Luận văn Một số tính chất của dao động từ điều hòa biến dạng

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số tính chất của dao động từ điều hòa biến dạng

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== TRẦN HỮU TUẤN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỪ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí Toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS. TS. Lƣu Thị Kim Thanh HÀ NỘI - 2017
2. LỜI CẢM ƠN Luận văn : “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” đã được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy cô, bạn bè. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn – PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo em trong quá trình hoàn thành đề tài. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài này. Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ động viên của bạn bè trong suốt quá trình làm đề tài. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Trần Hữu Tuấn Bình
3. LỜI CAM ĐOAN Đề tài “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” này được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của PGS. TS.Lưu Thị Kim Thanh. Đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kì đề tài nào khác. Tất cả các dữ liệu tôi đưa ra là hoàn toàn trung thực. Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Trần Hữu Tuấn Bình
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1 CHƢƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ............. 4 1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ............................................................... 4 1.2. Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa ......................................................... 14 1.3. Trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa ......................................................... 17 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG ........................................................................................................................... 25 2.1.Phổ năng lượng dao động tử điều hòa biến dạng q ................................................. 25 2.2. Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa biến dạng ........................................ 28 2.3. Trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa biến dạng ........................................ 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG ................................................................................................................ 39 3.1 Nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa ................................................................. 39 3.2 Nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa biến dạng ................................................ 41 3.3 Ứng dụng của dao động tử biến dạng q vào hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein .. 42 KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................................. 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47
5. 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt. Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thống kê cổ điển và vật lí thống kê lượng tử. Vật lí thống kê lượng tử tổng quát và chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển vì các kết quả của vật lí thống kê lượng tử đã bao gồm các kết quả của vật lí thống kê cổ điển như là trường hợp riêng. Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử. Vật chất tồn tại dưới hai dạng là chất và trường; các chất bao gồm một số rất lớn các nguyên tử, phân tử. Lượng tử của các trường là các hạt cơ bản, chẳng hạn lượng tử của trường điện từ là các photon, Từ đó có thể thấy đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là rất rộng. Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuyển động nhiệt trong hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát các hiện tượng theo quan điểm về sự biến đổi năng lượng trong các hiện tượng đó. Cơ sở của nhiệt động học là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí của nhiệt động lực học. Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời của nhân loại và đã được thực nghiệm xác nhận. Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động của các hạt vi mô tạo nên hệ. Vật lí thống kê xuất phát từ các tính chất và cấu trúc vi mô của các hạt tạo nên hệ để rút ra những tính chất của hệ nhiều hạt bằng phương pháp xác suất thống kê. Tại sao lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà không thể dùng phương pháp giải các phương trình Lagrange hoặc các phương trình chính tắc Hamilton trong bài toán cổ điển, phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt lượng tử. Câu trả lời là bởi vì trong các hệ nhiều hạt tồn tại một quy luật khách quan là hệ quả của tính chất số đông đó là quy luật tính thống
6. 2 kê, cụ thể là tính chất của hệ nhiều hạt ở thời điểm đang xét thực tế là hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu tức là vào các điều kiện ban đầu. Mặc dù tính chất của một hạt riêng lẻ tuân theo định luật động lực học của cơ học. Rõ ràng là tính chất thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ hay một số ít hạt và chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện của quy luật tính thống kê [1,2,3]. Trong vật lí thống kê lượng tử tổng trạng thái ( hay tích phân trạng thái trong thống kê cổ điển) đóng một vai trò đặc biệt quan trọng, bởi vì nhờ nó ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì. Tổng trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của hệ, bởi vì phép lấy tổng (phép tích phân trạng thái) được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ. Nói một cách khác tổng trạng thái là hàm trạng thái phụ thuộc vào các thông số ngoại và nhiệt độ của hệ. Việc tính được tổng trạng thái của hệ cho phép ta đoán nhận được các thông số nhiệt động của hệ nhiều hạt như nhiệt độ, entrôpi, năng lượng tự do .[4,5,6]. Sau quá trình học tập tại lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lí thuyết và Vật lí Toán, K37 Trường ĐHSP Hà nội 2, tôi đã thấy được vai trò quan trọng của tổng trạng thái trong vật lí. Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí học hiện đại, em đã chọn đề tài “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn khoa học của cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày một số tính chất của dao động tử điều hòa tuyến tính - Nghiên cứu một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng
7. 3 - Nêu ra một số ứng dụng của dao động tử điều hòa biến dạng 4. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết: - Phương pháp vật lí thống kê, - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, - Phương pháp nhóm lượng tử và các phương pháp giải tích khác. 6. Dự kiến đóng góp mới - Các tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng và các ứng dụng của dao động tử điều hòa biến dạng.
8. 4 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa Biểu diễn số hạt Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm bằng phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của Hamiltonian. Pmˆ 2  Hxˆ x ˆ 2 (1.1) 22m Chúng ta kí hiệu: xqˆˆ là toán tử tọa độ d pˆˆ p i là toán tử xung lượng x dx Hệ thức giao hoán pˆ và qˆ là: d d d d  pˆ, q ˆ pq ˆ ˆ qp ˆˆ i x x ( i ) i x i x dx dx dx dx dd  pˆˆ, q i ( x  ) i x  i  dx dx  pˆˆ, q i Có thể biểu diễn Hamiltonian theo và là pmˆ 22 Hq ˆ 2 (1.2) 22m m  Đặt : pˆ i a ˆ a ˆ 2 qˆ a ˆ a ˆ 2m
9. 5 khi đó ta có thể biểu diễn Hˆ theoaaˆˆ , như sau: pˆ 2 m 21 m  m  2 H qˆ22 i a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ 2m 2 2 m 2 2 2 m 1  2 . aˆ a ˆ a ˆ a ˆ 22 1  . aˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ 22 1  . 2aaˆ ˆ 2 a ˆ a ˆ (1.3) 22  2 aaˆ ˆ a ˆ a ˆ Và các toán tử được biểu diền ngược lại theo và là mp ˆ 2 pˆ i a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ ip ˆ 2 m  m  i pˆ qˆ 2 qmˆ 2  qˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ q ˆ 2m 2m mp ˆ Từ đó ta thu được : aˆˆ  q i (1.4) 2  m mp ˆ aˆˆ  q i (1.5) 2mm Dễ dàng chứng minh được các toán tử aaˆˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán aaˆˆ,1 (1.6) mp ˆ Thật vậy: aˆ, a ˆ aa ˆ ˆ a ˆ a ˆ  q ˆ i 2 m m pˆˆ m p 1 i qiˆ  qi ˆ 2 ipqiqp  ˆ ˆ 2  ˆˆ pqqp ˆ ˆ ˆˆ 1 2 mm 2  2 
10. 6 Sử dụng hệ thức (1.6) ta thu được hàm Hamiltonian có dạng 1 H aˆˆ a  (1.7) 2 Việc nghiên cứu của phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các vectơ giá trị riêng và trị riêng Hamiltonian (1.7), trong đó các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.6) Để làm điều đó ta định nghĩa toán tử giao hoán như sau: Nˆ aˆˆ a (1.8) Và có hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ với các toán tử aˆ và aˆ ˆ ˆ ˆ Na,ˆ NaaN ˆˆ aaaaaa ˆˆˆˆˆˆ aaaaa ˆˆˆˆˆ 1. a ˆ a ˆ Suy ra Naˆˆˆˆ a N 1 (1.9) ˆ ˆ ˆ Na, ˆ Na ˆ aN ˆ aaa ˆˆˆ aaa ˆˆˆˆˆˆ aaa aa ˆˆ a ˆ Hay Naˆˆˆˆ a N 1 (1.0) Ký hiệu n là vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, khi đó ta có phương trình trị riêng của toán tử Nˆ Nˆ n n n (1.11) Từ phương trình (1.11) n Nˆ n n aˆˆ a n n 0 (1.12) n n n n Vì 2 n n n r dr 0 Và