Luận văn Số bernoulli và tổng lũy thừa

Nội dung tài liệu: Luận văn Số bernoulli và tổng lũy thừa

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------- Phạm Thị Hiền SỐ BERNOULLI VÀ TỔNG LŨY THỪA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------- Phạm Thị Hiền SỐ BERNOULLI VÀ TỔNG LŨY THỪA Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2019
3. Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn “Số Bernoulli và tổng lũy thừa” do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình. Tác giả luận văn Phạm Thị Hiền
4. Lời cám ơn Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin gởi tới PGS. TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tận tình trong giảng dạy, trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ về kiến thức, tài liệu cũng như các phương pháp để tôi hoàn thành đề tài luận văn “Số Bernoulli và tổng lũy thừa”. Tiếp đến tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán - Tin của trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. Quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận văn này. Tôi cũng không quên bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và làm việc trong suốt quá trình học Cao học. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, cổ vũ, khích lệ và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt quá trình thực hiện đề tài, song có thể còn có những mặt hạn chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp và sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo và các bạn học viên. Phạm Thị Hiền
5. Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu ............................................................................................................................ 1 Chương 1: Số Bernoulli và đa thức Bernoulli ............................................................. 3 1.1. Số Bernoulli.......................................................................................................... 3 1.2. Đa thức Bernoulli ................................................................................................. 6 1.3. Một số ứng dụng .................................................................................................. 7 Chương 2: Tổng luỹ thừa ............................................................................................ 12 2.1. Tổng lũy thừa và mẫu số của tổng lũy thừa ....................................................... 12 2.1.1. Tổng lũy thừa .............................................................................................. 12 2.1.2. Mẫu số của tổng lũy thừa ............................................................................ 13 2.1.3. Một số mệnh đề liên quan ........................................................................... 14 2.1.4. Giá trị p-adic và các tính chất liên quan ..................................................... 23 2.2. Một số kết quả về mẫu số của tổng lũy thừa ...................................................... 25 Kết luận ........................................................................................................................ 39 Tài liệu tham khảo ....................................................................................................... 40
6. 1 Mở đầu Khi đi tìm một công thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc của 푛 − 1 số nguyên dương đâu tiên, nhà Toán học Thụy Sĩ Jacorp Bernoulli (1654 1704) đã phát minh và nghiên cứu ra các số Bernoulli. Ông đã để lại cuốn sách Ars Conjectandi (1713), trong đó bằng việc sử dụng số Bernoulli và đa thức Bernoulli, đã giải quyết trọn vẹn bài toán trên. Đặc biệt, ông đã khẳng định rằng không mất đến 10 phút để tính tổng trên với lũy thừa bậc 10 của 1000 số nguyên dương đầu tiên. Ngày nay, số Bernoulli, đa thức Bernoulli và tổng lũy thừa nói trên đóng vai trò quan trọng trong nhiều ngành khác nhau của Toán học, đặc biệt là trong lý thuyết số hiện đại và giải tích - adic. Chúng cũng được tiếp tục nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán học và đã đưa ra nhiều kết quả thú vị. Chẳng hạn như giá trị hàm số zeta 휁(푠) tại 푠 = 2 có thể được tính qua các số Bernoulli như sau 2 −1 휁(2 ) = (−1) ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 , (2 − 1)! 2 trong đó = 1,2, và 2 là số Bernoulli thứ 2 . Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “Số Bernoulli và tổng lũy thừa” là đề tài luận văn thạc sĩ Toán học của mình để trình bày một số nghiên cứu mới nhất gần đây về số Bernoulli, đa thức Bernoulli và tổng lũy thừa. Luận văn sẽ gồm có 2 chương như sau: Chương 1. Số Bernoulli và đa thức Bernoulli
7. 2 Chương này sẽ trình bày một số kết quả về số Bernoulli, đa thức Bernoulli cũng như một số ứng dụng của chúng. Đặc biệt trong chương này đã làm rõ chứng minh của Định lý C.von Staudt and T.Claussen. Chương 2. Tổng lũy thừa Chương này sẽ trình bày về tổng lũy thừa, mẫu số của tổng lũy thừa và công thức tính tổng lũy thừa qua đa thức Bernoulli. Tiếp theo, chương này sẽ trình bày một số kết quả mới nhất gần đây về tổng lũy thừa, đặc biệt về mẫu số của tổng lũy thừa.
8. 3 Chương 1 Số Bernoulli và đa thức Bernoulli Chương này trình bày một số kết quả về số Bernoulli, đa thức Bernoulli và các ứng dụng của chúng. Đặc biệt là đã làm rõ chứng minh của Định lý về đồng dư thức của C.von Staudt and T.Claussen. Các kết quả của chương này được trình bày theo tài liệu tham khảo [1], [2], [3] và [4]. 1.1. Số Bernoulli Trong mục này trình bày định nghĩa và một số tính chất của số Bernoulli. Định nghĩa 1.1.1. Số Bernoulli thứ 푛 (푛 ∈ ℕ), kí hiệu 푛, là một số hữu tỷ được định nghĩa bằng quy nạp như sau 0 = 1, 푛 { 푛 + 1 ∑ ( ) = 0 (푛 ≥ 1). =0 Dựa vào Định nghĩa 1.1.1 ta có 0 = 1, 2 1 + ( ) = 0, 1 1 3 3 1 + ( ) + ( ) = 0, ⋯ 1 1 2 2 Từ đó ta tính được 1 1 1 = − ; = ; = 0; = − ; = 0; 1 2 2 6 3 4 30 5 Tiếp theo ta đi đến một số tính chất của số Bernoulli.
9. 4 Bổ đề 1.1.2. Số Bernoulli thứ 푛, kí hiệu 푛, được xác định bởi hàm sau ∞ 푡 푡 = ∑ , (|푡| < 2 ). 푒푡 − 1 ! =0 Chứng minh. Ta có ∞ 푡 푡 = ∑ ( ∈ ℚ), 푒푡 − 1 ! =0 và ∞ 푡푖 푒푡 − 1 = ∑ . 푖! 푖=1 Suy ra ∞ ∞ 푡푖 푡 푡 = ∑ ∑ . 푖! ! =0 푖=1 Đồng nhất hệ số của hai vế, ta được 푛 푛 + 1 b0 1 và ∑ ( ) = 0, với n 1. =0 Do đó 푛 = 푛 với mọi 푛 ≥ 0, hay ∞ 푡 푡 = ∑ , (|푡| < 2 ). 푒푡 − 1 ! =0 Vậy Bổ đề đã được chứng minh.
10. 5 Mệnh đề 1.1.3. Với ∈ ℕ ∖ {0}, 2 +1 = 0. Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.2, ta có ∞ 푡 푡 푡 (푡): = + = 1 + ∑ . 푒푡 − 1 2 ! =2 Vì (푡) = (−푡) nên (푡) là hàm số chẵn. Do đó các hệ số của lũy thừa bậc lẻ của t ở vế phải phải bằng 0, hay 2 +1 = 0. Vậy Mệnh đề đã được chứng minh. 푛 푛 푛 Mệnh đề 1.1.4. Với 푛 ≥ 1, tổng 푆푛( ): = 1 + 2 + ⋯ + ( − 1) thỏa mãn 푛 푛 + 1 (푛 + 1)푆 ( ) = ∑ ( ) 푛+1− . 푛 =0 Chứng minh. Vì ∞ ∞ ( 푡)푛 푡푛 푒 푡 = ∑ = ∑ 푛 , 푛! 푛! 푛=0 푛=0 nên ∞ ∞ ∞ 푡푛 푡푛 푡푛 1 + 푒푡 + ⋯ + 푒( −1)푡 = ∑ 1푛 + ∑ 2푛 + ⋯ + ∑( − 1)푛 푛! 푛! 푛! 푛=0 푛=0 푛=0 ∞ 푡푛 = ∑ 푆 ( ) . 푛 푛! 푛=0 Lại có,