Luận văn Tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị Kahler và lớp 𝜺(𝑿, 𝝎)

Nội dung tài liệu: Luận văn Tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị Kahler và lớp 𝜺(𝑿, 𝝎)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K ̈ HLER VÀ LỚP 휺(푿, 흎) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh -2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K ̈ HLER VÀ LỚP 휺(푿, 흎) Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh -2019
3. LÍI CAM OAN Håc vi¶n xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng håc vi¶n. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh bði c¡ nh¥n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Nguy¹n V«n æng. C¡c t i li»u tham kh£o, c¡c ành lþ, bê · v c¡c k¸t qu£ tr½ch d¨n, sû döng trong luªn v«n ·u ÷ñc n¶u ¦y õ nguçn gèc cö thº, rã r ng. Th nh phè Hç Ch½ Minh, ng y 27 th¡ng 09 n«m 2019 Håc vi¶n thüc hi»n Nguy¹n Thà Tuy¸t Nh÷
4. LÍI CM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m Th nh phè Hç Ch½ Minh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Nguy¹n V«n æng. Nh¥n dàp n y, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Th¦y, ng÷íi ¢ tªn t¼nh v ëng vi¶n tæi r§t nhi·u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn ¸n Quþ th¦y cæ trong Hëi çng ch§m luªn v«n ¢ d nh thíi gian åc, ch¿nh sûa v âng gâp þ ki¸n gióp luªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Tæi xin c¡m ìn t§t c£ c¡c th¦y, cæ ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y, truy·n ¤t ki¸n thùc v gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp. Tæi xin c¡m ìn ¸n Quþ th¦y cæ trong Pháng Sau ¤i håc cõa tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th nh phè Hç Ch½ Minh ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y. Xin c¡m ìn c¡c anh chà, c¡c b¤n håc vi¶n ng nh to¡n ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi v câ nhi·u þ ki¸n âng gâp trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n. Do tr¼nh ë v thíi gian câ h¤n cõa b£n th¥n n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi sai sât. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o v gâp þ tø quþ th¦y cæ, c¡c anh chà v c¡c b¤n. Xin ch¥n th nh c¡m ìn. Th nh phè Hç Ch½ Minh, ng y 27 th¡ng 09 n«m 2019 Håc vi¶n thüc hi»n Nguy¹n Thà Tuy¸t Nh÷
5. Möc löc Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.1 a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.2 a t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1.3 C¡c d¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . .6 1.1.4 Dáng tr¶n c¡c a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 ¤o h m ngo i v t½ch ngo i cõa dáng tr¶n a t¤p kh£ vi . 11 1.2 Ph²p t½nh vi ph¥n phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 D¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Dáng tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 H m a i·u háa d÷îi tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . 17 1.3 a t¤p Hecmit v a t¤p Kahler¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 H m !− a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Kahler¨ 21 2.1 Tia tr­c àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 C¡ch x¥y düng d÷îi tr­c àa y¸u cõa Berndtsson . . . . . . . . . . 24 2.3 Phi¸m h m n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Chu©n t­c hâa tr­c àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Tia tr­c àa y¸u v lîp n«ng l÷ñng "(X; !) 34
6. 3.1 Lîp "(X; !) ................................ 35 3.2 C¡ch x¥y düng tia tr­c àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1 Tia tr­c àa y¸u cõa Ross v Witt-Nystrom¨ . . . . . . . . . 41 3.2.2 Mët c¡ch x¥y düng c¡c tia tr­c àa y¸u cõa Tam¡s Darvas 45 3.3 Ph²p bi¸n êi Legendre ng÷ñc cõa mët tia tr­c àa y¸u v "(X; !) 49 K¸t luªn 53 T i li»u tham kh£o 54
7. DANH MÖC CC K HI›U I To¡n tû çng nh§t Ck Khæng gian c¡c h m kh£ vi k l¦n vîi c¡c ¤o h m li¶n töc Cs(Ω; R) Tªp hñp c¡c h m thuëc lîp Cs tr¶n ! TX;a Khæng gian ti¸p xóc cõa khæng gian X t¤i a ∗ Khæng gian èi ti¸p xóc TX;a ∗ Ph¥n thî ti¸p xóc cõa TX ;TX X v ∗ ∗ TX = [x2X TX;x TX = [x2X TX;x jIj ë d i cõa I s Vp ∗ Khæng gian cõa d¤ng vi ph¥n thuëc lîp s C (X; TX ) p− C u ^ vv T½ch ngo i cõa u v v du ¤o h m ngo i cõa mët p− d¤ng thuëc lîp Cs suupu Gi¡ cõa u p èi çng i·u Rham tr¶n HdR(M) M s Nûa chu©n s  α pL pL(u) = supx2L maxjIj=p;jα|≤s jD uI (x)j p Khæng gian 1 Vp ∗ ÷ñc trang bà tæpæ x¡c ành bði nûa chu©n s " (X) C (X; TX ) pL Dp(K) Khæng gian con cõa "p(X) vîi c¡c ph¦n tû câ gi¡ compact trong K p p p D (X) D (X) := [KD (K) (Dp(X))0 èi ng¨u tæpæ cõa Dp(X) codimM èi chi·u cõa M O(Ω) Tªp hñp c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n Ω Vp;q(X) Tªp hñp c¡c d¤ng vi ph¥n kiºu (p; q) d; δ; δ C¡c to¡n tû vi ph¥n ngo i P SH(Ω) Tªp hñp c¡c h m a i·u háa d÷îi tr¶n Ω Hua D¤ng Hess phùc cõa u Imz Ph¦n £o cõa z Rez Ph¦n thüc cõa z P SH(X; !) Tªp hñp c¡c h m !-a i·u háa d÷îi
8. uscu Ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa u Re Sα,β Sα,β = fs 2 C : α < s < βg C1(X) Tªp hñp c¡c h m trìn tr¶n X H Khæng gian c¡c th¸ và trìn tr¶n X 5 ¤oh¤p hi»p bi¸n AM(:) Phi¸m h m Aubin Mabichi u(u0; u1) o¤n tr­c àa y¸u nèi u0 v u1 "(X; !) Lîp n«ng l÷ñng Cap Dung l÷ñng Monge-Ampere !(:) P (b0) P (b0) = supf ≤ b0 : 2 P SH(X; !)g; 0 0 P (b0; b1) P (b0; b1) = P (minfb0; b1g) = supf ≤ minfb0; b1gj 2 P SH(X; !)g: P[ ](φ) Bao cõa φ èi vîi c¡c kiºu k¼ dà cõa P[ ](φ) = usc (limD!+1 P ( + D; φ))
9. Mð ¦u Gi£ sû (Xn;!) l mët a t¤p Kahler¨ compact li¶n thæng n chi·u. Lîp n«ng l÷ñng "(X; !) ÷ñc xem nh÷ l lîp c¡c h m !-a i·u háa d÷îi P SH(X; !) khæng nh§t thi¸t bà ch°n. ¥y công l lîp lîn nh§t c¡c h m !-a i·u háa d÷îi m tr¶n â to¡n tû Monge-Amp±re phùc x¡c ành tèt. Nâ ÷ñc sû döng º gi£i ph÷ìng tr¼nh Monge-Amp±re to n cöc vîi dú li»u thæ. C¡c ph¦n tû v 2 "(X; !) th÷íng khæng bà ch°n nh÷ng câ c¡c ký dà r§t nhµ. °c bi»t, theo [13] Corollary 1.8, t¤i b§t ký x 2 X sè Lelong cõa v b¬ng khæng. Tuy nhi¶n, nh÷ ¢ nhªn x²t trong [11] t½nh ch§t n y khæng °c tr÷ng cho lîp "(X; !). Tam¡s Darvas trong b i b¡o [7] ¢ tr¼nh b y mët k¸t qu£ l§p ¦y lé hêng n y, ngh¾a l °c tr÷ng c¡c ph¦n tû cõa "(X; !) theo t½nh nhµ cõa c¡c ký dà cõa chóng. º thüc hi»n vi»c n y, t¡c gi£ b i b¡o ÷a ra mët c¡ch x¥y düng c¡c tia tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Kahler¨ g­n k¸t vîi c¡c t½nh ch§t cõa lîp "(X; !). p döng sü x¥y düng n y, t¡c gi£ ¢ chùng minh mët °c tr÷ng cõa "(X; !) theo c¡c bao tr¶n. AM(max{−l; g) K½ hi»u c = lim , trong â 2 P SH(X; !) câ thº khæng l!+1 l bà ch°n v AM(:) l n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi cõa mët h m !-a i·u háa d÷îi. °c tr÷ng ¦u ti¶n cõa lîp "(X; !) ÷ñc chùng minh l 2 "(X; !) n¸u v ch¿ n¸u c = 0. B­t ¦u tø mët o¤n tr­c àa d÷îi y¸u (α; β) 3 t 7! ut 2 P SH(X; !) vi»c x¥y düng mët tia tr­c àa y¸u têng qu¡t tr¶n g°p trð ng¤i v¼ nâi chung giîi h¤n u1 := lim ut khæng tçn t¤i. Kh­c phöc v§n · n y c¦n mët qu¡ tr¼nh chu©n t!+1 t­c hâa o¤n tr­c àa y¸u. Sü chu©n t­c hâa n y thüc hi»n ÷ñc nhí v o mð rëng mët k¸t qu£ cõa Berndtsson [1] v· t½nh li¶n töc Lipschitz cõa o¤n tr­c àa 1
10. 2 y¸u tòy þ. Vîi o¤n tr­c àa y¸u ÷ñc chu©n t­c hâa u1 := lim ut l h m !-a t!+1 i·u háa d÷îi v kh¡c −∞. Möc ti¶u ti¸p theo l x¥y düng tia tr­c àa y¸u ÷ñc chu©n t­c hâa t ! vt sao cho v0 = φ v v1 = vîi φ, 2 P SH(X; !), ≤ φ vîi φ bà ch°n v câ thº khæng bà ch°n. º x¥y düng mët tia nh÷ th¸ b i b¡o giîi thi»u tªp hñp c¡c tia tr­c àa y¸u chu©n t­c: R(φ, ) = fvt l mët tia y¸u chu©n t­c hâa vîi vo = lim vt = φ(t) v v1 = lim vt ≥ (t)g t!0 t!1 trong â giîi h¤n l theo tøng iºm. K½ hi»u l l o¤n tr­c àa y¸u duy nh§t nèi vîi (0; l) 3 t ! ut 2 P SH(X; !) φ maxfφ − l; g v ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa giîi h¤n c¡c o¤n n y l   v(φ, ) = usc lim ul . B i b¡o chùng minh ÷ñc r¬ng tia v(φ, ) l bao d÷îi l!+1 cõa c¡c ph¦n tû thuëc R(φ, ) v nâ l h¬ng n¸u v ch¿ n¸u 2 "(X; !). 1 Cuèi còng, vîi 2 P SH(X; !) v φ 2 P SH(X; !)\L (X) ành ngh¾a P[ ](φ) l bao tr¶n cõa φ èi vîi kiºu ký dà cõa . Düa v o c¡ch x¥y düng tia tr­c àa y¸u v t½nh cüc ¤i cõa ph²p bi¸n êi Legendre cõa tia tr­c àa y¸u, b i b¡o ¢ chùng minh kh¯ng ành °c tr÷ng c¡c ph¦n tû cõa "(X; !) theo t½nh nhµ cõa c¡c ký dà cõa chóng: 2 "(X; !) n¸u v ch¿ n¸u P[ ](φ) = φ vîi 2 P SH(X; !) v φ 2 P SH(X; !)\ C(X). Luªn v«n n y tr¼nh b y l¤i nëi dung b i b¡o cõa Tam¡s Darvas [7] v· vi»c x¥y düng tia tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và g­n k¸t vîi c¡c t½nh ch§t cõa lîp "(X; !) v sû döng chóng º °c tr÷ng lîp n«ng l÷ñng n y theo c¡c bao tr¶n. Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Ph¦n chu©n bà, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· H¼nh håc phùc, Lþ thuy¸t a th¸ và câ li¶n quan phöc vö cho c¡c ch÷ìng ti¸p theo. Ch÷ìng 2: Tia tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Kahler:¨ Tr¼nh b y ◦ Kh¡i ni»m tr­c àa trong khæng gian c¡c th¸ và Kahler.¨ ◦ Ph÷ìng ph¡p cõa Berndtsson [2] x¥y düng c¡c o¤n tr­c dàa y¸u nèi hai iºm thuëc lîp c¡c h m !-a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng.