Luận văn Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ

Nội dung tài liệu: Luận văn Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ

1. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH Nguy¹n Thanh Tú SỰ TÇN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2020
2. Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là luªn v«n do ch½nh tôi thực hi»n dưới sự hướng d¨n khoa học cõa TS. Nguy¹n Thành Nh¥n. C¡c nëi dung nghi¶n cùu và k¸t qu£ tham kh£o trong luªn v«n được tr½ch d¨n và li»t k¶ đầy đủ trong mục Tài li»u tham kh£o. Thành phè Hồ Ch½ Minh, ngày 25 th¡ng 05 n«m 2020 Học vi¶n Nguy¹n Thanh Tú
3. Lời c£m ơn Lời đầu ti¶n, tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c nh§t tới Th¦y TS. Nguy¹n Thành Nh¥n, người đã tªn t¼nh hướng d¨n và giúp đỡ để tôi có thº hoàn thành luªn v«n này. Tôi xin c£m ơn quý th¦y cô trong Hëi đồng ch§m luªn v«n đã đọc và góp ý giúp cho luªn v«n được hoàn ch¿nh hơn. Xin ch¥n thành c£m ơn quý th¦y cô Khoa To¡n - Tin học trường Đại học Sư ph¤m thành phè Hồ Ch½ Minh đã truy·n đạt cho tôi nhúng ki¸n thùc quý b¡u trong suèt nhúng n«m học vøa qua, t¤o cho tôi mët n·n t£ng vúng ch­c để thực hi»n luªn v«n. Cuèi cùng, tôi cũng gûi lời c£m ơn gia đình, b¤n b± và tªp thº lớp To¡n gi£i t½ch K28 đã h¸t láng õng hë và động vi¶n, giúp đỡ tôi trong qu¡ tr¼nh học tªp cũng như trong qu¡ tr¼nh thực hi»n luªn v«n này. Tuy nhi¶n, do thời gian có h¤n n¶n luªn v«n cán nhi·u h¤n ch¸ và không tr¡nh khỏi nhúng sai sót. V¼ vªy, tôi r§t mong nhªn được sự đóng góp ý ki¸n cõa quý th¦y cô và c¡c b¤n để luªn v«n được hoàn thi»n hơn. Xin ch¥n thành c¡m ơn. Thành phè Hồ Ch½ Minh, ngày 25 th¡ng 05 n«m 2020 Học vi¶n Nguy¹n Thanh Tú
4. Mët sè k½ hi»u R Tªp sè thực. C Tªp sè phùc. Re a Ph¦n thực cõa a. Im a Ph¦n £o cõa a. Ω Mi·n bị chặn. Γ, @Ω Bi¶n cõa mi·n Ω. E Cường độ điện trường. Ei Sóng tới cõa trường điện. Es Sóng t¡n x¤ cõa trường điện. H Cường độ tø trường. Hi Sóng tới cõa trường tø. Hs Sóng t¡n x¤ cõa trường tø. F+ Giới h¤n tø b¶n ngoài cho trường vectơ hoặc hàm F . F− Giới h¤n tø b¶n trong cho trườngvectơ hoặc hàm F . " H¬ng sè điện môi cõa môi trường. µ H¬ng sè tø môi cõa môi trường. β T½nh chiral cõa môi trường. ∇·, div To¡n tû divergence. Trong tọa độ Descartes, @a @a @a  r · a = x + y + z . @x @y @z ∇×, curl, rot To¡n tû vectơ mô t£ độ xo¡y cõa trường vectơ. Trong tọa độ Descartes, với i, j, k là vectơ đơn vị cõa c¡c trục x, y, z, @a @a  @a @a  @a @a  curl a = z − y i + x − z j + y − x k. @y @z b @z @x b @x @y b
5. ν (= ν(x)) Vectơ ph¡p tuy¸n đơn vị t¤i x 2 Γ hướng ra ngoài mi·n Ω. k Sè sóng (mang gi¡ trị thực). κ Sè sóng (mang gi¡ trị phùc). κ s³ có c¡c gi¡ trị k hoặc ik. Π Tªp hñp c¡c sè sóng phùc Π := fκ 2 C : κ 6= 0; Re κ ≥ 0; Im κ ≥ 0g. Φκ Nghi»m cơ b£n. u Trường sóng t¡n x¤. ∆u To¡n tû Laplace cõa u. r To¡n tû Gradient. L2(D) C¡c hàm có gi¡ trị vô hướng theo c¡ch thông thường, được trang 1 : RR 2
   2 bị chu©n kukL2(D) = D ju(x)j dx , với D ⊂ R3 là tªp con đo được b§t k¼ có độ đo dương. 1 C0 Không gian c¡c hàm trơn có gi¡ compact. "0 Độ điện th©m ch¥n không. µ0 Độ tø th©m ch¥n không. ρ Mªt độ điện t½ch. J Mªt độ dáng điện. c Vªn tèc ¡nh s¡ng. ! T¦n sè góc. F To¡n tû trường sóng xa. QL, QR C¡c trường Beltrami. QL := E + iH và QR := E − iH. E1 Phê điện trường cõa trường sóng xa. H1 Phê tø trường cõa trường sóng xa. S2 H¼nh c¦u đơn vị. m m pn , qn C¡c h» sè Fourier.
6. Mục lục Lời cam đoan Lời c£m ơn Mët sè k½ hi»u MÐ ĐẦU 1 1 Phương tr¼nh t½ch ph¥n Lippmann-Schwinger 3 1.1 Bài to¡n tø trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1.1 Giới thi»u bài to¡n tø trường . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1.2 Công thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2 Bài to¡n điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.1 Giới thi»u bài to¡n điện trường . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.2 Công thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3 Phương tr¼nh vi t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m 19 2.1 Chùng minh sự tồn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Chùng minh t½nh duy nh§t nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Biºu di¹n nghi»m qua chuéi c¡c hàm c¦u điều háa 32 3.1 Phương tr¼nh Maxwell trong h» vectơ c¦u đi·u háa . . . . . . . . . 33 3.1.1 Phê trường sóng xa và to¡n tû trường sóng xa . . . . . . . 33 3.1.2 Vectơ hàm c¦u điều háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7. 3.1.3 Phương tr¼nh Maxwell tr¶n mi·n achiral . . . . . . . . . . . 41 3.1.4 Bài to¡n truy·n sóng trong qu£ c¦u chiral . . . . . . . . . . 44 3.2 To¡n tû trường sóng xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1 Chuéi khai triºn cõa sóng ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 Trường hñp achiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.3 Trường hñp chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 K¸t luªn 56 Tài li»u tham kh£o 57
8. MÐ ĐẦU Phương tr¼nh Maxwell là mët trong nhúng phương tr¼nh có nhi·u ùng dụng trong Vªt lý, đặc bi»t là trong lý thuy¸t t¡n x¤ điện tø. Phương tr¼nh này nhªn được kh¡ nhi·u sự quan t¥m cõa c¡c nhà To¡n học. Cho đến nay, nhi·u bài to¡n xung quanh phương tr¼nh này v¨n là c¡c v§n đề mở. C¡c nghi¶n cùu v· phương tr¼nh này li¶n quan đến sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m, c¡c t½nh ch§t nghi»m, c¡c phương ph¡p gi£i t½ch và phương ph¡p sè để gi£i phương tr¼nh. Mët trong nhúng k¸t qu£ húu ½ch g¦n đây là chùng minh sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m cõa phương tr¼nh Maxwell b¬ng c¡ch đưa v· phương tr¼nh t½ch ph¥n Lippmann-Schwinger. Tø đó, thay cho vi»c nghi¶n cùu phương tr¼nh Maxwell, c¡c nhà to¡n học tªp trung vào phương tr¼nh t½ch ph¥n Lippmann-Schwinger. Nghi¶n cùu v· phương tr¼nh t½ch ph¥n này có mët sè thuªn lñi nh§t định. Luªn v«n tªp trung t¼m hiºu vi»c chùng minh sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m cõa phương tr¼nh Maxwell têng qu¡t b¬ng c¡ch kh£o s¡t phương tr¼nh t½ch ph¥n Lippmann-Schwinger, dựa tr¶n c¡c tài li»u tham kh£o ch½nh [6], [8], [10], [11], [15], [16]. B¶n c¤nh đó, t¡c gi£ tr¼nh bày l¤i biºu di¹n nghi»m cõa phương tr¼nh Maxwell thông qua chuéi c¡c hàm c¦u đi·u háa trong c£ trường hñp achiral và chiral. C¡c biºu di¹n này s³ mang l¤i gi¡ trị cho người nghi¶n cùu v· phương ph¡p sè gi£i phương tr¼nh Maxwell. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n được tr¼nh bày thành 3 chương: • Trong Chương 1, đầu ti¶n t¡c gi£ giới thi»u mët sè ký hi»u và ki¸n thùc cơ b£n v· phương tr¼nh Maxwell trong lý thuy¸t t¡n x¤ điện tø, đồng thời mô t£ hai bài to¡n tương ùng với qu¡ tr¼nh truy·n sóng điện trường và sóng tø trường. C¡c lớp công thùc bi¸n ph¥n tương ùng với hai bài to¡n 1
9. 2 này cũng được đưa ra ngay sau đó. Ti¸p theo, t¡c gi£ tr¼nh bày k¸t qu£ v· sự tương đương cõa c¡c d¤ng bi¸n ph¥n với phương tr¼nh t½ch ph¥n Lippmann-Schwinger. • Ð Chương 2, t¡c gi£ tr¼nh bày c¡c k¸t qu£ v· sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m cõa phương tr¼nh t½ch ph¥n Lippmann-Schwinger, tø đó thu được sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m cõa bài to¡n ban đầu. • Chương 3 cõa luªn v«n tªp trung x¥y dựng công thùc biºu di¹n cõa c¡c đại lượng sóng tới, sóng t¡n x¤ thông qua chuéi c¡c hàm vectơ c¦u điều háa. Công thùc khai triºn cụ thº trong trường hñp sóng tới là sóng ph¯ng trong c£ trường hñp achiral và chiral được đưa ra trong ph¦n cuèi cùng cõa luªn v«n.
10. Chương 1 Phương tr¼nh t½ch ph¥n Lippmann-Schwinger 1.1 Bài to¡n tø trường 1.1.1 Giới thi»u bài to¡n tø trường Trong luªn v«n này, chúng tôi kh£o s¡t h» phương tr¼nh Maxwell có d¤ng như sau: curl H = −ik"(E + βcurl E); (1.1) curl E = ikµ(H + βcurl H); (1.2) s s E ;H Ei;Hi Ω " = µ = 1; β = 0 "(x); µ(x); β(x) X¥y dựng bài to¡n thuªn. trong mi·n Rn n Γ, trong đó Γ 2 C2 là bi¶n cõa mi·n bị chặn Ω ⊂ R3, k > 0 là sè sóng, c¡c hàm ", µ, β 2 C1(R3 n Γ) l¦n lượt đặc trưng cho h¬ng sè điện môi, h¬ng sè tø môi và t½nh chiral cõa môi trường. Lưu ý r¬ng c¡c đại lượng này là c¡c hàm phùc không phụ thuëc thời gian và s³ có gi¡ trị là h¬ng sè khi c¡c vªt li»u là đồng nh§t. Môi trường được gọi là achiral trong trường hñp β = 0, 3