên ℝ푛. 퐿 (휔) Không gian các hàm khả tích Lebesgue đối với độ đo 휔( ) .
8. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích điều hòa hiện đại là một nhánh quan trọng của Toán học và có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier và tích phân Fourier cổ điển. Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hòa hiện đại phát triển rất mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng đa dạng trong các lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu. Bất đẳng thức tích phân Hardy và những biến thể của nó đóng vai trò quan trọng trong các nhánh khác nhau của giải tích như lý thuyết xấp xỉ, phương trình vi phân, lý thuyết không gian hàm. Do đó, bất đẳng thức tích phân Hardy cho toán tử và những biến thể của nó đã được nghiên cứu và mở rộng rất nhiều. Carton-Lebrun và Fosset [2] đã định nghĩa toán tử Hardy có trọng 푈휓 như sau: 1 푈 ( ) = (푡 )휓(푡) 푡, ∈ ℝ푛, 휓 ∫0 trong đó 휓: [0,1] → [0, ∞) là hàm đo được và là hàm đo được nhận giá trị phức trên 푛 푛 ℝ . Các tác giả cũng chỉ ra rằng 푈휓 bị chặn từ (ℝ ) vào chính nó. Trong [21], Xiao cũng đạt được kết quả tương tự và có thêm kết quả về tính bị chặn của 푈휓 trên không gian 퐿 (ℝ푛)). Nhận thấy giá trị của 푈휓 tại chỉ phụ thuộc giá trị trung bình trọng lượng của dọc theo tham số 푠(푡, ) = 푡 . Do đó đưa đến việc chúng ta sẽ xem xét toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng 푈휓,푠 kết hợp với đường cong tham số 푠(푡, ): = 푠(푡) . Không gian Morrey cổ điển (biến thể tự nhiên của 퐿 (ℝ푛)) được giới thiệu bởi Morrey [15] để khảo sát tính chất địa phương của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng elliptic bậc hai. Sau đó, K. Yasuo và S. Satoru [22] đã đưa ra định nghĩa không gian Morrey có trọng lượng 퐿 ,휆(휔) để nghiên cứu tính bị chặn của toán tử cổ điển trong giải tích điều hòa như toán tử cực đại Hardy-Littlewood, toán tử Calderon-Zygmund và toán tử tích phân phân số.
9. 2 Gần đây, Z.W. Fu, Z.G. Liu và S.Z. Lu [7] đã thiết lập điều kiện cần và đủ trên hàm 푛 trọng 휓 đảm bảo hoán tử của toán tử Hardy có trọng 푈휓 bị chặn trên 퐿 (ℝ ), 1 < < 푛 ∞ với biểu tượng (symbol) trong (ℝ ). Sau đó, tính bị chặn của 푈휓 cũng được nghiên cứu trên một số không gian như: không gian Morrey, không gian Campanato, 훼 không gian loại 풬 ,푞, không gian loại Triebel-Lizorkin. Do đó, tiếp nối chủ đề này luận văn sẽ nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn có trọng cho toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian Morrey có trọng. Các kết quả chủ yếu được tham khảo trong [19]. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian Morrey có trọng. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tôi sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp và trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử cực đại Hardy-Littlewood, các tính chất của hàm trọng 휔 và các không gian (휔), ̇ (휔). Công việc đòi hỏi tác giả phải vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân và giải tích thực. 4. Cấu trúc luận văn Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Tính bị chặn của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian Morrey trung tâm có trọng.
10. 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hòa Các định lí sau được trích dẫn từ [6], là công cụ được sử dụng trong hầu hết các chứng minh những kết quả của luận văn. Định lí 1.1.1 Bất đẳng thức H풐̈ lder Giả sử 1 < < ∞ và 1 + 1 = 1. Nếu và là hai hàm đo được trên ⊂ ℝ푛 thì 푞 ‖ ‖1 ≤ ‖ ‖ . ‖ ‖푞, nghĩa là nếu ∈ 퐿 và ∈ 퐿푞 thì ∈ 퐿1. Trong suốt luận vặn này, khi áp dụng bất đẳng thức Ho lder với cặp số (,)pp thì ta 11 nói p và p’ là hai số liên hợp, tức là 1. pp Định lí 1.1.2 Bất đẳng thức Minkowski’s Nếu 1 ≤ < ∞ và , ∈ 퐿 thì ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ +‖ ‖ . 1.2 Hàm trọng 흎 Định nghĩa 1.2.1 Ta nói 휔 là hàm trọng nếu 휔 đo được trên ℝ푛 và (x ) 0 h.k.n (hầu khắp nơi) trên ℝ푛 . Với mỗi tập con đo được ⊂ , ta định nghĩa ():()E x dx . E Một hàm trọng 휔 được gọi là thỏa tính chất “doubling”, nghĩa là tồn tại hằng số dương sao cho 휔( ( , 2 )) ≤ 휔( ( , )).