Luận văn Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian hilbert

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian hilbert

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TOÁN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TOÁN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
3. Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Trí Dũng. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019 Trần Nguyễn Vân Nhi
4. Lời cám ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. TRẦN TRÍ DŨNG đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn để tác giả có thể hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán - Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tác giả trong quá trình học tập tại khoa. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cám ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019 Trần Nguyễn Vân Nhi
5. Mục lục Lời cam đoan ......................................................................................................................... 3 Lời cám ơn ............................................................................................................................. 4 Mục lục .................................................................................................................................. 5 Danh mục các ký hiệu ........................................................................................................... 1 MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ........................................................................................... 5 1.1 Toán tử quạt (Sectorial operator) ............................................................................ 5 1.2 Không gian các hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic functions ) ................... 7 1.3 Natural functional calculus ..................................................................................... 9 1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy ................................................... 9 1.3.2 The natural functional calculus .......................................................................... 11 1.3.3 Luật hợp thành .................................................................................................... 12 1.4 Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh ............................................................................... 12 1.5 Tính bị chặn của H - Calculus (The boundedness of the -Calculus) .......... 13 1.6 Toán tử hợp ( Multiplication Operators) ............................................................... 14 1.7 Bậc phân số với phần thực dương ......................................................................... 15 Chương 2. Lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert ................................................... 17 Dạng nửa song tuyến tính ..................................................................................... 17 Toán tử liên hợp .................................................................................................... 19 Dãy trị số ............................................................................................................... 23 Tích vô hướng tương đương và định lý Lax-Milgram .......................................... 23 Toán tử accretive ................................................................................................... 25 Chương 3. Một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt .................................... 28 3.1 Vấn đề đồng dạng đối với toán tử biến phân ........................................................ 28 3.2 The Functional Calculus trên không gian Hilbert ................................................. 34 3.3 Bậc phân số của toán tử m- accretive và vấn đề căn bậc hai ................................ 40 3.4 Thuyết McIntosh- Yagi ......................................................................................... 43 3.5 Định lý Đồng Dạng ............................................................................................... 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................................... 54
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 55
7. Danh mục các ký hiệu A Bao đóng của toán tử đa trị A . A 1 Nghịch đảo của toán tử đa trị . Ax Ảnh của điểm x dưới tác động của toán tử đa trị . DA Miền xác định của toán tử đa trị . LX Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X NA Nhân của toán tử đa trị . A Tập dải thức của toán tử đa trị .  A Miền giá trị của toán tử đa trị . RA , Dải thức (ánh xạ) của toán tử đa trị .  A Phổ của toán tử đa trị . Tích vô hướng trên không gian Hilbert H . Tích vô hướng tương đương trên không gian Hilbert . aA Toán tử liên kết với dạng a . Ses V Không gian dạng nửa song tuyến tính trên không gian vecto V . WA Dãy trị số của toán tử . BIP X Không gian các toán tử quạt đơn ánh trên X sao cho Ais s là nhóm C0 . H  Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên tập mở  .
8. C0  Không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại trên không gian compact địa phương  . DR S Lớp Dunford – Riesz trên góc quạt S . DR0 S Không gian các hàm chỉnh hình trên S 0 và tắt dần đều tại . DRext S Lớp Dunford – Riesz mở rộng trên góc quạt . Sect  Lớp các toán tử quạt với góc  trên không gian Banach X .
9. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong toán học, lý thuyết toán tử là một nhánh của giải tích hàm liên quan đến các toán tử tuyến tính bị chặn và các tính chất của chúng. Một toán tử quạt (sectorial operator) A có phổ của nó chứa trong hình quạt S với số RA , bị chặn đều bên ngoài hình quạt lớn hơn. Các toán tử này đóng vai trò nổi bật trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng elliptic và parabolic (elliptic and parabolic partial differential equations). Vào những năm 1960 , cái gọi là bậc phân số (fractional powers) A (với ) của toán tử quạt A được định nghĩa (xem [10], [3], [24], [8]) và đã được nghiên cứu sâu rộng kể từ đó. Tuy nhiên, cho đến ngày nay vẫn chưa có sự phát triển về lý thuyết bậc phân số vào functional calculus, thậm chí cả trong các công trình nghiên cứu gần đây. Mọi thứ trở nên khả thi hơn khi natural functional calculus về các toán tử quạt được đưa ra. McIntosh đã phát triển functional calculus này trong nghiên cứu của ông ấy (xem [15], [2]). McIntosh nhận xét [14] rằng lý thuyết về bậc phân số có thể được sửa lại bởi functional calculus của ông. Tuy nhiên, trọng tâm chính trong nghiên cứu của ông là tính bị chặn của H calculus, với sự giúp đỡ bởi ý tưởng của Yagi (xem [24]), có thể được chứng minh là tương đương với đánh giá bậc hai trong không gian Hilbert. Trọng tâm này vẫn nằm trong các nỗ lực tiếp theo để khái quát hoá các kết quả từ không gian Hilbert đến không gian Lp và không gian Banach tổng quát. Dựa theo những nhận xét của McIntosh, những đường dẫn mới và những sự liên hệ còn mơ hồ trước đây dần được khám phá. Sự liên hệ của functional calculus và những câu hỏi đồng dạng trên không gian Hilbert như: vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử m accretive, vấn đề căn bậc hai đều là những vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới hiện nay. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach cùng với tình hình nghiên cứu như hiện nay, tác giả đã quyết định chọn đề tài “Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian Hilbert”. 2. Mục tiêu của luận văn Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu một số kết quả về tính
10. 2 đồng dạng cho các toán tử quạt trong không gian Hilbert như vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử accretive, vấn đề căn bậc hai; sau đó áp dụng để chứng minh lại một số định lý với cách tiếp cận dễ dàng hơn và không cần sử dụng những kết quả quá phức tạp. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp một số kiến thức cơ bản về toán tử quạt, tính bị chặn của calculus, bậc phân số và một số vấn đề liên quan khác. Công việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach. 4. Nội dung luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Phần chuẩn bị trình bày về khái niệm toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản của toán tử quạt, không gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn của H - calculus, bậHc phân số và các kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach có liên quan phục vụ cho các chương tiếp theo. Chương 2: Lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert. Chương này tác giả trình bày những thông tin về các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, và định lý Lax- Milgram. Các nội dung chủ yếu như sau: m + Dạng nửa song tuyến tính + Toán tử liên hợp. + Tích vô hướng tương đương và định lý Lax-Milgram.. + Toán tử accretive. Chương 3: Một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt. Chương này tác giả sử dụng những kết quả từ lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert và functional calculus để đạt được định lý Đồng Dạng. Các nội dung chủ yếu như sau: