Luận văn Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CAO NGUYÊN HOÀNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CAO NGUYÊN HOÀNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
3. 2 MỤC LỤC Lời cảm ơn! ................................................................................................................ 3 Phần mở đầu .............................................................................................................. 4 Bảng ký hiệu .............................................................................................................. 7 Chương 1: Kiến thức cơ sở .................................................................................... 8 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết ............................................................................... 8 1.2 Độ cao của một iđêan ................................................................................... 9 1.3 Chiều của một iđêan ................................................................................... 10 1.4 Độ sâu của môđun ...................................................................................... 11 1.5 Hàm tử xoắn ............................................................................................... 12 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương .............................................................. 14 1.7 Vành và môđun phân bậc ........................................................................... 16 1.8 Các phép biến đổi iđêan ............................................................................. 20 1.9 Chiều hữu hạn của môđun .......................................................................... 22 Chương 2: Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương......................................... 24 2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận .............................................................. 24 2.2 Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương ............................................................. 24 2.3 Ổn định tiệm cận ở chiều hữu hạn.............................................................. 25 2.4 Một tính chất khác về tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương ....... 34 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 48
4. 3 Lời cảm ơn! Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, TS. Trần Huyên, PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cám ơn Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Chí Thanh nơi tôi công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình. Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Tác giả Cao Nguyên Hoàng
5. 4 Phần mở đầu Cho RR= ⊕nn≥0 trong đó họ ()Rnn≥0 là họ các vành Noether, RR+>= ⊕nn0 là i một iđêan của R và M là một R – môđun phân bậc hữu hạn sinh. HMR+ ()là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R+ được trang bị tính phân bậc tự ∈ i nhiên. Với mỗi n , ta có HMRn+ () là thành phần phân bậc thứ n của môđun i i HMR+ (), tập hợp AssRR( H+ () M n) là tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của 0 i HMRn+ (). Trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu về mô đun đối đồng điều địa i phương HMR+ (), các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả hết sức thú vị và một trong những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp i AssRR( H+ () M n) . Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của 0 i AssRR( H+ () M n) là nhà toán học M.Brodmann, M.Brodmann đã chứng minh được 0 ∈ i = ∈ ≥ rằng: “Tồn tại r sao cho HMR+ ()0với mọi i 0 và mọi nr; hơn thế nữa i ∈ ∈ HMR+ ()là R0 - mô đun hữu hạn sinh với mọi i 0 và mọi n ”. Tiếp sau đó f M.Brodmann cũng chứng minh được rằng: “ AssRR( H+ () M n) ổn định tiệm cận khi 0 << = = ∈ i n 0 với f: fMRR++( ) inf{ i : HM( ) không hữu hạn sinh}”. Vấn đề đặt ra ở đây là khi thêm giả thiết R là ảnh đồng cấu của vành chính quy thì Ass Hf M RR0 ( + ( )n ) > i có gì đặc biệt? Và khi if thì AssRR( H+ () M n) còn ổn định tiệm cận không? 0 Năm 2002 trong một bài báo (xem [11]), M. Brodman, M. Katzman và R.Y. Sharp đã trả lời cho các câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể hiện trong định lí sau:
6. 5 (1) (Định lí 2.3.8) Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng cấu của vành Noether giao hoán chính quy, MM= ⊕nn∈ là R-môđun phân bậc khác không, hữu hạn sinh và không là R+ -xoắn. = = ∈ i Đặt f: fMRR++( ) inf{ i : HM( ) không hữu hạn sinh} thì f Ass H M=∩∈pp R: Proj Rvà depthM++ htp R/ p = f RR0 ( + ( )n ) { 0 ( ) p ( + ) } với mọi n << 0 Cũng trong bài báo đó, họ đã dùng một ví dụ của Singh (xem [9]) để chứng i minh rằng khi if> thì tập Ass H M không ổn định tiệm cận khi n → −∞ , RR0 ( + ( )n ) cụ thể họ thu được định lí sau: (2) (Định lí 2.4.15) Kí hiệu R/ là vành [ X,,, Y Z U ,, V W] /[ XU++ YV ZW ] Cho −∈d với d ≥ 3, p ∈ là số nguyên tố. Khi đó: 3/ i) p ∈ Ass H/ ( R ) nếu và chỉ nếu pd∈−( 2) ( R+ −d ) ∏ 3/ ii) Ass// H( R) ={( XYZ,,)} {( qXYZ , ,,) : q∈−( d 2)} RR( + − ) ∏ 0 d 3/ iii) Tập các số nguyên Ass// H( R) :3 j ≥ không xác định {( RR0 ( + − j )) } 3/ iv) Các tập sau j∈≥ : j 3à v( p , X , Y , Z) ∈ AssR H/ ( R ) và { 0 ( R+ − j )} 3/ j∈≥ : j 3à v( p , X , Y , Z) ∉ AssR H/ ( R ) là vô hạn { 0 ( R+ − j )} 3/ v) Ass// H( R ) không ổn định tăng với n → −∞ RR( + − ) 0 n Những vấn đề trên có vai trò quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau
7. 6 đó trình bày lại chi tiết bài chứng minh cho kết quả (1). Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (2). Bài luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau. Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh kết quả (1). Phần 2 trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (2). Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
8. 7 Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa 0 tập hợp số tự nhiên tập hợp số nguyên ⊕nn≥0 R tổng trực tiếp của họ các vành Rn R/I vành thương của R theo I Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố của R *Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R V(I) tập hợp các iđêan nguyên tố chứa I −1 SR vành các thương của vành R Rp vành địa phương tại p dim(R ) số chiều của vành R Rll, ,..., l 12 r vành đa thức lấy hệ số trên R inf{i ∈ ...} cận dưới đúng của một tập hợp sup{i∈ ...} cận trên đúng của một tập hợp Hom(A,B) tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B Supp(M) tập hợp các iđêan nguyên tố có Mp ≠ 0 Ann(M) linh hóa tử của M Var(I) tập hợp Supp(R/I) Proj(R) tập {pp∈⊇*Spec ( R ): / R+ }
9. 8 Chương 1: Kiến thức cơ sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một iđêan nguyên tố pcủa R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x∈M sao cho Ann(x) = p. (ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p. Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssR(M). Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x∈M, x ≠ 0}. Khi đó p ∈ AssR(M). Hệ quả 1.1.3. AssR(M) = ∅ ⇔ M = 0 Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt R' = SR−1 , M' = SM−1 . Khi đó AssR( M ')= f ( Ass RR' ( M ')) = Ass ( M ) ∩{pp | ∩=∅ S } Trong đó f: Spec ( R ')→ Spec ( R )là một đồng cấu tôpô. Đặc biệt, Ass M=∈⊆q R| q As sM ( ), qp RRp ( pp) { } Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Khi đó AssR(M) ⊆ SuppR(M), và với mọi phần tử tối tiểu của SuppR(M) đều nằm trong AssR(M). Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Khi đó iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.
10. 9 Định lý 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh, M ≠ 0 . Khi đó tồn tại dãy các mô đun con (0)=M01 ⊂⊂ ... Mnn− ⊂ MM = sao cho Mi R ≅ với mọi pi ∈Spec( R ),1 ≤≤ i n . Mii−1 p Bổ đề 1.1.8. Nếu 0→M ' →→ MM '' → 0 là một dãy khớp các R – mô đun thì khi đó Ass( M ')⊆⊆ Ass ( M ) Ass ( M ') ∪ Ass ( M '') Tính chất 1.1.9. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Khi đó Ass(M) là hữu hạn. Hơn nữa, AssR () M⊆ V ( Ann ()) M và mỗi phần tử tối tiểu của V( Ann ( M )) đều thuộc AssR () M . Vì thế Ann(M) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M. Tính chất 1.1.10. Nếu N là R – mô đun con của M. Khi đó AssRR() N⊆⊆ Ass ( M ) Ass R ( M / N ) ∪ Ass R () N 1.2 Độ cao của một iđêan Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một vành, R ≠ 0. Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan nguyên tố ppp012⊃⊃⊃.... ⊃ pn được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n. Nếu p∈Spec() A thì cận trên của chuỗi nguyên tố với pp= 0được gọi là độ cao của p kí hiệu là ht( p). Nhận xét 1.2.2. (i) Nếu ht( p) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R.