Luận văn Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose – einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn

Nội dung tài liệu: Luận văn Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose – einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THU HƢƠNG SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2016
2. LỜI CẢM ƠN Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016 Tác giả Phạm Thu Hương
3. LỜI CAM ĐOAN Dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán với đề tài “Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ khí Bose – Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn” đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016 Tác giả Phạm Thu Hương
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2 5. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................. 2 6. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2 Chƣơng 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN ......................................................................................................... 3 1.1. Hệ hạt đồng nhất ..................................................................................... 3 1.2. Thống kê Bose – Einstein ....................................................................... 4 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein .............................. 13 1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein ........................................... 16 1.4.1. Ngƣng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium ............. 16 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ......................................... 18 1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngƣng tụ polartion .................................................................................................... 19 1.4.4. Chất siêu dẫn mới ........................................................................... 22 1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose - Einstein...................................................................................................... 24 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ................................................................................ 26 Chƣơng 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN THÀNH HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU....................................... 27 2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii .............................................................. 27 2.2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian ........................ 27
5. 2.2.2 Phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ....... 28 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ......... 30 2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép ..................................... 32 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ................................................................................ 36 Chƣơng 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN TRONG GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP ....................................................................... 37 3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài ......................................................... 37 3.2. Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn trong gần đúng parabol kép .................................... 40 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ................................................................................ 45 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 47
6. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngƣng tụ Bose - Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay -2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở nên rõ rệt ở mức vĩ mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô. Hiện tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một năm. Einstein sau đó mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng minh đƣợc rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất. Năm 1995, trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein đƣợc tạo ra đầu tiên trên thế giới (BEC - Bose - Einstein condensation) từ những nguyên tử lạnh. Điều này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, đã mở ra nhiều triển vọng nghiên cứu trong Vật lý. Chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng Vật lý trong trạng thái BEC mà các dạng vật chất khác không có. Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kĩ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh ngƣời ta đã tạo ra đƣợc các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau. Những nghiên cứu này đã và đang thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà Vật lý trên thế giới. Từ đó phát triển đƣợc các phƣơng hƣớng nghiên cứu đầy triển vọng. Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng nghiên cứu trạng thái BEC, tôi lựa chọn đề tài “Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn” làm đề tài nghiên cứu của mình.
7. 2 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn trên cơ sở thống kê Bose - Einstein, phƣơng trình Gross-Pitaevskii tổng quát. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Các phƣơng trình Gross-Pitaevskii. - Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn. 5. Những đóng góp mới của đề tài Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn có những đóng góp quan trọng trong Vật lý thống kê và cơ học lƣợng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết nói chung. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng gần đúng parabol kép. - Tính số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica. - Đọc tài liệu liên quan. - Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lƣợng tử và các phƣơng pháp giải tích toán học.
8. 3 Chƣơng 1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính. Trong trƣờng hợp này toán tử Hamilton có thể viết dƣới dạng N 2 ˆpˆi ˆ ˆ H  V r12, r ,..., rN W, (1.1) i 1 2mi trong đó Vˆ là toán tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ của tất cả các hạt, Wˆ là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng  ˆ i H 1,2,..., N , t 0, (1.2) t với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin của các hạt 1, 2, 3, , . Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin, không phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có một hệ hạt đồng nhất. Trong một hệ nhƣ thế, làm thế nào có thể phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lƣợng của từng hạt. Nhƣng biện pháp này không thể áp dụng đƣợc trong cơ học lƣợng tử. Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt đƣợc bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng đƣờng hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa. Tính không phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lƣợng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất
9. 4 chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau. Dựa vào tính chất nội tại của các hạt ngƣời ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai nhóm cụ thể là: + Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermi, đó là các hạt có spin bán nguyên 13 ( , ,...); ví dụ nhƣ electron, các nucleon, Hệ này bị chi phối bởi nguyên 22 lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ đƣợc tìm thấy ở tại cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng trên các fermion. + Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ nhƣ photon, - meson, K – meson Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí. Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ một hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc. 1.2. Thống kê Bose – Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lƣợng tử [2], 1  Ek Wkk exp g , (1.3) N!  trong đó gk là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có Enk  l l , (1.4) l 0
10. 5 ở đây, l là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lƣợng . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ suy biến trong (1.3) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng 1  W n01 , n ,... exp    N  nl l g k , (1.5) N! l 0 trong đó Nn  l ,  là thế nhiệt động lớn,  là thế hóa. l 0 1 Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính N ! đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu đƣợc do hoán vị các hạt. Ta kí hiệu g k G n, n ,... . (1.6) N! 01 Khi đó (1.5) đƣợc viết lại nhƣ sau    nll  l 0 W n0 , n 1 ,... exp  G n 0 , n 1 ,... . (1.7)  gk  Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) nhƣ sau: Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nên ta có thể đoán nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0,nl hạt