Luận văn Số bernoulli, đa thức bernoulli và ứng dụng

Nội dung tài liệu: Luận văn Số bernoulli, đa thức bernoulli và ứng dụng

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Cao Trí SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình.
4. LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn đầu tiên, tôi xin gởi tới PGS. TS Mỵ Vinh Quang, người thầy mẫu mực và nghiêm khắc, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học cao học và đặc biệt là khi thực hiện luận văn. Nhờ thầy, tôi đã hoàn thành tốt luận văn của mình và qua đó tôi học được từ thầy cách làm việc khoa học. Tiếp đến tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh: PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS. Trần Huyên, TS. Phạm Thị Thu Thủy. Quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy để trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong bước đường nghiên cứu toán học. Tôi cũng không quên bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý thầy cô phòng Sau Đại Học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập trong suốt quá trình học cao học. Xin gởi lời cám ơn chân thành đến TS. Phan Thế Hải, người thầy truyền cho tôi ngọn lửa đam mê toán học từ khi tôi còn là một sinh viên sư phạm. Thầy luôn theo sát mọi bước đi của tôi từ lúc tôi ra trường đến nay. Xin khắc sâu công ơn ba, mẹ tôi. Những người luôn ủng hộ mọi quyết định của tôi trong cuộc đời. Nhờ họ tôi mới có thêm nghị lực để vượt qua những khó khăn trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, lời cám ơn đặc biệt nhất, tôi xin gởi đến vợ và con gái yêu của tôi. Chính họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc cho tôi trong suốt quá trình học cao học và hoàn thành luận văn. TP Hồ Chí Minh, tháng 03 – 2018 Đỗ Cao Trí
5. MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CÁM ƠN DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 1 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................... 2 1.1.Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường ............................................... 2 1.2. Chuẩn phi Archimede ............................................................................................... 3 1.3. Trường số p – adic p .............................................................................................. 5 1.4. Phân phối p – adic ................................................................................................... 10 1.5. Độ đo và tích phân p – adic ..................................................................................... 13 CHƯƠNG 2 SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI ......................................... 15 2.1. Số Bernoulli và đa thức Bernoulli ........................................................................... 15 2.2. Tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli .................................................... 17 2.3. Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli ....................... 21 CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG CỦA SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI . 30 3.1. Ứng dụng của số Bernoulli để tính khai triển Laurent của tan và cot .................... 30 3.2. Khai triển Fourier của đa thức Bernoulli. ............................................................... 31 3.3. Zeta – hàm số học ................................................................................................... 36 3.4. Độ đo và tích phân Bernoulli. ................................................................................. 38 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 48
6. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập các số nguyên. : Tập các số hữu tỉ. : Tập các số thực. p : Tập các số nguyên p – dic. : Chuẩn thông thường. : Chuẩn p – adic. p B a, r : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong p . B a, r : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong p . N ap : Khoảng trong p . N xaN, : Một điểm tùy ý thuộc khoảng ap . Bk : Số Bernoulli thứ k. Bxk : Đa thức Bernoulli thứ (bậc ) k. n : Tổ hợp chập k của n phần tử . k Bk, : Phân phối Bernoulli thứ k. f  : Tích phân của hàm f ứng với độ đo  . ∎ : Kết thúc chứng minh.
7. 1 MỞ ĐẦU Các số Bernoulli được nhà toán học người Thụy sĩ Jacob Bernoulli (1654 – 1704 ) phát minh và nghiên cứu khi ông tìm một công thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc m của n -1 số nguyên dương đầu tiên. Bằng số Bernoulli và đa thức Bernoulli, ông đã giải quyết được trọn vẹn bài toán và ông tự hào viết lại (trong cuốn Ars Conjectandi) rằng ông mất không quá 15 phút để có thể tính tổng lũy thừa bậc 10 của 1000 số nguyên dương đầu tiên. Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và toán học, số Bernoulli và đa thức Bernoulli đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành khác nhau của toán học. Đặc biệt là trong lý thuyết số hiện đại và giải tích p – adic, chẳng hạn, ta có công thức tính zeta – hàm hàm số học  s tại sk 2 qua các số Bernoulli như sau 21k k 2k 2 B2k  2k 1 . . , với k 1;2;3..., và B2k là số Bernoulli thứ 2k . 2kk 1 ! 2 Chính vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài “Số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng” để khảo sát, nghiên cứu thêm về số Bernoulli, đa thức Bernoulli và ứng dụng của chúng trong lý thuyết số hiện đại và trong giải tích p – adic. Luận văn sẽ gồm 3 chương như sau. Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về chuẩn trên một trường, khái niệm về chuẩn phi Archimede và một số kiến thức cần cho các chương sau Chương 2 : Số Bernoulli và đa thức Bernoulli Chương này trình một số tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Đặc biệt trong chương này chúng tôi chứng minh một số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli như đồng dư thức của Von Staud – Clausen, đồng dư thức của Kummer. Chương 3 : Ứng dụng của số Bernoulli và đa thức Bernoulli Chương này sẽ trình bày ứng dụng của số Bernoulli và đa thức Bernoulli để tính zeta – hàm số học và xây dựng độ đo p – adic, đặc biệt là độ đo và tích phân Bernoulli.
8. 2 CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p – adic p vá các tính chất cơ bản của nó. Đặc biệt chương này cũng trình bày tóm tắt một số kết quả về độ đo và tích phân p – adic cần cho các ứng dụng sau này. Các kết quả của chương này được trình bày theo tài liệu tham khảo [2] và [3]. 1.1. Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường Định nghĩa 1.1.1. Cho F là một trường, ánh xạ : F được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện sau i) x 0,  x F ; xx 00 ii) xy x y,,  x y F iii) x y x y,,  x y F Ví dụ 1.1.2. Các trường số ,, với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa các điều kiện của chuẩn nên giá trị tuyệt đối là chuẩn trên ,, và gọi là chuẩn giá trị tuyệt đối, ký hiệu . 0,x 0 Cho F là một trường, ánh xạ x 1,x 0 Là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường. Mệnh đề 1.1.3. (Các tính chất của chuẩn) Cho là một chuẩn trên trường F có đơn vị là 1. Khi đó với mọi xF ta có i) 1 1 1 ii) xxn n ,  n iii) xx 1 1 Nhận xét : Nếu F là trường hữu hạn thì trên F có duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm thường.
9. 3 Định nghĩa 1.1.4. (Hai chuẩn tương đương) ; x Cho 12 là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu n  x là dãy Cauchy theo chuẩn 1 khi và chỉ khi n  là dãy Cauchy theo chuẩn 2 . mn, Chú ý rằng xn  là dãy Cauchy theo chuẩn nghĩa là xxmn  0 . Hay  0, n00 :  m , n n , xmn x . Định lý 1.1.5. (Các điều kiện tương đương của chuẩn) , Cho 12 là hai chuẩn trên một trường F. Khi đó, các điều sau là tương đương x 1 x 1 1)  xF, 1 khi và chỉ khi 2 . x 1 x 1 2)  xF, 1 khi và chỉ khi 2 . 3) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho x F, x x C . 21 4) Các tôpô sinh bởi 1 và 2 là trùng nhau. 5) 1 tương đương với 2 ( 12). , Hệ quả 1.1.6. Cho 12 là hai chuẩn trên trường F. Nếu tồn tại hai số dương cc12, sao c c cho 121 và 212 thì khi đó 12. 1.2. Chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.2.1. (Chuẩn phi Archimede) Cho là một chuẩn trên trường F. Khi đó chuẩn được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện iii’) x ymax x ; y  với mọi x, y F . Chuẩn thỏa iii) nhưng không thỏa iii’) được gọi là chuẩn Archimede. Ví dụ 1.2.2.