Luận văn Số mũ Lyappunov và sự không ổn định

Nội dung tài liệu: Luận văn Số mũ Lyappunov và sự không ổn định

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THÍI SÈ MŨ LYAPUNOV VÀ SỰ KHÆNG ÊN ĐỊNH Chuy¶n ngành: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: TS. LÊ HUY TIỄN HÀ NËI−2016
2. LÍI CẢM ƠN Trước khi tr¼nh bày nëi dung ch½nh cõa khóa luªn, em xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c tới TS. L¶ Huy Ti¹n, người đã tªn t¼nh hướng d¨n để em có thº hoàn thành luªn v«n này. Em cũng xin bày tỏ láng bi¸t ơn ch¥n thành tới toàn thº c¡c th¦y cô gi¡o trong khoa To¡n - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhi¶n, Đại Học Quèc Gia Hà Nëi đã d¤y b£o em tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp t¤i khoa. Nh¥n dịp này em cũng xin gûi lời c£m ơn ch¥n thành tới c¡c thành vi¶n trong nhóm seminar h» động lực trường KHTN đã có nhúng góp ý quý b¡u để em hoàn hi»n luªn v«n tèt nghi»p này. Nói ri¶ng, em xin gûi lời c£m ơn ch¥n thành tới b¤n L¶ Đức Nhi¶n, người đã giúp đỡ r§t nhi·u và hướng d¨n em trong vi»c sû dụng Latex và Maple. Hà Nëi, ngày 16 th¡ng 11 n«m 2016 Học vi¶n Nguy¹n Thị Thời 2
3. Mục lục Lời nói đầu ..............................2 1 Mët sè kh¡i ni»m cõa h» động lực rời r¤c3 1.1 Sè mũ Lyapunov và sè mũ Lyapunov m¤nh..........4 1.2 Tªp b§t bi¸n hén độn và sự nh¤y c£m cõa quỹ đạo......8 1.3 Sự ên định Lyapunov cõa quỹ đạo............... 13 1.4 Bê đề Gronwall rời r¤c...................... 15 2 Sè mũ Lyapunov và sự nh¤y c£m 18 2.1 Sự nh¤y c£m cõa quỹ đạo với sè mũ Lyapunov dương.... 19 2.2 Sự nh¤y c£m cõa lớp c¡c h» hén độn.............. 23 2.3 Sự không nh¤y c£m cõa quỹ đạo với sè mũ Lyapunov ¥m.. 34 2.4 Sự nh¤y c£m đối với h» không ô tô nôm............ 38 K¸t luªn ................................ 42 Tài li»u tham kh£o 43 1
4. LÍI NÂI ĐẦU N«m 1975, Li và Yorke là hai nhà to¡n học đầu ti¶n sû dụng kh¡i ni»m sự hén độn trong l½ thuy¸t h» động lực để chùng minh mët sè t½nh ch§t cõa điểm tu¦n hoàn đối với ¡nh x¤ tr¶n đường th¯ng thực. Sau đó, đã có nhi·u né lực để làm rã kh¡i ni»m cõa sự hén độn cho h» động lực rời r¤c. Ti¶u biºu, n«m 1989, Devaney đưa ra định nghĩa tường minh cho tªp b§t bi¸n hén độn và c¡c k¸t qu£ sau này cõa Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992). Sự phụ thuëc nh¤y c£m vào điều ki»n ban đầu hay sự không ên định là mët ph¦n quan trọng trong l½ thuy¸t tr¶n, do vªy, vi»c t¼m hiºu c¡c t½nh ch§t cho t½nh không ên định cõa quỹ đạo là quan trọng và c¦n thi¸t. N«m 2010, Palmer và cëng sự đưa ra mët sè c¡c k¸t qu£ v· đặc trưng cõa sự phụ thuëc nh¤y c£m theo sè mũ Lyapunov nh¬m đưa th¶m mët vài điều ki»n đủ cho vi»c kiºm tra tªp b§t bi¸n hén độn. Trong luªn v«n này, em tªp trung tr¼nh bày l¤i c¡c k¸t qu£ g¦n đây nh§t v· sè mũ Lyapunov và sự nh¤y c£m. Bè cục luªn v«n gồm ph¦n mở đầu, hai chương, ph¦n k¸t luªn và danh mục tài li»u tham kh£o. Chương 1 dành để tr¼nh bày mët vài kh¡i ni»m trong h» động lực rời r¤c. Chương 2 đ· cªp tới k¸t qu£ ch½nh cõa Palmer v· sè mũ Lyapunov và sự nh¤y c£m. Luªn v«n là chi ti¸t hóa chùng minh cõa Palmer trong bài b¡o [3] được vi¸t n«m 2010. Hà Nëi, ngày 05 th¡ng 09 n«m 2016 Nguy¹n Thị Thời 2
5. Chương 1 Mët sè kh¡i ni»m cõa h» động lực rời r¤c Mục đích ch½nh cõa chương này nh¬m giới thi»u mët vài kh¡i ni»m cơ b£n trong h» động lực rời r¤c thông qua ph²p lặp c¡c hàm mët bi¸n. Cụ thº, ta t¼m hiºu v· quỹ đạo cõa điểm tr¶n I ⊂ R khi nó được lặp đi, lặp l¤i bởi cùng mët hàm sè: x1 = f(x0) và xn = f(xn−1) với n ≥ 1, ta gọi x0 là điều ki»n 1 ban đầu và d¢y fxngn=0 là quỹ đ¤o cõa điểm x0 dưới t¡c động hàm f. Trong trường hñp mët chi·u, ngoài vi»c dùng đồ thị cõa hàm sè, ta có thº dùng r§t nhi·u công cụ gi£i t½ch kh¡c cõa gi£i t½ch như định l½ Lagrange, định l½ modul li¶n tục, ::: để ph¥n t½ch d¡ng điệu động lực cõa quỹ đạo t¤i mët điểm. C¡c định nghĩa ch½nh dưới đây cõa chương được tham kh£o chõ y¸u trong s¡ch cõa C. Robinson [1]. 3
6. 1.1 Sè mũ Lyapunov và sè mũ Lyapunov m¤nh Trước ti¶n, ta đưa ra định nghĩa sè mỹ Lyapunov, là sè biºu di¹n tèc độ t«ng trưởng mũ cõa đạo hàm cõa hàm sè f : I ⊂ R ! R theo sự bi¸n n 0 n n 0 thi¶n cõa sè ph²p lặp n. Tùc là, n¸u j(f ) (x0)j ∼ L th¼ log(j(f ) (x0)j) ∼ n n 0 log(L ) = n log(L) hay (1=n)(log(j(f ) (x0)j)) ∼ log(L)(n ! 1). Trong luªn v«n này, ta x²t trường hñp tèt nh§t là giới h¤n này tồn t¤i khi n ti¸n ra vô cùng. Cụ thº, ta có định nghĩa dưới đây. 1 Định nghĩa 1.1.1. Cho f : R ! R là hàm thuëc lớp C . Với méi điểm x0, 1 ta định nghĩa sè mũ Lyapunov cõa quỹ đạo fxngn=0 (k½ hi»u λ(x0)) là n 1 X 0 λ(x0) = lim ln jf (xk)j n!1 n + 1 k=0 n¸u giới h¤n tồn t¤i. Nhªn x²t 1.1.1. Ta th§y r¬ng, v¸ ph£i cõa đẳng thùc tr¶n là gi¡ trị trung b¼nh dọc theo quỹ đạo cõa logarithm c¡c đạo hàm. Định nghĩa cõa sè mũ này tương tự trong luªn ¡n cõa Lyapunov n«m 1892. N«m 1968, công tr¼nh cõa Oseledec [7] ch¿ ra r¬ng giới h¤n tr¶n tồn t¤i với h¦u h¸t c¡c điểm. V½ dụ 1.1.1. X²t ¡nh x¤ g : [0; 1] ! R x¡c định bởi 8 < 2x với 0 ≤ x ≤ 0; 5 g(x) = : 2(1 − x) với 0; 5 ≤ x ≤ 1: n N¸u x0 là điểm sao cho xn = g (x0) = 0; 5 với n nào đó, th¼ λ(x0) không x¡c định bởi v¼ đạo hàm cõa g t¤i điểm 0; 5 là không tồn t¤i. Nhúng điểm x0 như th¸ là tªp không qu¡ đếm được. Cán l¤i là nhúng điểm x0 2 [0; 1] mà 0 g (xn) = 2 với mọi n th¼ sè mũ Lyapunov cõa chúng đều b¬ng ln 2. Đối với nhúng hàm f phùc t¤p, vi»c đưa ra công thùc xn là khó kh«n n¶n ý tưởng ước lượng mũ Lyapunov đối với quỹ đạo sinh bởi hàm f thông qua 4
7. mët hàm g đơn gi£n hơn là c¦n thi¸t. Kh¡i ni»m li¶n hñp tô pô trong h» động lực là mët trong nhúng công cụ húu ½ch để làm điều đó. Ta nói hai hàm f và g là li¶n hñp tô pô n¸u tồn t¤i mët đồng phôi h thỏa m¢n g(x) = h◦f ◦h−1(x). V½ dụ dưới đây là minh họa cho vi»c ước lượng sè mũ Lyapunov thông qua hàm li¶n hñp tô pô. V½ dụ 1.1.2. Cho hàm f(x) = 4x(1 − x). Ta s³ nghi¶n cùu sè mũ Lyapunov cõa c¡c quỹ đạo sinh bởi f trong mët sè trường hñp cụ thº sau. n Trường hñp 1. X²t x0 là điºm sao cho xn = f (x0) = 0; 5 với n nào đó, th¼ 0 0 ln(jf (xn)j) = ln(jf (0; 5)j) = ln 0 = −∞ Do đó, λ(x0) = −∞ với nhúng điểm x0 thỏa m¢n t½nh ch§t tr¶n. Trường hñp 2. X²t x0 = 0 hoặc 1 th¼ 0 λ(x0) = ln(jf (0)j) = ln 4: n Trường hñp 3. X²t x0 2 (0; 1) mà f (x0) kh¡c 0; 1 và 0; 5. Theo V½ dụ 6.2 trong [1] trang 44, ta có hàm f li¶n hñp tô pô với hàm g trong V½ dụ 1.1.1, trong đó, hàm h(y) = sin2(πy=2). Do hàm h kh£ vi li¶n tục tr¶n [0; 1] n¶n tồn t¤i sè K > 0 sao cho h0(y) 0 tr¶n 0 kho£ng mở (0; 1) n¶n với δ > 0 đủ nhỏ, tồn t¤i Kδ > 0 sao cho Kδ < jh (y)j. Ta h¤n ch¸ c¡c quỹ đạo ch¿ n¬m trong mi·n [δ; 1 − δ], khi đó n 1 X 0 λ(x0) = lim ln jf (xk)j n!1 n + 1 k=0 1 n 0 = lim ln j(f ) (x0)j n!1 n + 1 1 n − 0 = lim ln j(h ◦ g ◦ h 1) (x0)j n!1 n + 1 1 0 n 0 −1 0 = lim (ln(jh (yn)j) + ln(j(g ) (y0)j) + ln(j(h ) (x0)j)) n!1 n + 1 1 −1 0 ≤ lim (ln(K) + n ln 2 + ln(j(h ) (x0)j)) n!1 n + 1 = ln 2: 5
8. Nhªn x²t 1.1.2. Sè mũ Lyapunov là đặc trưng cho d¡ng điệu ti»m cªn đối 1 1 Pn 0 với quỹ đạo fxngn=0 do n¸u lim ln jf (xk)j tồn t¤i th¼ với m > 0 n!1 n+1 k=0 1 Pn 0 cè định, giới h¤n lim ln jf (xk+m)j cũng tồn t¤i và chúng b¬ng n!1 n+1 k=0 nhau. Trong Nhªn x²t 1.1.2, n¸u ta thay điều ki»n m cè định thành điều ki»n 1 Pn 0 lim ln jf (xk+m)j tồn t¤i đều theo m th¼ sè mũ thu được được n!1 n+1 k=0 gọi là sè mũ m¤nh. Kh¡i ni»m này được đưa ra bởi Palmer n«m 2010 nh¬m nghi¶n cùu t½nh ên định cõa quỹ đạo được nói đến trong Chương 2. Kh¡i ni»m sè mũ Lyapunov m¤nh tương tự kh¡i ni»m sè mũ Bohl cõa phương tr¼nh vi ph¥n. Cụ thº, ta có định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.1.2. Sè mũ Lyapunov m¤nh, k½ hi»u Λ(x0) cõa quỹ đạo 1 fxngn=0 cõa ¡nh x¤ f : I ⊂ R ! R được x¡c định bởi i+n−1 1 X 0 Λ(x0) = lim ln jf (xk)j; n!1 n k=i n¸u giới h¤n này tồn t¤i đều tương ùng với i ≥ 0. Do điều ki»n hëi tụ đ·u theo ch¿ sè i ≥ 0 n¶n n¸u sé mũ Lyapunov m¤nh tồn t¤i th¼ sè mũ Lyapunov tồn t¤i và hai gi¡ trị đó là b¬ng nhau. Nhưng trường hñp ngược l¤i không đúng. Dưới đây là mët sè v½ dụ cho sè mũ Lyapunov m¤nh. p V½ dụ 1.1.3. X²t hàm f : [0; 1] ! R, x¡c định bởi f(x) = x. Chọn điều 1 ki»n ban đầu x0 = 8 . Khi đó, ta có quỹ đạo 1 x = f n(x ) = : n 0 81=2n Theo định nghĩa, ta thu được sè mũ Lyapunov m¤nh cõa quỹ đạo tr¶n như 6
9. sau   n 1 1 X 0 Λ = lim ln jf (xk)j 8 n!1 n + 1 k=0 n 1 X 1 = lim ln n!1 n + 1 4 k=0 n + 1 = − ln 4 lim n!1 n + 1 = − ln 4: Trong Chương 2, ta s³ đề cªp đến vi»c x²t d§u cõa sè mũ Lyapunov (m¤nh), đó là mët trong nhúng đặc trưng quan trọng để x¡c định sự nh¤y c£m cõa quỹ đạo. Dưới đây là điều ki»n c¦n cho t½nh dương cõa sè mũ Lyapunov m¤nh, mà ta s³ c¦n dùng tới trong chương sau. M»nh đề 1.1.1. Cho f : I ⊂ R ! R là ¡nh x¤ kh£ vi li¶n tục và Λ(x0) > 0 1 là sè mũ Lyapunov m¤nh cõa quỹ đạo fxngn=0. Khi đó 0 inf jf (xn)j > 0: n≥0 Chùng minh. Ta có i+n 1 X 0 Λ(x0) = lim lnjf (xk)j n!1 n + 1 k=i tồn t¤i. Theo định nghĩa giới h¤n, tồn t¤i N > 0 sao cho với mọi n ≥ N th¼ Λ(x ) 1 3Λ(x ) 0 < lnjf 0(x ):f 0(x ):::f 0(x )j < 0 : 2 n + 1 i i+1 i+n 2 L§y n = N ta có (N+1) Λ(x0) 0 0 3(N+1) Λ(x0) e 2 < jf (xi):::f (xi+N )j < e 2 : V¼ f 0 li¶n tục tr¶n [0; 1] n¶n tồn t¤i 0 sup f (x0) = M [0;1] 7
10. Với mọi n ≥ 0 (N + 1)Λ(x ) jf 0(x )j ≥ M −N exp 0 n 2 0 inf jf (xn)j > 0: n≥0 1.2 Tªp b§t bi¸n hén độn và sự nh¤y c£m cõa quỹ đạo Để định nghĩa tªp b§t bi¸n hén độn, ta c¦n có gi£ thi¸t ch¿ ra r¬ng, d¡ng điệu động lực cõa quỹ đạo tr¶n tªp b§t bi¸n là hén độn hay nhúng quỹ đạo g¦n nhau t¤i thời điểm ban đầu s³ không cán g¦n nhau dưới ph²p lặp đủ lớn. Định nghĩa dưới đây là sự phục thuëc nh¤y c£m vào điều ki»n ban đầu là mët trong c¡c kh¡i ni»m như th¸. 1 Định nghĩa 1.2.1. Cho ¡nh x¤ f : I ⊂ R ! R. Quỹ đạo fxngn=0 sinh bởi f được gọi là phụ thuëc nh¤y c£m vào điều ki»n ban đầu n¸u tồn t¤i sè "0 > 0 sao cho với b§t k¼ sè δ > 0 th¼ luôn có y0 2 I thỏa m¢n (i) jy0 − x0j < δ N N (ii) jf (y0) − f (x0)j ≥ "0 với sè tự nhi¶n N nào đó. N¸u c¡c quỹ đạo với điều ki»n ban đầu n¬m trong tªp A ⊂ I đều phụ thuëc nh¤y c£m vào điều ki»n ban đầu th¼ ta nói f nh¤y c£m tr¶n A. V½ dụ 1.2.1. X²t ¡nh x¤ f : R ! R x¡c định bởi f(x) = x2. X²t điều ki»n n 1 ban đầu x0 = 1, khi đó ta có quỹ đạo xn = f (x0) = 1 với mọi n. L§y "0 = 2 . δ Với mọi sè δ > 0 đủ nhỏ, chọn y0 = 1 − 2 . Khi đó, quỹ đạo qua điểm y0 là  δ 2n y = f n(y ) = 1 − : n 0 2 8