Luận văn Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1

Nội dung tài liệu: Luận văn Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _________________________ Lê Thái Sơn NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _________________________ Lê Thái Sơn NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1” là do cá nhân tôi thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Thu Thủy, hoàn toàn không sao chép của bất cứ ai. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các bài báo, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn mọi trách nhiệm về luận văn của mình. TP. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2020. Học viên cao học Lê Thái Sơn
4. LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Thu Thủy. Qua đây, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người cô của mình. Cảm ơn cô đã luôn giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán – Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã tận tình chỉ dạy và trang bị cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Cảm ơn quý thầy cô Phòng sau đại học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tại trường. Sau cùng, không thể không nhắc tới các bạn học viên lớp cao học Đại số khóa 27, những người đã cùng tôi học tập, nghiên cứu trong thời gian vừa qua. Sự giúp đỡ, động viên của các bạn là vô cùng quý báu đối với tôi. Xin chân thành cảm ơn. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Rất mong nhận được nhưng ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để tôi có thể hoàn thiện luận văn một cách tốt nhất. TP. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2020. Học viên cao học Lê Thái Sơn
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................ 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 3 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM ABEL .............................................. 3 1.2. MỘT SỐ NHÓM ABEL VÀ NHÓM CON ABEL QUAN TRỌNG ............... 5 1.3. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ ...................................................................... 8 CHƯƠNG 2. MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 ................................................................................... 9 2.1. NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 ...................................... 9 2.2. CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 ............................................................................................ 10 2.3. BẤT BIẾN ULM-KAPLANSKY CỦA MỘT NHÓM ABEL HỖN HỢP THU GỌN ................................................................................................................. 19 2.4. ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 ĐẾM ĐƯỢC ..................................................................................... 24 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 32
6. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Tập hợp các số tự nhiên. * Tập hợp các số tự nhiên khác 0 . Tập hợp các số nguyên. Tập hợp các số hữu tỉ. n| a , n | a a chia hết (không chia hết) cho n . mn, Ước chung lớn nhất của hai số nguyên m và n . AB A là nhóm con của B . AB A là nhóm con thực sự của B . A Nhóm thương của A theo nhóm con B . B AB Nhóm A đẳng cấu với nhóm B . AB Tổng trực tiếp của nhóm A và nhóm B . A Cấp của nhóm A. oa Cấp của phần tử a . aa12, ,... Nhóm sinh bởi các phần tử aa12, ,... * hap p-cao độ tổng quát của a .
7. 1 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhóm Abel hỗn hợp là nhóm Abel mà trong đó có chứa các phần tử cấp vô hạn và các phần tử khác 0 cấp hữu hạn. Nhóm Abel hỗn hợp có thể xem là lớp nhóm tổng quát nhất trong các nhóm Abel. Một trong những hướng tiếp cận khi nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp G là xem nó như một mở rộng của phần xoắn T của chính nó bằng nhóm không xoắn G . Không khó để thấy trường hợp cơ bản nhất cần xem xét T là nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1, khi nhóm thương là nhóm không xoắn hạng 1. Rotman J. [1], Megibben C. [2], Myshkin V.I. [3] đã chứng minh rằng các nhóm đếm được trong lớp này, các bất biến của nhóm xoắn T cùng với lớp tương đương ma trận cao độ H(G) tạo thành một hệ bất biến, tạo điều kiện thuận lợi để xem xét các bài toán liên quan tới lớp nhóm này. 2. Mục đích của đề tài Nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kết quả quan trọng về nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Một số tính chất cơ bản liên quan tới tính chia hết, cao độ trong lý thuyết nhóm Abel. - Các bất biến của nhóm Abel xoắn. - Ma trận cao độ của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. - Cấu trúc của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1 đếm được. 4. Bố cục của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
8. 2 Trong chương này, các khái niệm cơ bản về nhóm Abel, một số lớp nhóm Abel quan trọng đã được trình bày sơ lược. Thêm vào đó là một số khái niệm về tự số và quan hệ thứ tự trên tập hợp. Chương 2: Ma trận cao độ và cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. Đây là nội dung chính của luận văn bao gồm 4 phần. Phần 2.1 trình bày định nghĩa, tính chất và một số khái niệm liên quan của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. Phần 2.2 giới thiệu về cao độ và ma trận cao độ của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. Phần 2.3 trình bày khái niệm bất biến Ulm-Kaplansky của một nhóm Abel hỗn hợp thu gọn. Phần 2.4 tập trung chứng minh định lý về cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1 đếm được.
9. 3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp A  cùng với phép toán hai ngôi “+” được gọi là nhóm nếu: (1) Phép toán “+” có tính chất kết hợp, có nghĩa là x y z x y z với mọi x,, y z A . (2) Tồn tại phần tử 0 A sao cho x 00 x x với mọi xA . (3) Mọi phần tử xA đều có phần tử đối, ký hiệu là x có nghĩa là xx 0 . Nếu phép toán “+” có tính giao hoán, có nghĩa là x y y x với mọi x, y A thì A được gọi là nhóm Abel. Trong luận văn này, mọi nhóm ta xét đều là nhóm Abel. Vì vậy để đơn giản, thay vì ghi “nhóm Abel” ta sẽ chỉ ghi “nhóm”. Định nghĩa 1.1.2. Cho A là một nhóm. Tập con G  của A được gọi là nhóm con của A nếu x y G với mọi x, y G . Định nghĩa 1.1.3. Cho A là một nhóm và G là nhóm con của A. Với một phần tử aA , đặt a G a x| x G , khi đó A a G| a A cùng với phép toán  G  a G b G a b G với bA là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên A. Định nghĩa 1.1.4. Cho A là một nhóm, B và C là các nhóm con của A. Ta nói A là tổng trực tiếp của B và C nếu ABC và BC 0 . Mệnh đề 1.1.5. Nhóm A là tổng trực tiếp của hai nhóm con B và C khi và chỉ khi với mỗi aA , có và chỉ có một cách biểu diễn a b c với bB và cC . Định nghĩa 1.1.6. Cho A và B là các nhóm. Ta có các định nghĩa sau:
10. 4 (1) Một ánh xạ f từ A đến B được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f x f y f x y với mọi x, y A . Nếu AB thì f được gọi là tự đồng cấu của A. (2) Nếu một đồng cấu là đơn ánh thì nó được gọi là đơn cấu. (3) Nếu một đồng cấu là toàn ánh thì nó được gọi là toàn cấu. (4) Một đồng cấu được gọi là đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu. (5) Nếu có một đẳng cấu từ A đến B thì ta nói và đẳng cấu với nhau. Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một nhóm và phần tử xA . Cấp của phần tử x ký hiệu là ox , là số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho nx 0. Nếu không tồn tại số nguyên dương như vậy thì ta nói cấp của x là vô cùng và ký hiệu ox . Cấp của một nhóm A là lực lượng của tập hợp A, ký hiệu là A . A B