Luận văn Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE Chuyên ngành: Toán giải Tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với tên đề tài: “Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng Divergence” là do tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo. TP. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như
4. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy TS. Nguyễn Thành Nhân đã hướng dẫn tôi hết sức tận tình và đầy nhiệt tâm trong suốt quá trình viết luận văn. Những nhận xét và đánh giá của thầy, đặc biệt là những gợi ý về hướng giải quyết vấn đề trong suốt quá trình nghiên cứu, thực sự là những bài học vô cùng quý giá đối với tôi không chỉ trong quá trình viết luận văn mà cả trong hoạt động nghiên cứu chuyên môn sau này. Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, các thầy cô giáo trong bộ môn Toán cùng quý thầy cô giáo đã tận tình truyền đạt kiến thức trong thời gian tôi học tập và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài. Cuối cùng tôi kính chúc quý thầy, cô giáo dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp cao quý. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan ..................................................................................................... 1 Lời cảm ơn ......................................................................................................... 2 Mục lục .............................................................................................................. 3 Danh mục các kí hiệu ........................................................................................ 4 MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU .............................................. 4 1.1. Tính giải được của bài toán divergence .................................................. 4 1.2. Định nghĩa một số miền có liên quan ...................................................... 6 1.3. Một số kết quả tương đương trong các miền chính quy ......................... 7 Chương 2. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN HOLDER-휶 ......... 9 2.1. Bất đẳng thức dạng Korn trên miền Holder-훂 ........................................ 9 2.2. Nghiệm của bài toán divergence trong miền Holder-훂 ......................... 13 2.2.1. Hàm trọng bên trái ........................................................................... 14 2.2.2. Hàm trọng ở cả hai bên ................................................................... 16 2.3. Một số miền Holder-훂 đặc biệt với đỉnh bên ngoài .............................. 17 Chương 3. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN CHÍNH QUY ..... 22 3.1. Lớp hàm Muckenhoupt 퐀퐩 ................................................................... 22 3.2. Toán tử divergence có trọng trên miền hình sao ................................... 22 Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG ............................................................... 28 4.1. Sự tương đương với bất đẳng thức Korn ............................................... 28 4.1.1. Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn .......................... 30 4.1.2. Bất đẳng thức Korn kéo theo bài toán divergence .......................... 31 4.2. Ứng dụng vào phương trình Stokes ....................................................... 33 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 39
6. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Div u / ∇ . u divergence của hàm vector u 휕Ω biên của miền Ω 휕u đạo hàm của hàm u Diam 퐹 đường kính của tập 퐹 rot/curl rota của trường vector ∆u toán tử Laplace của hàm vector u ∇u gradient của hàm vector u ∇u ∶ ∇ũ tích tensor của u và ũ ℝ≥0 tập hợp các số thực không âm ℝ>0 tập hợp các số thực dương 푠 u support của hàm u các lớp hàm Muckenhoupt 푊1, (Ω, 휔) không gian Sobolev có hàm trọng 퐿 (Ω, 휔) không gian Lebesgue có hàm trọng 2 2 퐿0(훀) không gian 퐿 với tích phân bằng 0 1 1 퐿푙표 (훀) không gian 퐿 khả tích địa phương 2×2 퐿푠 (Ω, 훾) không gian con của tensơ đối xứng của không gian 퐿 (Ω, 훾)2×2 ‖.‖ , ̅̅̅∞̅̅̅̅̅̅ 푊 , (훀) ∞ , 푊0 (Ω) := 0 (Ω) bao đóng của 0 (Ω) trong 푊 (Ω) 푊 ,2(훀) ≔ (훀) 1 푛 1 1 1 H0(Ω) = ⏟ 0 × 0 × ⋯ × 0 n lần
7. 1 MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng rộng rãi của nó. Các phương trình này thường được xây dựng từ các mô hình thực tế nên đôi khi phức tạp và chưa tìm được nghiệm giải tích. Thay cho việc tìm nghiệm của phương trình này, các đánh giá định tính về sự tồn tại, cấu trúc tập nghiệm, các tính chất về dáng điệu tiệm cận, sự ổn định, tính chính quy của nghiệm trở nên có ích. Một trong các lớp phương trình đạo hàm riêng cơ bản được khảo sát là phương trình dạng divergence. Luận văn này tập trung khảo sát một số kết quả chính quy nghiệm của phương trình đạo hàm riêng dạng divergence. Các kết quả này có thể ứng dụng vào phương trình Stokes. Mục tiêu thứ nhất của đề tài là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình div u = trong không gian Sobolev có trọng trên một số miền đặc biệt, có biên không trơn. 푛 Cụ thể, với Ω ⊂ ℝ là miền bị chặn, ta muốn tìm hàm trọng 휔1và 휔2 sao cho với mọi ∈ 퐿 (Ω, 휔2) có tích phân bằng không, tồn tại một 1, 푛 nghiệm u ∈ 푊0 (Ω, 휔1) của div u = thỏa mãn ‖u‖ 1, 푛 ≤ ‖ ‖ , 푊 (Ω,휔1) 퐿 (Ω,휔2) với là hằng số dương chỉ phụ thuộc Ω, , 휔1, 휔2. 푛 Trong đó, với hàm trọng 휔 ∶ ℝ → ℝ≥0 là hàm khả tích địa phương, không gian Lebesgue có trọng 퐿 (Ω, 휔) ứng với chuẩn 1 ‖ ‖ = | ( )| ( ) 휑 퐿 (Ω,휔) (∫Ω 휑 휔 ) ,
8. 2 và không gian Sobolev có trọng 푊1, (Ω, 휔) ứng với chuẩn 1 1 푛 ( ) 휕휑 ‖휑‖푊 (Ω,휔) = (∫ |휑( )| 휔( ) ) + (∑ ∫ | | 휔( ) ) . 휕 푖 Ω 푖=1 Ω 1, ∞ 1, Ta kí hiệu 푊0 (Ω, 휔1) là bao đóng của 0 (Ω) trong 푊 (Ω, 휔). Mục tiêu thứ hai là ứng dụng các kết quả tìm được trong không gian có hàm trọng vào việc đánh giá tính chính quy nghiệm của phương trình Stokes và bất đẳng thức Korn. Trong luận văn này, tác giả sẽ đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách chi tiết một số bài báo khoa học liên quan đến tính chính quy nghiệm của phương trình divergence. Từ đó hướng đến một vài ý tưởng mở rộng kết quả dựa trên các nghiên cứu đã được công bố gần đây. Công việc đòi hỏi phải vận dụng các kiến thức đã học về phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và giải tích hàm. Nội dung luận văn tập trung khảo sát một số kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình dạng divergence cùng với một số ứng dụng. Luận văn được trình bày gồm 4 chương: Chương 1. Khái quát và ký hiệu. Nội dung chương 1 trình bày về phương trình divergence, trong đó với một số định nghĩa cơ bản về không gian có hàm trọng, một số miền như miền Lipschitz, miền hình sao, miền John, miền Holder-훼, bất đẳng thức Korn, bổ đề Lions để làm tiền đề sử dụng cho các chương tiếp theo. Nội dung chương 1 được tham khảo trong tài liệu [1], [3], [5]. Chương 2. Nghiệm có trọng của bài toán divergence trên miền phẳng. Nội dung chương 2 là nội dung chính của luận văn này giới thiệu về nghiệm của phương trình Divergence trên miền Holder-훼, hàm trọng bên trái, hàm trọng ở cả hai bên và một số miền Holder-훼 đặc biệt với
9. 3 đỉnh bên ngoài. Nội dung chương 2 được tham khảo trong tài liệu [1], [2], [5]. Chương 3. Nghiệm có trọng của bài toán divergence trên miền chính quy. Chương 3 giới thiệu về Lớp hàm Muckenhoupt , toán tử Divergence có trọng trên miền hình sao. Nội dung chương 3 được tham khảo trong tài liệu [6]. Chương 4. Một số ứng dụng. Cuối cùng ta nói về sự tương đương giữa bất đẳng thức Korn và bài toán Divergence có trọng tổng quát, bài toán Divergence kéo theo bất đẳng thức Korn, bất đẳng thức korn kéo theo bài toán Divergence và ứng dụng vào phương trình Stokes. Nội dung chương 4 được tham khảo trong tài liệu [2], [4], [7].
10. 4 Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn này ta nói về tính giải được của bài toán divergence trong không gian Sobolev có trọng với miền bị chặn. Ta giới thiệu các định nghĩa về hàm trọng, không gian Sobolev có hàm trọng, tập m-chính quy, mặt nón, miền Lipschitz, miền hình sao ứng với quả cầu, miền John, miền Holder−훼, bổ đề Korn, bổ đề Lions. 1.1. Tính giải được của bài toán divergence n Cho Ω ⊂ ℝ là một miền bị chặn và 1 < p < ∞. Ta nói rằng (div)p là giải 1,p n được trong Ω nếu tồn tại một nghiệm u ∈ W0 (Ω) của phương trình div u = , (1.1) với ∈ 퐿 (Ω) có trung bình tích phân bằng 0, sao cho ‖u‖ 1, 푊0 (Ω) ≤ ‖ ‖퐿 (Ω), (1.2) với hằng số chỉ phụ thuộc Ω và . Bây giờ ta sẽ giới thiệu không gian Sobolev có hàm trọng. Định nghĩa 1.1 ([5]) Ta nói hàm 휔 trong ℝ푛 là một hàm trọng nếu nó khả tích địa phương và nhận giá trị trong (0, ∞) hầu khắp nơi. Vì thế, hàm trọng chỉ có thể bằng không trong tập Lebesgue có độ đo không. Cho một tập Ω ⊂ ℝ푛, không gian Lebesgue có hàm trọng 퐿 (Ω, 휔) với 1 < < ∞ là không gian có các hàm khả tích địa phương 휑: Ω → ℝ được trang bị chuẩn như sau 1 ‖ ‖ | ( )| ( )d . 휑 퐿 (Ω,휔) = (∫Ω 휑 휔 ) 푛 Tương tự, cho hàm trọng 휔1, 휔2 ∶ ℝ → [0, ∞] ta định nghĩa không gian Sobolev có hàm trọng như sau