Luận văn Tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số BMO

Nội dung tài liệu: Luận văn Tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số BMO

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Nhân, luận văn chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài: “Tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số BMO” được thực hiện bởi sự nhìn nhận và tìm hiểu của chính bản thân tôi. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã thừa kế những kết quả trong các bài báo, luận văn của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan các nội dung và kết quả trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm2019 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Tuyết Mẫn
4. LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành được luận văn thạc sĩ này thì không chỉ nhờ vào sự nỗ lực, cố gắng hết mình của bản thân mà còn nhờ rất nhiều vào sự hướng dẫn nhiệt tình của các Thầy, Cô; cũng như sự ủng hộ, giúp đỡ, động viên từ gia đình và bạn bè. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Nguyễn Thành Nhân, người đã giới thiệu cho tôi đề tài này và trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn. Bên cạnh đó tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình đến toàn thể các quý Thầy, Cô của khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học, cũng như Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành bài nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình đã luôn ở bên, động viên, ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 2 1.1. Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence ................................... 2 1.2. Một số khái niệm ..................................................................................... 2 1.2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và một số kết quả trong Lp ....... 2 1.2.2. Bổ đề phủ Vitali ................................................................................ 3 1.2.3. Định nghĩa không gian BMO ............................................................ 4 1.2.4. Một số định nghĩa và kết quả liên quan đến biên Lipschitz .............. 4 1.2.5. Bổ đề 1.6 ............................................................................................ 6 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC ............................................. 7 2.1. Bổ đề phủ Vitali....................................................................................... 7 2.2. Các định nghĩa và bổ đề .......................................................................... 8 2.3. Tính chính quy ....................................................................................... 19 Chương 3. BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ ................................................................... 22 3.1. Bổ đề phủ Vitali..................................................................................... 22 3.2. Các định nghĩa và bổ đề ........................................................................ 24 3.3. Tính chính quy ....................................................................................... 37
6. Chương 4. BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ ................................................................................. 42 4.1. Các định nghĩa và bổ đề ........................................................................ 42 4.2. Tính chính quy nghiệm .......................................................................... 53 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 57
7. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU n x x', xn Một điểm điển hình trong R . n n R x R:0 xn  Không gian với các điểm có xn 0. n n Br y R: y r Quả cầu mở trong R với tâm O, bán kính r . Bxr Bxr Quả cầu mở có thêm x . Br B r  x n 0 Nửa quả cầu. Bxr Bxr Nửa quả cầu có thêm x . Tr Bxrn  0 Quả cầu mở Br với các điểm có xn 0. crB Bxrn  0 Biên của mà các điểm trong đó có . Aa ij Ma trận A cấp nn . uR: Hàm u với u x u x1,..., xn x  . n f : R Hàm f với f x f1 x ,..., fn x x  . 1 f f x dx Giá trị trung bình của f trên B . Br B r r Br  u u,..., u Gradient của u . xx1 n n divf x fi x Divergence của f . i 1 xi C0  Không gian hàm uC  có giá compact.
8. 1 MỞ ĐẦU Bài toán về tính chính quy nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm nay. Gần đây một số kết quả về bài toán này cho các phương trình với hệ số BMO được nghiên cứu bằng phương pháp sử dụng Bổ đề phủ Vitali và công cụ trong giải tích điều hòa. Luận văn này tập trung khảo sát một số đánh giá về tính chính quy nghiệm của một lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số không liên tục. Cụ thể là khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO rất nhỏ. Tài liệu nghiên cứu chính đó là [1], [3], [5], [8]. Nội dung tập trung khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình dạng divergence. Từ đó ứng dụng vào các bài toán cụ thể với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên Neumann. Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Bước đầu giới thiệu về phương trình elliptic dạng divergence, các định nghĩa và bổ đề quan trọng để bổ trợ cho các chương sau. Chương 2: Bàn luận về tính chính quy cho gradient của nghiệm phương trình elliptic dạng divergence với hệ số không liên tục . Công cụ chính đó là Bổ đề phủ Vitali. Và phương pháp đánh giá tính chính quy nghiệm của chương này là nền tảng cho phương pháp của hai chương sau. Chương 3: Mở rộng đánh giá của chương trước để nghiên cứu về tính trơn của nghiệm yếu lên biên của bài toán Dirichlet với hệ số BMO trên miền Lipschitz. Chương 4: Bài toán Neumann với hệ số BMO trên miền Lipschitz. Chương này mở rộng đánh giá trong chương trước. Kỹ thuật chính của chương này là từ Bổ đề 3.1 trong Chương 3.
9. 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence, một số định nghĩa và bổ đề cần thiết để nghiên cứu các chương sau. Tài liệu tham khảo của chương này chủ yếu từ [1], [2], [3], [5] và [9]. 1.1. Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence Phương trình elliptic dạng divergence: Lu a u div A  u divf f i trong miền bị chặn Rn. (1.1) ij x j x xi i Giả thiết chính đó là các hệ số của phương trình elliptic, Aa ij, thuộc không gian John-Nirenberg BMO (xem.[5]) với nửa chuẩn BMO nhỏ: Lp 2 1 2 A supsup A y ABxr dy 1. (1.2) BMO Bx r rx 0  Br 1.2. Một số khái niệm 1.2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và một số kết quả trong Định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood Cho f là một hàm khả tích địa phương. Khi đó, hàm cực đại Hardy-Littlewood của là: 1 f x sup f y dy . Bx r r 0 Br Định lý cơ bản của hàm cực đại Hardy-Littlewood (i) Nếu f Lpn R với p 1, khi đó: f Lpn R . Hơn nữa, fpp C f . (1.3) LL (ii) Nếu f L1 Rn , khi đó: C p x Rn :. f x  f dx (1.4)
10. 3 (1.3) được gọi là mạnh loại pp và (1.4) được gọi là yếu loại 11 . Bổ đề 1.1 Với 1 p . Khi đó, ta có: (i) fL 1 nếu và chỉ nếu fL 1 , p (ii) fL p nếu và chỉ nếu fL 1 . Bổ đề 1.2 Với 0 và f Lp  1 p . Khi đó, ta có: 1 p (i) x :, f x  p f dx  p (ii) f dx p p 1 x :. f x d  0  Bổ đề 1.3 Cho p là một số thực với p 2. Giả sử rằng tồn tại  p 0 nhỏ sao cho: AI . n Khi đó, tất cả các nghiệm uH 1 của phương trình div A  u 0 trong miền bị chặn Rn thì thỏa mãn u W1, p . 1.2.2. Bổ đề phủ Vitali Cho A là một tập đo được. Giả sử rằng một lớp các quả cầu B phủ A AB . Bán kính của bị chặn trên. Và tồn tại các quả cầu rời nhau BB  sao cho: i i 1 AB 5, i i với 5B là quả cầu với bán kính gấp năm lần bán kính của B . Khi đó, ta i i có: