Luận văn Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence

1. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MËT SÈ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2019
2. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC SƯ PHẠM THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MËT SÈ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC : TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phè Hồ Ch½ Minh - 2019
3. LÍI CẢM ƠN Trước h¸t tôi xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c tới TS. Nguy¹n Thành Nh¥n, người trực ti¸p hướng d¨n tôi lựa chọn và thực hi»n đề tài này, c£m ơn Th¦y đã tªn t¥m ch¿ b£o, giúp đỡ và truy·n đạt ki¸n thùc để tôi hoàn thành luªn v«n cõa m¼nh. Tôi cũng xin bày tỏ láng bi¸t ơn ch¥n thành đến quý th¦y cô trường Đại học sư ph¤m Thành phè Hồ Ch½ Minh, đặc bi»t là khoa To¡n- tin và pháng sau đại học đã t¤o điều ki»n thuªn lñi cho tôi trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp và nghi¶n cùu. Qua đây tôi cũng xin gởi lời c£m ơn đến c¡c b¤n học vi¶n trong lớp To¡n gi£i t½ch k28, b¤n b±, đồng nghi»p đã luôn cê cũ, động vi¶n và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này. Thành phè Hồ Ch½ Minh, ngày 28 th¡ng 9 n«m 2019 Học vi¶n Cao Phi Thơ
4. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 0 n x = x(x ; xn) mët điểm điển h¼nh trong R . n n R+ = fx 2 R: xn > 0g không gian R với c¡c điểm có xn > 0. n n Br = fx 2 R : jxj < rg qu£ c¦u mở t¥m O, b¡n k½nh r trong R + Br = Br \ fxn > 0g nûa qu£ c¦u. 2 Qr = Br × (−r ; 0] h¼nh lªp phương parabolic.  r2 r2 i Cr = Br × − 2 ; 2 h¼nh lªp phương parabolic t¥m gèc tọa độ. n ΩT = Ω × (0;T ) Mi·n trụ với chi·u cao T và đáy Ω ⊂ R . = f(x; t): x 2 Rn; t 2 (0;T )g ru(x; t) = (ux1 (x; t); :::; uxn (x; t)) Gradient cõa u. divf(x; t) = Pn (f i(x; t)) Divergence cõa f. i=1 xi 1 Z f Qr = f(x; t)dxdt gi¡ trị trung b¼nh cõa hàm f tr¶n Qr. jQrj Qr @pΩT = (@Ω × [0;T ]) [ (Ω × f0g) bi¶n cõa parabolic. 2 2 @pQr = (@Br × [−r ; 0]) [ (Br × {−r g) bi¶n cõa parabolic. 1 1 C0 (ΩT ) = fu 2 C (ΩT ): u có gi¡ compact trong ΩT g: 1;2 Không gian V2(ΩT ) là tªp hñp c¡c hàm v 2 W (ΩT ) sao cho: 2 1;2 kvkV2(ΩT ) = sup kv(·; t)kL (ΩT ) + kvkW (ΩT ) < 1: 0≤t≤T p n R p 1 o p p L (ΩT ) = u: kukL (ΩT ) = ( Ω juj dxdt) < 1 (1 6 p < 1) 1;p W (ΩT ) là không gian Sobolev với kuk 1;p = kukLp(Ω ) + krukLp(Ω ) 0 W0 (ΩT ) T T 1;p 1;p Ta nói u 2 W0 (Ω) n¸u u 2 W (Ω) và u = 0 tr¶n bi¶n cõa Ω: Chu©n trong không gian BMO (dao động trung b¼nh BMO r§t b²). Z 1 2 [A]BMO = sup sup jA(y; s) − Acr(x;t)j dyds  1: r>0 (x;t) jCrj cr(x;t)
5. Mục lục Giới thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Phương tr¼nh parabolic với h» sè không li¶n tục . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Sự tồn t¤i nghi»m y¸u và bê đ· phõ Vitali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.C¡c đánh gi¡ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.C¡c đánh gi¡ so s¡nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.B§t đẳng thùc d¤ng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.K¸t qu£ ch½nh quy nghi»m địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Phương tr¼nh với h» sè BMO tr¶n mi·n Lipschitz . . . . . . . . . . 22 2.1.Bê đề phõ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.C¡c đánh gi¡ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.C¡c đánh gi¡ so s¡nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.B§t đẳng thùc d¤ng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.K¸t qu£ ch½nh quy nghi»m tr¶n mi·n Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3. Phương tr¼nh với h» sè BMO tr¶n mi·n Reifenberg. . . . . . . . . 41 3.1.Bê đề phõ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.C¡c đánh gi¡ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.C¡c đánh gi¡ so s¡nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.B§t đẳng thùc d¤ng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.K¸t qu£ ch½nh quy nghi»m tr¶n mi·n Reifenberg . . . . . . . . . . . . . . . 59 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6. Giới thi»u Phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng là mët trong nhúng chõ đề được nhi·u nhà to¡n học nghi¶n cùu, mà mët trong c¡c v§n đề cơ b£n nh§t là sự tồn t¤i, duy nh§t và c¡c t½nh ch§t nghi»m. B¶n c¤nh bài to¡n v· sự tồn t¤i và duy nh§t nghi»m cõa phương tr¼nh đạo hàm ri¶ng, th¼ c¡c c¥u hỏi v· t½nh ch½nh quy nghi»m cũng r§t đưñc quan t¥m. Có kh¡ nhi·u phương ph¡p để kh£o s¡t t½nh ch½nh quy nghi»m cõa c¡c lớp phương tr¼nh elliptic [2], [3], [8], [9], [7] hoặc parabolic [14], [15], [11], [5]. G¦n đây, mët sè k¸t qu£ v· chõ đề này cho c¡c phương tr¼nh có d¤ng divergence với h» sè không li¶n tục được nghi¶n cùu tr¶n c¡c mi·n có bi¶n Lipschitz [4] hoặc thỏa điều ki»n Reifenberg [10], [11], [12]. Ý tưởng chùng minh c¡c k¸t qu£ này dựa tr¶n vi»c sû dụng bê đề phõ Vitali và mët sè b§t đẳng thùc có d¤ng “level sets” thông qua c¡c to¡n tû cực đại được nghi¶n cùu nhi·u trong lĩnh vực gi£i t½ch điều háa. Trong luªn v«n này, chúng tôi t¼m hiºu mët sè k¸t qu£ v· t½nh ch½nh quy nghi»m cõa phương tr¼nh parabolic tuy¸n t½nh, có d¤ng divergence với điều ki»n bi¶n Dirichlet như sau 8 <ut − div(Aru) = divf trong ΩT ; : u = 0 tr¶n @pΩT ; trong đó tham sè 1 < p < 1, u = u(x; t) với (x; t) 2 ΩT = Ω × (0;T ] là nghi»m cõa p n phương tr¼nh và f 2 L (ΩT ; R ) là hàm dú li»u cho trước. Đặc bi»t, chúng tôi kh£o s¡t phương tr¼nh này với h» sè A không li¶n tục, nhưng có chu©n BMO nhỏ và thỏa điều ki»n sau: −1 2 T 2 n Λ jξj 6 ξ A(x; t)ξ 6 Λjξj ; 8(x; t) 2 ΩT ; ξ 2 R ; 1
7. 2 với Λ là h¬ng sè dương cho trước. Ch½nh x¡c hơn, chúng tôi tr¼nh bày l¤i c¡c chùng minh cõa t¡c gi£ S.-S. Byun và cëng sự v· k¸t qu£ ch½nh quy cõa nghi»m y¸u phương tr¼nh (1.1) trong ba trường hñp, bao gồm k¸t qu£ ch½nh quy địa phương b¶n trong mi·n x¡c định và k¸t qu£ ch½nh quy toàn cục cho mi·n có bi¶n thỏa m¢n điều ki»n Lipschitz hoặc Reifenberg. Phương ph¡p chung cho c¡c chùng minh này là x¥y dựng b§t đẳng thùc sau đây mà chúng tôi gọi là b§t đẳng thùc d¤ng “level sets”:  2
   2k   (x; t) 2 Q1 : M jruj > N1  k n o X i  2 2 2(k−i)  k  2  6 1  (x; t) 2 Q1 : Mjfj > δ N1  + 1  (x; t) 2 Q1 : Mjruj > 1  ; i=1 với 1 = C, n¸u gi£ thi¸t sau và mët sè gi£ thi¸t tr¶n dú li»u được thỏa m¢n  2
   2   (x; t) 2 ΩT : M jruj > N1  <  jQ1j : Với b§t đẳng thùc d¤ng “level sets” này, t½nh ch½nh quy nghi»m cõa phương tr¼nh (1.1) s³ được chùng minh dựa theo bê đề sau đây: Bê đề 0.1 ([13]). Gi£ sû f là mët hàm không ¥m và đo được trong mi·n Ω bị chặn và hai h¬ng sè θ > 0 và N1 > 0. Khi đó, với 0 < p < 1, p X k
   p k f 2 L (Ω) khi và ch¿ khi S = N1 jfx 2 Ω: f(x) > θN1 gj < 1: (0.1) k>1 Hơn núa, tồn t¤i h¬ng sè dương C ch¿ phụ thuëc vào θ; p; N1 sao cho 1 S kfkp C(jΩj + S): C 6 Lp(Ω) 6 C¡c b§t đẳng thùc d¤ng “level sets” như tr¶n được chùng minh dựa tr¶n mët d¤ng bê đề phõ Vitali được x¥y dựng l¤i trong méi trường hñp tương ùng với tøng gi£ thi¸t kh¡c nhau cõa bài to¡n. Ngoài ra, vi»c chùng minh c¡c b§t đẳng thùc này cán dựa tr¶n mët sè đánh gi¡ địa phương cho nghi»m y¸u cõa phương tr¼nh (1.1) và c¡c đánh gi¡ v· sự sai kh¡c giúa nghi»m này với nghi»m cõa phương tr¼nh thu¦n nh§t tương ùng. C¡c đánh gi¡ địa phương cho nghi»m y¸u cõa phương tr¼nh thường là c¡c d¤ng đánh gi¡ cê điển như sau 2  2 2  ku − u k 2 C kruk 2 + kfk 2 : Q1 L (Q1) 6 L (Q1) L (Q1)
8. 3 V· đánh gi¡ so s¡nh, chúng tôi chùng minh l¤i k¸t qu£ với  > 0 tùy ý, tồn t¤i δ > 0 sao cho n¸u v là nghi»m y¸u cõa phương tr¼nh thu¦n nh§t
   vt − div AQ4 rv = 0 trong Q4; và c¡c hàm dú li»u thỏa m¢n Z Z 1 2 1  2  2 2 jruj dxdt 6 1 và jfj + A − AQ5  dxdt 6 δ ; jQ5j Q5 jQ5j Q5 th¼ ta thu được đánh gi¡ so s¡nh dưới d¤ng: 2 2 ku − vk 1;2  : W∗ (Q2) 6 Dựa theo c¡c ý tưởng này, chúng tôi ph¥n chia chùng minh k¸t qu£ ch½nh v· t½nh ch½nh quy nghi»m cõa phương tr¼nh parabolic thành nhi·u công đoạn nhỏ, bao gồm vi»c x¥y dựng l¤i bê đề phõ Vitali, c¡c đánh gi¡ địa phương, c¡c đánh gi¡ so s¡nh và b§t đẳng thùc d¤ng “level sets”. C¡c bước chùng minh này có sự kh¡c nhau đôi chút khi x²t bài to¡n tr¶n c¡c gi£ thi¸t kh¡c nhau. C¡c k¸t qu£ tham kh£o chõ y¸u trong c¡c bài b¡o cõa S.-S. Byun và L. Wang [4], [5], [10], [11]. Luªn v«n được tr¼nh bày theo ba chương: Chương 1. Phương tr¼nh parabolic với h» sè không li¶n tục. Chương này kh£o s¡t t½nh ch½nh quy nghi»m cõa phương tr¼nh parabolic với h» sè thỏa điều ki»n BMO. Chúng tôi chùng minh k¸t qu£ ch½nh quy nghi»m địa phương b¶n trong mi·n Ω. Kỹ thuªt ch½nh cõa chùng minh dựa tr¶n mët d¤ng cõa bê đề phõ Vitali, được x¥y dựng l¤i cho trường hñp parabolic và c¡c b§t đẳng thùc d¤ng “level sets”. Chúng tôi nh­n m¤nh r¬ng chương này kh£o s¡t t½nh ch½nh quy nghi»m địa phương cõa phương tr¼nh tr¶n c¡c tªp QR, do đó không c¦n gi£ thi¸t v· bi¶n cõa mi·n ΩT . Chương 2. Phương tr¼nh với h» sè BMO tr¶n mi·n Lipschitz. Chương này kh£o s¡t t½nh ch½nh quy nghi»m toàn cục cõa phương tr¼nh parabolic với điều ki»n BMO và điều ki»n bi¶n Dirichlet tr¶n mi·n x¡c định có bi¶n Lipschitz. C¡c k¸t qu£ v· ch½nh quy nghi»m địa phương được chùng minh tương tự Chương 1. Tuy nhi¶n, với gi£ thi¸t bi¶n cõa mi·n x¡c định là Lipschitz, mët sè đánh gi¡ g¦n bi¶n c¦n được xû lý kh¡c đi. Chương 3. Phương tr¼nh với h» sè BMO tr¶n mi·n Reifenberg. Chưng này chúng tôi ti¸p tục kh£o s¡t t½nh ch½nh quy nghi»m toàn cục tr¶n mi·n có bi¶n thỏa điều ki»n Reifenberg. Chú ý r¬ng mi·n Reifenberg y¸u hơn mi·n Lipschitz.
9. Chương 1 Phương tr¼nh parabolic với h» sè không li¶n tục Trong chương này, ta s³ x²t t½nh ch½nh quy nghi»m cõa phương tr¼nh parabolic d¤ng 1;p divergence tr¶n không gian W∗ với 1 < p < 1. Cụ thº, chúng tôi t¼m hiºu mët sè k¸t qu£ v· t½nh ch½nh quy nghi»m cõa phương tr¼nh parabolic tuy¸n t½nh, có d¤ng divergence với điều ki»n bi¶n Dirichlet như sau 8 <ut − div(Aru) = divf trong ΩT ; (1.1) : u = 0 tr¶n @pΩT ; trong đó u = u(x; t) với (x; t) 2 ΩT = Ω × (0;T ] là nghi»m cõa phương tr¼nh và p n f 2 L (ΩT ; R ) là hàm dú li»u cho trước. Đặc bi»t, chúng tôi kh£o s¡t phương tr¼nh này với h» sè A không li¶n tục, nhưng có chu©n BMO nhỏ và thỏa điều ki»n sau: −1 2 T 2 n Λ jξj 6 ξ A(x; t)ξ 6 Λjξj ; 8(x; t) 2 ΩT ; ξ 2 R ; (1.2) @ với Λ là h¬ng sè dương cho trước. Khi A thỏa m¢n đi·u ki»n (1.2), ta nói P = − @t @i(aij@j) là mët to¡n tû parabolic đều. K¸t qu£ v· sự tồn t¤i và duy nh§t cõa nghi»m y¸u phương tr¼nh này là cê điển, được chúng tôi nh­c l¤i và không chùng minh ở mục ti¸p theo. Chùng minh định lý ch½nh v· t½nh ch½nh quy nghi»m địa phương được chia thành nhi·u bước, tương ùng với c¡c mục b¶n dưới. 4
10. 5 1.1. Sự tồn t¤i nghi»m y¸u và bê đề phõ Vitali Định nghĩa 1.1. Ta nói u 2 V2(ΩT ) là mët nghi»m y¸u cõa phương tr¼nh (1.1) n¸u 1 với mọi ' 2 C0 (ΩT ), Z Z Z − u'tdxdt + Aru · r'dxdt = − f · r'dxdt: ΩT ΩT ΩT 2 n Định lý 1.2 ([4]). N¸u điều ki»n (1.2) được thỏa m¢n và f 2 L (ΩT ; R ) th¼ tồn t¤i mët nghi»m y¸u duy nh§t cõa phương tr¼nh (1.1). 1;p 1;p Định nghĩa 1.3. Cho 1 < p < 1, ta nói u 2 W∗ (ΩT ) n¸u u 2 W0 (ΩT ) và tồn t¤i p n p hàm F 2 L (ΩT ; R ) và g 2 L (ΩT ) sao cho ut = divF − g trong ΩT theo nghĩa ph¥n phèi, nghĩa là Z Z 1 u'tdxdt = (F · r' + g')dxdt; 8' 2 C0 (ΩT ): ΩT ΩT Hơn núa, ta x¡c định chu©n sau 1  p p p p  p kuk 1;p = kuk p + kruk p + kFk p n + kgk p : W∗ (ΩT ) L (ΩT ) L (ΩT ) L (ΩT ;R ) L (ΩT ) 1; 1 Không gian H 2 (Ω1) với Ω1 = Ω × (−∞; 1); bao gồm t§t c£ c¡c ph¦n tû u cõa 1 H0 (Ω1) sao cho t½ch ph¥n sau húu h¤n 1 Z 1  2 −2 2 jkukj = h ku(:; : + h) − u(:; :)k 2 dh : Ω1 L (Ω1) 0 1;2 Định lý 1.4 ([4]). Nghi»m y¸u u cõa phương tr¼nh (1.1) thuëc không gian W∗ (ΩT ) với đánh gi¡   kuk 1;2 ≤ C kuk 2 + kfk 2 : W∗ (ΩT ) L (ΩT ) L (ΩT ) Trong c¡c mục ti¸p theo, chúng tôi x²t phương tr¼nh ut − div(Aru) = divf (1.3) tr¶n QR với R > 0 và đánh gi¡ t½nh ch½nh quy nghi»m cõa phương tr¼nh này. Trước h¸t, chúng tôi nh­c l¤i bê đề phõ Vitali têng qu¡t và chùng minh mët d¤ng bê đề phõ Vitali cho trường hñp parabolic.