Luận văn Tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình Fefferman và ứng dụng

Nội dung tài liệu: Luận văn Tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình Fefferman và ứng dụng

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA TÍNH ĐA ĐIỀU HÁA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nëi - 2019
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA TÍNH ĐA ĐIỀU HÁA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 60460102 C¡n bë hướng d¨n: PGS. TS. NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nëi - 2019
3. LÍI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luªn v«n, em xin gûi lời c£m ơn s¥u s­c tới th¦y gi¡o hướng d¨n Nguy¹n Th¤c Dũng đã tªn t¼nh giúp đỡ em trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu luªn v«n và trực ti¸p hướng d¨n em hoàn thi»n đề tài luªn v«n tèt nghi»p này. Th¦y luôn dành thời gian và t¥m huy¸t vào công vi»c, v¼ th¸ th¦y luôn đặt ni·m tin vào học trá và không ngøng mong mỏi học trá cõa m¼nh luôn ti¸n bë, lĩnh hëi được nhi·u ki¸n thùc. Em cũng xin bày tỏ láng c£m ơn tới th¦y gi¡o, cô gi¡o trong khoa To¡n - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n - Đại học Quèc gia Hà Nëi đã gi£ng d¤y và giúp đỡ em có mët môi trường học tªp tèt trong suèt thời gian học tªp t¤i trường. Cuèi cùng con xin c£m ơn bè mẹ đã luôn õng hë trong vi»c học tªp; c£m ơn b¤n b±, anh chị em và đồng nghi»p đã luôn giúp đỡ, cê vũ và động vi¶n trong học tªp, công vi»c cũng như trong qu¡ tr¼nh hoàn thi»n luªn v«n.Tôi xin c£m ơn anh chị và c¡c b¤n trong lớp cao học To¡n đã nhi»t t¼nh giúp đỡ và động vi¶n tôi trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp t¤i lớp. Hà Nëi, ngày 21 th¡ng 11 n«m 2019 Học vi¶n Nguy¹n Thị Lụa 1
4. Mục lục LÍI CẢM ƠN 1 LÍI MÐ ĐẦU 3 1 Ki¸n thùc cơ b£n 6 1.1 Mi·n si¶u gi£ lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1.1 Hàm đa điều háa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1.2 Mi·n gi£ lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.1.3 To¡n tû Laplace-Beltrami tr¶n đa t¤p K¨ahler. . . . . . . .7 1.1.4 Mi·n si¶u gi£ lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2 Công thùc x§p x¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương tr¼nh Fefferman tr¶n mi·n si¶u gi£ lồi và ùng dụng 16 2.1 Hàm đa điều háa dưới chặt và mi·u si¶u gi£ lồi . . . . . . . . . . . 17 2.2 Mèi li¶n h» giúa c¡c mi·n si¶u gi£ lồi và c¡c mi·n lồi . . . . . . . . 19 2.3 C¡c ph£n v½ dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 KẾT LUẬN 30 Tài li»u tham kh£o 31 2
5. LÍI MÐ ĐẦU Cho D là mët mi·n trơn, bị chặn, gi£ lồi trong Cn; u 2 C2(D) là mët hàm gi¡ trị thực và H(u) là ma trªn Hessian phùc cỡ n × n cõa u: Ta bi¸t r¬ng u là đa điều háa dưới chặt trong D n¸u H(u) x¡c định dương tr¶n D. Khi u là đa điều háa dưới chặt trong D; u c£m sinh mët metric K¨ahler n X @2u g = g[u] = dzi ⊗ dzj: (1) @zi@zj i;j=1 Ta nói r¬ng metric g là Einstein n¸u nó có độ cong Ricci @ log det[gij] Rkl = − (2) @zk@zl thỏa m¢n phương tr¼nh: Rkl = cgkl với h¬ng sè c nào đó. Khi c < 0; sau khi chu©n hóa, ta có thº gi£ sû c = −(n + 1). Cheng và Yau [2] đã chùng minh r¬ng phương tr¼nh Monge-Amp±re ( det H(u) = e(n+1)u; z 2 D (3) u = +1; z 2 @D có mët nghi»m đa điều háa dưới chặt duy nh§t u 2 C1(D). Hơn núa, metric K¨ahler n X @2u g[u] = dzi ⊗ dzj (4) @zi@zj i;j=1 c£m sinh bởi u là mët metric K¨ahler-Einstein đủ tr¶n D. Khi D là gi£ lồi chặt, bài to¡n tồn t¤i nghi»m và duy nh§t nghi»m được nghi¶n cùu bởi Fefferman [3]. Feffermann đã x²t phương tr¼nh dưới d¥y ( det J(ρ) = 1; z 2 D (5) ρ = 0; z 2 @D " # t ρ @ρ  @ρ @ρ   @ρ @ρ  J(ρ) = − ; @ρ = ;:::; (@ρ)∗ = ;:::; trong đó det ∗ và . (@ρ) H(ρ) @z1 @zn @z1 @zn Phương tr¼nh này cũng được gọi là phương tr¼nh Feffermann. Fefferman đã t¼m 3
6. MỤC LỤC được mët nghi»m ρ < 0 tr¶n D sao cho u = − log(−ρ) là đa điều háa dưới chặt trong D. T¡c gi£ chùng minh t½nh duy nh§t và đưa ra công thùc nghi»m x§p x¿ cho (5). N¸u quan h» giúa ρ và u được cho bởi ρ(z) = −e−u(z); z 2 D (6) th¼ (3) và (5) là trùng nhau. Hơn núa, có thº chùng minh r¬ng (xem [8]) det H(u) = J(ρ)e(n+1)u: (7) Khi D là mi·n trơn, bị chặn, gi£ lồi chặt, Cheng và Yau [2] đã chùng minh r¬ng ρ 2 Cn+3=2(D). Tr¶n thực t¸, người ta có ρ 2 Cn+2−(D) với  > 0 đủ nhỏ. Điều kh¯ng định này được suy ra tø mët công thùc mở rëng ti»m cªn cho ρ thu được bởi Lee và Melrose [6]: 1 ! X n+1 j ρ(z) = r(z) a0(z) + aj(r log(−r)) ; (8) j=1 1 1 trong đó r 2 C (D) là hàm x¡c định b§t k¼ cho D, aj 2 C (D) và a0(z) > 0 tr¶n @D: Nhi·u nghi¶n cùu [8, 9, 13, 14] chùng tỏ r¬ng bài to¡n dưới đây r§t thú vị và quan trọng. Bài to¡n 0.1. Gi£ sû D là mi·n trơn, bị chặn, gi£ lồi chặt trong Cn: Cho ρ là nghi»m cõa phương tr¼nh Fefferman (5) sao cho u = −log(−ρ) là đa điều háa dưới chặt trong D: Vªy bê sung điều ki»n nào tr¶n D th¼ ta có ρ là đa đi·u háa dưới chặt trong D. B¬ng c¡ch giới thi»u kh¡i ni»m mi·n si¶u gi£ lồi trong bài b¡o [7], Song Ying Li đ¢ đưa ra mët đặc trưng hóa cho c¡c mi·n D trong Cn sao cho c¥u tr£ lời cõa bài to¡n tr¶n là đúng. Ngoài ra, t¡c gi£ cũng nghi¶n cùu gi¡ trị cực đại cho gi¡ trị ri¶ng "nhỏ nh§t" ("bottom of the spectrum") tr¶n c¡c mi·n này. Mục ti¶u ch½nh cõa luªn v«n là tr¼nh bày l¤i c¡c k¶t qu£ trong bài b¡o nói tr¶n cõa Li. Luªn v«n bao gồm hai chương. Trong chương mët, chúng tôi giới thi»u l¤i c¡c kh¡i ni»m mi·n gi£ lồi, hàm x¡c định, to¡n tû Laplace-Beltrami. Đặc bi»t, chúng tôi giới thi»u kh¡i ni»m mi·n si¶u gi£ lồi và chùng minh mët k¸t qu£ x§p x¿ cho hàm x¡c định. K¸t qu£ này s³ được dùng trong chương hai để chùng minh c¡c k¸t qu£ ch½nh. Như đã nói ở tr¶n, chương hai s³ tªp trung vào ph¥n t½ch c¡c k¸t qu£ ch½nh cõa Li. Cụ thº, trong Định lý 2.2 chúng tôi ch¿ ra r¬ng tr¶n c¡c mi·n si¶u gi£ lồi th¼ lời gi£i cõa Bài to¡n 0.1 là luôn tồn t¤i. K¸t 4
7. MỤC LỤC qu£ ch½nh cuèi cùng trong luªn v«n là Định lý 2.1 đưa ra c¡c mèi li¶n h» giúa c¡c kh¡i ni»m mi·n si¶u gi£ lồi và mi·n lồi. Do h¤n ch¸ v· ki¸n thùc cơ b£n n¶n b£n luªn v«n này không tr¡nh khỏi nhúng thi¸u sót, t¡c gi£ r§t mong nhªn được nhúng ý ki¸n đóng góp cõa th¦y ph£n bi»n và b¤n đọc để n¥ng cao và trau dồi ki¸n thùc cõa m¼nh. C¡c th£o luªn góp ý và trau đổi đưñc t¡c gi£ c£m ơn và tr¥n trọng. 5
8. Chương 1 Ki¸n thùc cơ b£n 1.1 Mi·n si¶u gi£ lồi 1.1.1 Hàm đa điều háa dưới Trong ph¦n này ta s³ đưa ra mët sè t½nh ch§t cơ b£n cõa hàm đa điều háa dưới. Trước h¸t ta s³ nh­c l¤i mët vài định nghĩa và định lý cho hàm đa đi·u háa dưới, chùng minh cõa định lý ta có thº xem Kenzo Adachi ([4], ph¦n 1:2: Đặc trưng cõa t½nh gi£ lồi). Định nghĩa 1.1. Gi£ sû Ω là tªp con mở trong Cn, u :Ω ! R: Hàm u được gọi là đa điều háa dưới n¸u (i) u là nûa li¶n tục tr¶n trong Ω, tùc là với mọi c 2 R : fz 2 Ω: u(z) < cg là tªp mở. (ii) Với b§t k¼ z 2 Ω và ! 2 Cn th¼ u(z + ζ!) là điều háa dưới tr¶n fζ 2 C : z + ζ! 2 Ωg: Ta chú ý mët vài t½nh ch§t cơ b£n cõa hàm đa điều háa dưới sau đây. Định lý 1.1. Cho Ω ⊂ Cn; u :Ω ! R; u 2 C2(Ω): Khi đó, n 2 P @ u (i) u là đa điều háa dưới n¸u và ch¿ n¸u (z)!j!k ≥ 0; 8z 2 Ω; j;k=1 @zj@zk n ! = (!1;:::;!n) 2 C : n 2 P @ u (ii) u là đa điều háa dưới chặt n¸u và ch¿ n¸u (z)!j!k > 0; 8z 2 Ω; j;k=1 @zj@zk n ! = (!1;:::;!n) 2 C : 6
9. Chương 1. Ki¸n thùc cơ b£n j!j4 V½ dụ 1.1. X²t không gian phùc 2, cho u(z; !) = jzj2+j!j2 và v(z; !) = jzj2+ C 4 với (z; !) 2 C2. Khi đó, u là hàm đa di·u háa dưới chặt cán v là hàm đa điều háa dưới. Thªt vªy, u; v là c¡c hàm trơn và ma trªn Hessian phùc cõa u và v l¦n lượt là ! ! 1 0 1 0 Hu(z; !) = = I2 và Hv(z; !) = . C£ hai ma trªn tr¶n đều là 0 1 0 j!j2 ma trªn Hermit. Ma trªn Hu là x¡c định dương chặt và ma trªn Hv là x¡c định dương. 1.1.2 Mi·n gi£ lồi Cho Ω ⊂ Cn là tªp mở. Ta nói r¬ng Ω có bi¶n lớp Ck (k ≥ 2) n¸u tồn t¤i mët l¥n cªn U cõa @Ω và mët hàm r x¡c định lớp Ck tr¶n U sao cho • Ω \ U = fz 2 U : r(z) < 0g. n P @r • dr 6= 0 tr¶n @Ω, ta có dr(z) = (z)dxj với mọi z 2 @Ω. j=1 @xj Định nghĩa 1.2. Gi£ sû Ω là mët mi·n bị chặn trong Cn (n ≥ 2), Ω có bi¶n trơn, D là bi¶n cõa Ω và r là mët hàm x¡c định tr¶n D. Khi đó D gọi là mi·n gi£ lồi t¤i p 2 @Ω n¸u d¤ng Levi n X @2r Lp(r; !) = (p)!i!j ≥ 0 @zi@zj i;j=1 (1;0) với mọi ! 2 Tp (@Ω). Ω được gọi là mi·n gi£ lồi chặt n¸u L(r; !) là x¡c định dương với mọi ! 6= 0. 2 2 V½ dụ 1.2. X²t không gian phùc C và h¼nh c¦u đơn vị B2 = f(z; !) 2 C : 2 2 jzj + j!j < 1g. Khi đó, B2 là mi·n gi£ lồi chặt. Thªt vªy, ta có thº chọn hàm 2 2 x¡c định cõa @B2 là hàm r(z; !) = jzj + j!j − 1. Hàm này là hàm đa điều háa dưới chặt t¤i mọi điểm (z; !) 2 @B2. 1.1.3 To¡n tû Laplace-Beltrami tr¶n đa t¤p K¨ahler Gi£ sû M là mët đa t¤p Riemann định hướng, n chi·u và Ωp(M) là không gian p-d¤ng tr¶n M, đặt d :Ωp(M) −! Ωp+1(M) là to¡n tû vi ph¥n thông thường, 2 P ∗ ∗ p ≥ 0. Gi£ sû r¬ng ds = gijdxi ⊗ dxj là mët metric Riemann tr¶n T M ⊗ T M, i;j 7
10. Chương 1. Ki¸n thùc cơ b£n 2 gij là ma trªn thực c§p n và x¡c định dương chặt. Khi đó ds chùa mët metric Riemann tr¶n T ∗M ⊗ T ∗M x¡c định bởi X @ @ dS2 = gij ⊗ @xi @xj i;j ij trong đó (g ) là ma trªn nghịch đảo cõa (gij). ∗ Ln p Gi£ sû d là to¡n tû li¶n hñp cõa d tr¶n p=0 Ω (M) tương ùng với metric P gijdxi ⊗ dxj nghĩa là i;j d∗ :Ωp(M) −! Ωp−1(M) và Z ∗ (dα; β) = (α; d β) = hdα; βids2 M mọi α 2 Ωp−1M; β 2 ΩpM, trong đó ∗ là to¡n tû Hogde. Định nghĩa 1.3. To¡n tû Hogde-Laplace tr¶n ΩpM là ∗ ∗ p p 4H = −(dd + d d):Ω (M) −! Ω (M): To¡n tû Hogde-Laplace được li¶n h» với to¡n tû Laplace-Beltrami như sau: Với mọi hàm trơn f ta có thº định nghĩa gradient cõa nó là @f @f 5f =: grad f =: gij @xi @xj trong đó g = det(gij), khi đó với mọi trường vecto X ta có hgrad f; Xi = X(f) = df(X): @ Mặt kh¡c, to¡n tû div t¡c đëng l¶n mët trường vecto Z = Zi được định nghĩa @xi là 1 @ p divZ =: ( gZj): g @xj Định nghĩa 1.4. To¡n tû Laplace-Beltrami tr¶n Ωp(M) là 4f = −div(grad f) Khi đó, chúng ta bi¸t r¬ng tr¶n không gian c¡c hàm kh£ vi tr¶n M ta có 4 = −4H . D¹ dàng nhªn th§y r¬ng 1 @ p @f  @2 4f = −p ggij = −gij f + ··· g @xj @xi @xi@xj V¼ (gij) là x¡c định dương n¶n − 4 f là mët to¡n tû elliptic. 8