Luận văn Rẽ nhánh và vài ứng dụng cho các hệ phẳng

Nội dung tài liệu: Luận văn Rẽ nhánh và vài ứng dụng cho các hệ phẳng

1. ĐẠI HÅC QUẩC GIA HÀ NậI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIấN Nguyạn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC Hà Nởi - Nôm 2020
2. ĐẠI HÅC QUẩC GIA HÀ NậI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIấN Nguyạn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG Chuyản ngành: ToĂn giÊi tẵch MÂ số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC TS. Lấ HUY TIỄN Hà Nởi - Nôm 2020
3. LÍI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lỏng biát ơn sƠu sưc nhĐt tới TS. Lả Huy Tiạn, người đó định hướng chọn đề tài và tên tẳnh hướng dăn để em hoàn thành luên vôn này. Em xin bày tỏ lỏng biát ơn chƠn thành tới khoa ToĂn - Cơ - Tin Học, Đại học Khoa Học Tự Nhiản, Đại Học Quốc Gia Hà Nởi. CÊm ơn cĂc thƯy cụ giĂo đó tÔo mọi điều kiằn thuên lủi cho em trong suốt quĂ trẳnh học têp và hoàn thành luên vôn cao học. Em xin được gỷi lời cÊm ơn chƠn thành tới gia đỡnh, bÔn b±, người thƠn đó luụn động viản, cờ vũ em trong quĂ trẳnh học têp. Hà Nởi, ngày 23 thĂng 02 nôm 2020 Học viản Nguyạn Thị Hương i
4. Mục lục Lời cÊm ơn i Lời núi đầu 1 BÊng thuêt ngỳ và ký hiằu 3 Danh sĂch hẳnh 4 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRèNH SAI PHÂN 5 1.1 Hẳnh dung ban đầu vã r³ nhĂnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1.1 Vẵ dụ r³ nhĂnh trong phương trẳnh đại số . . . . . . . .6 1.1.2 Vẵ dụ r³ nhĂnh trong phương trẳnh vi phƠn . . . . . . .7 1.2 Kián thực chuân bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.3 Vài vẵ dụ r³ nhĂnh cừa phương trẳnh sai phƠn mởt chiãu . . . 12 2 SỰ TầN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRèNH SAI PHÂN MậT CHIỀU 21 2.1 ThĂc triºn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 R³ nhĂnh nỳt-yản ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 R³ nhĂnh dĩa và r³ nhĂnh xuyản tới hÔn . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 R³ nhĂnh nhƠn đụi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 DÔng chuân tưc cừa r³ nhĂnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1 DÔng chuân tưc cừa r³ nhĂnh nỳt yờn-ngựa . . . . . . . 27 2.5.2 DÔng chuân tưc cừa r³ nhĂnh xuyản tới hÔn . . . . . . 28 2.5.3 DÔng chuân tưc cừa r³ nhĂnh dĩa . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.4 R³ nhĂnh nhƠn đụi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ii
5. 3 RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG 32 3.1 R³ nhĂnh Ănh xÔ co diằn tẵch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 R³ nhĂnh Ănh xÔ bÊo toàn diằn tẵch . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kát luên 41 Tài liằu tham khÊo 42 iii
6. LÍI NÂI ĐẦU Trong hằ động lực, r³ nhĂnh là khĂi niằm ngược với ờn định. KhĂi niằm r³ nhĂnh lƯn đầu tiản được giới thiằu bởi Henri Poincar² vào nôm 1885, sau đú được cĂc nhà toĂn học nghiản cựu sƠu rởng, ch¯ng hÔn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], . . . . Lý thuyát r³ nhĂnh là nghiản cựu toĂn học vã nhỳng thay đổi trong bực tranh pha cừa nghiằm phương trẳnh sai phƠn, nghiằm phương trẳnh vi phƠn và hằ phương trẳnh vi phƠn. R³ nhĂnh xÊy ra khi thay đổi nhỏ giĂ trị tham số cừa mởt hằ động lực gƠy ra sự thay đổi đột ngởt trong bực tranh pha. R³ nhĂnh được chia ra làm hai loÔi. • R³ nhĂnh địa phương xÊy ra khi thay đổi tham số làm cho bực tranh pha xung quanh điểm cƠn bơng hoặc điểm tuƯn hoàn thay đổi. • R³ nhĂnh toàn cục xÊy ra khi thay đổi tham số làm cho bực tranh pha toàn cục thay đổi. Trong luên vôn này, tĂc giÊ nghiản cựu mởt số r³ nhĂnh địa phương sau. 1. R³ nhĂnh nỳt-yản ngựa (saddle-node). 2. R³ nhĂnh xuyản tới hÔn (transcritical). 3. R³ nhĂnh dĩa (pitchfork). 4. R³ nhĂnh nhƠn đụi chu kỳ (period doubling). Luên vôn gồm phƯn mở đầu, ba chương, phƯn kát luên và danh mục tài liằu tham khÊo. Chương 1. CĂc vẵ dụ r³ nhĂnh cừa phương trẳnh sai phƠn mởt chiãu Trong chương này tĂc giÊ s³ trẳnh bày lÔi nhỳng kián thực liản quan đến sự r³ nhĂnh cừa phương trẳnh sai phƠn cụ thº là cĂc định nghĩa điểm bĐt động, 1
7. điểm tuƯn hoàn, điểm ờn định (hỳt), điºm khụng ờn định (đẩy). Sau đú, cĂc vẵ dụ r³ nhĂnh núi trản được tẵnh toĂn chi tiát và minh họa hẳnh học. Chương 2. Sự tồn tÔi r³ nhĂnh cừa phương trẳnh sai phƠn mởt chiãu Mục đớch cừa chương này là trẳnh bày cĂc định lý tồn tÔi cĂc r³ nhĂnh nỳt-yản ngựa, r³ nhĂnh xuyản tới hÔn, r³ nhĂnh dĩa, r³ nhĂnh nhƠn đụi chu kỳ. Chương 3. R³ nhĂnh trong hằ ph¯ng Trong chương này tĂc giÊ đưa ra mởt số vẵ dụ vã r³ nhĂnh trong cĂc hằ hai chiãu, nhĐn mÔnh vào tẵnh co diằn tẵch và tẵnh bÊo toàn diằn tẵch. Nởi dung luên vôn chừ yáu tham khÊo tứ cuốn sĂch [2]. Luên vôn ch¿ x²t r³ nhĂnh cừa hằ rời rÔc, tực là cĂc phương trẳnh sai phƠn. Hà Nởi, ngày 23 thĂng 02 nôm 2020 Học viản Nguyạn Thị Hương 2
8. BẢNG THUẬT NGỮ VÀ Kí HIỆU [1] Tài liằu số 1 ở mục "Tài liằu tham khÊo" N Têp hủp cĂc số tự nhiản Z Vành cĂc số nguyản Q, R Trường cĂc số hỳu tỷ, số thực (tương ựng) Z(M) Mụđun con suy bián cừa mụđun M saddle-node bifurcation r³ nhĂnh nỳt-yản ngựa pitchfork bifurcation r³ nhĂnh dĩa transcritical bifurcation r³ nhĂnh xuyản tới hÔn period doubling bifurcation r³ nhĂnh nhƠn đụi chu kỳ 3
9. Danh sĂch hẳnh 1.1 Bực tranh pha hằ phương trẳnh vi phƠn . . . . . . . . . . . . .8 1.2 Điểm yản ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Sơ đồ bước cƯu thang cừa g(x) = 2x(1 − x) ............ 12 1.4 (a) a = −1, (b) a = −0:25, (c) a = 0:5.............. 13 1.5 Lược đồ r³ nhĂnh nỳt-yản ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 (a) a = 0:5, (b) a = 0:75, (c) a = 1................ 15 1.7 (a) a = 0:5, (b) a = 0:75, (c) a = 1................ 15 1.8 Lược đồ r³ nhĂnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 (a) ρ = 1, (b) ρ = 1:5, (c) ρ = 2:8 ................ 18 1.10 Lược đồ r³ nhĂnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11 (a) a = −2; (b) a = −1; (c) a = 0 ................ 20 1.12 Lược đồ r³ nhĂnh dĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1 Đồ thị f với điểm bĐt động hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Lược đồ r³ nhĂnh nỳt yờn-ngựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Họ bÊn đồ cú đạo hàm xuyản qua 1 ................ 26 2.4 R³ nhĂnh nỳt-yản ngựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 R³ nhĂnh xuyản tới hÔn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 R³ nhĂnh dĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1 R³ nhĂnh nỳt-yản ngựa trong hằ ph¯ng . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 (a) b = −0:9, (b) b = −1:1, (c) a = −1:0............. 39 3.3 GiĂ trị riảng phực cừa cĂc điểm bĐt động elliptic . . . . . . . . 40 4
10. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRèNH SAI PHÂN Trong chương này chỳng ta s³ nhưc lÔi nhỳng kián thực liản quan đến sự r³ nhĂnh cừa phương trẳnh sai phƠn. Cụ thº ta định nghĩa điểm bĐt động, điểm tuƯn hoàn, điểm ờn định (hỳt), điểm khụng ờn định (đẩy) và cĂc điều kiằn liản quan phục vụ cho Chương 2 và Chương 3. Sau đú mởt số vẵ dụ vã r³ nhĂnh được tẵnh toĂn minh họa cụ thº. 1.1 Hẳnh dung ban đầu vã r³ nhĂnh Hiằn tượng r³ nhĂnh 1 xÊy ra trong nhiãu lĩnh vực khĂc nhau: toĂn học, sinh học, vêt lý, húa học, kinh tá, . . . . CƠu hỏi đầu tiản: Thá nào là hiằn tượng r³ nhĂnh? 1Nởi dung phƯn này tham khÊo tứ tài liằu [1]. 5