Luận văn Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử

Nội dung tài liệu: Luận văn Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== ĐẶNG THỊ HUỆ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ TÌM NĂNG LƢỢNG VÀ HÀM SÓNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2017
2. LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán với đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến phân để tìm năng lƣợng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lƣợng tử” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và người thân. Vì vậy qua trang viết này em xin gửi gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua. Em xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với T.S Trần Thái Hoa đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian em học tập ở trường. Em xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà nội 2 và đặc biệt thầy trưởng khoa Vật lí T.S Nguyễn Văn Thụ tạo điều kiện thuận lợi tối đa cho em hoàn thành tốt công việc nghiên cứu khoa học của mình. Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp trường THPT Triệu Thái, cùng các bạn học viên lớp cao học K19 Vật lí lí thuyết và Vật lí toán đã luôn động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn. Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017 TÁC GIẢ Đặng Thị Huệ
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến phân để tìm năng lƣợng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lƣợng tử” là công trình của cá nhân tôi, không sao chép của bất cứ ai. Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đều có nguồn gốc rõ ràng. Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về nghiên cứu của mình ! Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017 Ngƣời cam đoan Đặng Thị Huệ
4. MỤC LỤC PHẦN I. MỞ ĐẦU .......................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ............................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 6. Cấu trúc của luận văn ..................................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG ..................................................................................... 3 CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN ........................................................................................................................... 4 1.1. Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt .................... 4 1.1.1. Mở đầu ............................................................................................. 4 1.1.2. Các tính chất của biến phân ............................................................. 5 1.1.3. Phương trình Euler ........................................................................... 6 x1 1.1.4. Những phiếm hàm dạng F( x , y , y ,..., y , y ' , y ' ,..., y ' ) dx ...... 11 1 2nn 1 2 x0 1.1.5. Những phiếm hàm phụ thuộc vào các đạo hàm cấp cao hơn ........ 13 1.1.6. Những phiếm hàm phụ thuộc vào hàm của nhiều biến độc lập .... 15 1.2. Các bài toán biến phân với biên động ....................................................... 18 1.2.1. Bài toán đơn giản nhất với biên động ............................................ 18 1.2.2. Bài toán với biên động đối với phiếm hàm dạng .......................... 21 1.3. Các điều kiện đủ của cực trị ...................................................................... 25 1.3.1. Trường các đường cong cực trị ..................................................... 25 1.3.2. Hàm E (x, y, p, y’) ......................................................................... 26 1.3.3. Biến đổi phương trình Euler về dạng chính tắc ............................. 29 1.4. Các bài toán biến phân về cực trị vướng ................................................... 31
5. 1.4.1. Ràng buộc dạng (x , y12 , y ,..., yn ) 0 ........................................... 31 1.4.2. Ràng buộc dạng (x , y11 ,..., ynn , y ' ,..., y ' ) 0................................ 35 CHƢƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ..... 39 2.1. Lý thuyết nhiễu loạn .................................................................................. 39 2.1.1. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến ........................................ 39 2.1.2. Nhiễu loạn khi có suy biến ............................................................ 43 2.2. Phương pháp các phép biến đổi chính tắc ................................................. 45 2.3. Phương pháp Ritz ...................................................................................... 49 CHƢƠNG 3: SỬ DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƢỢNG TỬ ............................................................. 53 Bài 1. ................................................................................................................ 53 Bài 2. ................................................................................................................ 55 Bài 3. ................................................................................................................ 59 PHẦN III. KẾT LUẬN ................................................................................. 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 70
6. 1 PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý đã, đang và ngày càng phát triển để trở thành môn khoa học quan trọng trong thế giới hiện đại. Để nghiên cứu, khảo sát các quá trình vật lý, xử lý các bài toán vật lý đòi hỏi phải tính toán các phép toán rất phức tạp, tốn nhiều thời gian và công sức. Trong cơ học lượng tử việc giải phương trình Schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng về nguyên tắc thì ta hoàn toàn tìm được. Tuy nhiên, trong thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rất nhiều khó khăn và giải nó rất phức tạp. Ta đã biết trạng thái của hệ lượng tử có thể được mô tả bởi nghiệm của phương trình HE . (1.1) Ở đây, H là toán tử Hamilton (không phụ thuộc thời gian) và E là năng lượng của hệ. Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất (trường Coulomb, trường đàn hồi, trường điện từ đều ) tương ứng với các hệ lí tưởng hóa phương trình (1.1) có thể cho. Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về dạng toán học và không thể giải được nghiệm chính xác. Do đó, khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm chính xác. Bởi vậy phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán. Do đó, người ta đi tìm nghiệm của phương trình Schrodinger bằng các phương pháp gần đúng, các hàm riêng và trị riêng, lí thuyết nhiễu loạn
7. 2 Trong đó việc sử dụng phương pháp biến phân giúp ích rất nhiều trong việc giải một số bài toán cơ học lượng tử. Phép tính biến phân bắt đầu phát triển từ năm 1696 và trở thành một ngành toán học độc lập, có những phương pháp nghiên cứu riêng, sau sự ra đời của các tác phẩm nghiên cứu cơ bản của Euler. Đã có rất nhiều công trình, đề tài khoa học nghiên cứu về vấn đề này và đã thu được những kết quả rất tốt. Trong luận văn này, tôi nghiên cứu ứng dụng phép tính biến phân vào việc tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán lượng tử. Và đây chính là lí do tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khai thác và sử dụng phép tính biến phân vào việc tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số cơ sở lý thuyết về phép tính biến phân. Nghiên cứu về ứng dụng phép tính biến phân trong Vật lý và trong cơ học lượng tử. 4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Môn cơ học lượng tử và các ứng dụng của phép tính biến phân trong việc giải một số bài toán lượng tử. Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán cơ học lượng tử về việc tìm năng lượng và hàm sóng của hạt. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Các ứng dụng toán để giải các bài toán cơ học lượng tử.
8. 3 6. Cấu trúc của luận văn Đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” có kết cấu gồm 3 phần: phần thứ nhất là phần mở đầu, phần thứ hai là phần nội dung và phần thứ ba là phần kết luận. Trong đó thì phần nội dung được chia làm 3 chương, nội dung của từng chương như sau: Chương 1. Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân. Chương 2. Giới thiệu về các phương pháp gần đúng Chương 3. Sử dụng các phương pháp gần đúng để giải một số bài toán lượng tử PHẦN II. NỘI DUNG Chƣơng 1. Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân 1.1. Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt 1.2. Các bài toán biến phân với biên động và một vài bài toán khác 1.3. Các điều kiện đủ của cực trị 1.4. Các bài toán biến phân về cực trị vướng Chƣơng 2. Giới thiệu về các phƣơng pháp gần đúng 2.1. Lý thuyết nhiễu loạn 2.2. Phương pháp các phép biến đổi chính tắc 2.3. Phương pháp Ritz Chƣơng 3. Sử dụng các phƣơng pháp gần đúng để giải một số bài toán lƣợng tử
9. 4 CHƢƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN 1.1. Phƣơng pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt 1.1.1. Mở đầu Bên cạnh các bài toán cần thiết phải xác định các cực trị, cực đại và cực tiểu của hàm số z = f(x) nào đó, trong nhiều bài toán vật lý thường phải tìm giá trị cực đại và cực tiểu của một loại đại lượng đặc biệt gọi là các phiếm hàm. Người ta gọi là phiếm hàm những đại lượng biến thiên mà các giá trị của nó được xác định phụ thuộc vào một hay một vài hàm số. Chẳng hạn, độ dài l của một cung của đường cong nối hai điểm cho trước, diện tích S của một mặt nào đó là một phiếm hàm. Momen quán tính, momen tĩnh học, các tọa độ của trọng tâm của một mặt hay của đường cong thuần nhất nào đó là các phiếm hàm. Trong tất cả các ví dụ trên, chúng ta thấy đặc trưng của phiếm hàm là quan hệ tương ứng giữa hàm số với số, trong khi đó hàm số z = f(x) cho quan hệ tương ứng giữa số với số. Phép tính biến phân nghiên cứu các phương pháp tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của các phiếm hàm. Những bài toán đòi hỏi nghiên cứu các phiếm hàm về mặt cực đại hay cực tiểu được gọi là các bài toán biến phân. Nhiều quy luật cơ học và Vật lý học dẫn tới điều khẳng định là: Một phiếm hàm nào đó trong quá trình khảo sát cần phải đạt cực đại hay cực tiểu. Những quy luật đó thường được gọi là những nguyên lý biến phân của cơ học hay vật lý học. Nguyên lý tác dụng tối thiểu, định luật bảo toàn năng lượng, định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn khối lượng, nguyên lý Fecma về quang học là những nguyên lý biến phân hoặc những hệ quả đơn giản nhất của chúng.
10. 5 Ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của phép tính biến phân là các bài toán sau đây: Bài toán về đường đoản thời, bài toán về đường trắc địa, bài toán cùng chu vi. 1.1.2. Các tính chất của biến phân a, Ta có định nghĩa về phiếm hàm phụ thuộc vào nhiều hàm số và phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến độc lập. Ta gọi số gia hay biến phân  y của đối thức y(x) của phiếm hàm v[ y ( x )] là hiệu giữa hai hàm:  y = y (x) – y1 (x). Trong đó giả thiết rằng hàm y(x) thay đổi tùy ý trong một lớp hàm nào đó. b, Phiếm hàm v[ y ( x )] liên tục tại y = y0 (x) theo nghĩa lân cận cấp k nếu với mọi số dương  bất kì luôn tìm được số  0 sao cho: v[ y ( x )] v [ y0 ( x )  . Khi: y()(), x y0 x  ,, y()(), x y0 x  ()()kk y()(). x y0 x  Ở đây ta hiểu ngầm rằng hàm y(x) lấy trong lớp hàm mà phiếm hàm v[ y ( x )] xác định. c, Phiếm hàm L [y(x)] được gọi là phiếm hàm tuyến tính nếu nó thỏa mãn điều kiện: L c. y x c . L y x (c là hằng số tùy ý) và điều kiện: Lyx 1 yx 2 Lyx 1 Lyx 2 . d, Nếu số gia của phiếm hàm: v v[ y ( x )  y ] v [ y ( x )] , có thể biểu diễn dưới dạng v L[ y ( x ), y ]  ( y ( x ),  y )max  y .