Luận văn Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu cầu của đề tài cần nghiên cứu, chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên cứu nào khác. Học viên Trần Thị Thanh Thảo
4. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè. Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam. Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, cô Phạm Thị Thu Thủy, quý thầy cô đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tôi nhiều kiến thức về Toán học, đặc biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số, làm nền tảng vững chắc để tôi học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lí thuyết số Khóa 27 cũng như bạn bè và người thân đã hết lòng động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2018 Trần Thị Thanh Thảo
5. BẢNG KÍ HIỆU Spec R Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R SuppR M Giá của M AssR M Tập các iđêan nguyên tố liên kết của AnnR M Linh hóa tử của i HMI Môđun đối đồng điều địa phương thứ i i HMIJ, Môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo một cặp iđêan i ExtR Tích mở rộng n chiều trên R R Tori Tích xoắn chiều trên  I Hàm tử I xoắn  IJ, Hàm tử IJ, xoắn
6. MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................... 5 1.1. Một số kiến thức cơ bản .................................................................................... 5 1.2. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I ............................................ 8 1.3. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan IJ, .................... 11 1.4. Bao nội xạ ......................................................................................................... 14 1.5. Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck .................................................................. 14 Chương 2. Môđun Lasker yếu và môđun IJ, Cofinite .................................. 18 2.1. Môđun Lasker yếu và môđun IJ, cofinite yếu ....................................... 18 s 2.2. Sự hữu hạn của tập Ass HomRIJ R/; I H, M ....................................... 24 s 2.3. Sự hữu hạn của tập AssRIJ H, M ............................................................. 28 s 2.4. Tính cofinite yếu của HMIJ, ....................................................................... 31 Chương 3. Phạm trù con Serre .................................................................................. 34 3.1. Định nghĩa ......................................................................................................... 34 i 3.2. Tính chất của HMIJ, trong phạm trù con Serre ...................................... 34 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 41
7. 1 MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương chiếm một vị trí quan trọng trong Đại số hiện đại nói chung và Đại số giao hoán cũng như Hình học đại số nói riêng, hiện nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Trong luận văn này, ta sẽ nghiên cứu sự hữu hạn của các tập s s AssRIJ H, M và AssRIJ Hom R I, H, M , cũng như một vài tính chất i của môđun đối đồng điều địa phương HMIJ, theo quan điểm của phạm trù con Serre. Trong toàn bộ luận văn này, ta luôn giả thiết R là vành Noether giao hoán và IJ, là các iđêan của vành R . Trong [1], các nhà toán học Takahashi, Yoshino và Yoshizawa đã giới thiệu về khái niệm của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan IJ, , chính là sự mở rộng của định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I của Grothendieck. Cho M là n một R môđun, khi đó môđun IJ, M x M I x  Jx,1 n  là môđun con IJ, xoắn của M . Vì vậy tồn tại hàm tử hiệp biến  IJ, từ phạm trù môđun vào chính nó. Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp i iđêan , kí hiệu là HIJ, , là hàm tử dẫn xuất phải thứ của . Nếu i J 0 thì chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường HI của Grothendieck. Trong [2], Grothendieck đã đưa ra giả thuyết: Với mọi iđêan I của i vành R và với mọi R môđun hữu hạn sinh M , môđun Hom R I, HI M là hữu hạn sinh với mọi i . Một năm sau Hartshorne đã đưa ra một phản ví dụ cho giả thuyết của Grothendieck. Ông đã định nghĩa môđun I cofinite và i đặt câu hỏi: “Với vành R và iđêan I như thế nào thì môđun HMI là
8. 2 môđun I cofinite với mọi môđun hữu hạn sinh M ?”. Vấn đề đặt ra tương tự i cho cặp iđêan IJ, , môđun HMIJ, cho ta được các kết quả như thế nào? Luận văn này được trình bày làm ba chương. Chương một sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán và đối đồng điều địa phương trong bài báo [1]. Trọng tâm của luận văn nằm ở chương hai và chương ba sẽ trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals [3] của PGS. TS. Trần Tuấn Nam và Nguyễn Minh Trí. Trong đó chương hai sẽ giới thiệu về môđun Lasker yếu và môđun IJ, cofinite yếu, từ đó rút ra một số kết quả quan trọng đặc biệt là tập các iđêan nguyên tố s s liên kết của HMIJ, và HomRIJ R I, H, M , với s là số nguyên không âm cho trước. Chương ba sẽ giới thiệu về phạm trù con Serre, cung cấp cho ta i một cái nhìn khác về môđun HMIJ, và các tính chất của môđun này trong phạm trù đang xét. Cụ thể như sau: Phần (2.1.1) và (2.1.2), ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của môđun Lasker yếu dựa trên kết quả của hai tác giả K. Divaani- Aazar và A. Mafi trong bài báo [4]. Dựa vào định nghĩa về môđun IJ, cofinite ở (2.1.3) mà A. Tehranian và A. Pour Eshmanan Talemi đã đề cập đến trong bài báo [5], kết hợp với định nghĩa môđun I cofinite yếu của K. Divaani- Aazar và A. Mafi trong bài báo [6], ta được định nghĩa hoàn chỉnh và một số tính chất của môđun cofinite yếu trong (2.1.4) và (2.1.5). Tiếp đến phần (2.1.6) và (2.1.7), ta thu được kết quả về tính Lasker yếu i của môđun ExtR R I, M với mọi is , trong đó s là số nguyên không âm cho trước.
9. 3 Bằng việc chứng minh quy nạp hoặc sử dụng dãy phổ Grothendieck trong [7], ta có hai cách để chứng minh Định lý quan trọng (2.2.1) về tính Lasker yếu của từ đó dễ dàng suy ra sự hữu hạn của tập cũng như các Hệ quả 2.2.2 và 2.2.3. i Trong Định lý 2.3, từ tính Laskers yếu của HMIJ, ta suy ra được tập AssRIJ Hom R I, H, M s AssRIJ H, M là hữu hạn. s Ta cũng sẽ nghiên cứu về tính cofinite yếu của môđun HMIJ, trong Định lý 2.4.1 và từ đó ta được hai Hệ quả 2.4.2 và 2.4.3. Tiếp đến phần 3.1 trong chương bas , ta trình bày hai cách định nghĩa HomRIJ R I, H, M tương đương về phạm trù con Serre. i Định lý 3.2.1, cho ta khẳng định nếu HMIJ, với mọi is thì i ExtR R I, M với mọi is . Bổ đề 3.2.2 đã sử dụng một kết quả của M. Asgharzadeh và M. Tousi s trong [8], cho ta Định lý 3.2.3 khi nào thì HomRIJ Rm, H, M thuộc phạm trù con Serre. Cuối cùng, ta nhận thấy lớp các R môđun hữu hạn sinh là phạm trù con Serre ở Bổ đề 3.2.4, kết hợp thêm tính Artin trong bài báo [9] của C. Huneke trên vành địa phương R,m cho ta khẳng định có độ dài hữu hạn trong Hệ quả 3.2.5. Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn
10. 4 còn có những sai sót không mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá, nhận xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.