Luận văn Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 3 năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang
4. LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của Thầy Nguyễn Bích Huy. Em xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy kính mến. Em xin chân thành được tỏ lòng biết đến Quý Thầy Cô trong khoa Toán của trường Đại học Sư phạm vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và thực hiện Luận văn. Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên để em an tâm học tập và nghiên cứu. Mặc dù em đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên Luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót. Mong Quý Thầy Cô sẽ phê bình để Luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 3 năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang
5. Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục các kí hiệu MỞ ĐẦU 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ánh xạ đa trị. Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2 Phương pháp sử dụng bậc tôpô 28 Chương 3 Phương pháp sử dụng dãy lặp 38 Chương 4 Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy 42
6. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Bao đóng của tập hợp A coA Bao lồi của tập hợp A x Chuẩn của phần tử x trong không gian định chuẩn X. k k B(a;r ) Quả cầu mở tâm a, bán kính r B(a;r ) Quả cầu đóng tâm a, bán kính r Lp (1 p ) Không gian các hàm khả tích cấp p 6 Ç 1 C(K) Không gian các hàm liên tục trên nón K iK(F,D) Bậc topo của ánh xạ đa trị F trên D ứng với nón K f² Ánh xạ ² - xấp xỉ của ánh xạ đa trị F f : X 2Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y ! r (L) Bán kính phổ của ánh xạ L u, v {x X : u x v} h i 2 6 6 supp Á Giá của hàm Á, supp Á {x X : Á(x) 0} Æ 2 6Æ
7. 1 MỞ ĐẦU Từ những năm 1930, các nhà Toán học đã nhận thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu các ánh xạ đa trị. Lý thuyết về các ánh xạ đa trị được nghiên cứu mạnh mẽ từ những năm 1950, xuất phát từ sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển của Khoa học, Kỹ thuật và Kinh tế. Cho đến nay, Lý thuyết về các ánh xạ đa trị đã được phát triển khá hoàn chỉnh và đã tìm được các ứng dụng có giá trị trong Toán học, Khoa học – Kỹ thuật, Xã hội, . . . , ví dụ như trong Lí thuyết phương trình vi phân, Lí thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán về Kinh tế, ... Ở một hướng khác, từ những năm 1940, trong các công trình nghiên cứu của M.Krein, A.Rutman, . . . đã hình thành Lí thuyết về các phương trình trong không gian với thứ tự sinh bởi nón. Lí thuyết này một mặt cho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất nghiệm của phương trình (như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, . . . ), mặt khác nó cho phép nghiên cứu các phương trình không có tính liên tục, vốn rất thường gặp ở các bài toán xuất phát trong Tự nhiên và Xã hội. Gần đây, các nhà Toán học đã kết hợp hai lý thuyết trên và nghiên cứu các bao hàm thức dạng 0 F (x) (1) 2
8. 2 trong các không gian có thứ tự. Hướng nghiên cứu này hứa hẹn đưa tới những kết quả Lí thuyết và Ứng dụng có giá trị. Để nghiên cứu bài toán (1) thì tùy theo các tính chất của ánh xạ F (tính đơn điệu, liên tục, compact,. . . ) mà ta sẽ chọn phương pháp thích hợp. Một mặt, các nhà Toán học vẫn sử dụng các phương pháp chung trong nghiên cứu bao hàm thức trong không gian không có thứ tự nhưng với các chỉnh sửa cần thiết để có thể sử dụng quan hệ thứ tự. Mặt khác, để nghiên cứu các bao hàm thức mà các phương pháp chung không áp dụng được (như khi F không có tính chất liên tục, compact, . . . ), các nhà Toán học đã dựa vào tính chất của ánh xạ có liên quan đến thứ tự (tính đơn điệu, tính lồi,. . . ) để đưa ra các phương pháp đặc thù. Để tìm ra các kết quả mới cũng như để nghiên cứu các bài toán mới phát sinh thì ta cần tìm hiểu đầy đủ các phương pháp nghiên cứu bao hàm thức dạng (1) trong không gian có thứ tự, biết điểm mạnh, yếu, phạm vi ứng dụng của mỗi phương pháp. Luận văn này sẽ trình bày một vài phương pháp cơ bản để nghiên cứu các bao hàm thức trong không gian có thứ tự.
9. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Các kiến thức trong phần này được trích từ bài giảng ([6]) của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1 1. Tập K trong không gian Banach thực X được gọi là nón nếu: i) K là tập đóng ii) K K K, ¸K K ¸ 0 Å ½ ½ 8 > iii) K ( K) {θ} \ ¡ Æ 2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định nghĩa bởi: x y y x K . 6 , ¡ 2 Mỗi x K\{θ} được gọi là dương. 2 Khi đó, cặp (X, K) được gọi là không gian Banach có thứ tự. Nhận thấy quan hệ " 6 " là một quan hệ thứ tự. Thật vậy, ta có: 3
10. 4 • Phản xạ x X, ta có x x θ K x x. 8 2 ¡ Æ 2 ) 6 • Phản xứng Lấy x, y X thỏa x y và y x. Ta có: 2 6 6 8 8 8 > > > y x K <> y x K ¡ 2 ¡ 2 y x K ( K ) y x θ x y. > ) > ) > ) ¡ 2 \ ¡ ) ¡ Æ ) Æ :> y x :>x y K :> y x K 6 ¡ 2 ¡ 2 ¡ • Bắc cầu x, y, z X thỏa x y, y z, ta có: 8 2 6 6 8 8 >x y > y x K < 6 < ¡ 2 ¡ ¢ ¡ ¢ y x z y K z x K x 6 z. > ) > ) ¡ Å ¡ 2 ) ¡ 2 ) :> y z :>z y K 6 ¡ 2 Như vậy, 6 là một quan hệ thứ tự. Mệnh đề 1 Giả sử 6 là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó: 1. x y x z y z, ¸x ¸y với mọi z X, với mọi ¸ 0. 6 ) Å 6 Å 6 2 > 2. Nếu x y n N¤ và limx x, lim y y thì x y. n 6 n8 2 n Æ n Æ 6 3. (x ) là dãy tăng, hội tụ về x thì x x n N¤. n n n 6 8 2 Định nghĩa 1.1.2 Nón K được gọi là nón chuẩn nếu ° ° N 0 : θ x y x N.°y°. 9 È 6 6 ) k k 6 Mệnh đề 2 Giả sử " 6 " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn. Khi đó, 1. Nếu u v thì đoạn u, v {x X : u x v} bị chặn theo chuẩn. 6 h i Æ 2 6 6 2. Nếu x y z n N¤, limx limz a thì lim y a. n 6 n 6 n8 2 n Æ n Æ n Æ