Luận văn Một số định lý giới hạn trong lý thuyết Martingale

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số định lý giới hạn trong lý thuyết Martingale

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MËT SÈ ĐỊNH LÝ GIÎI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC Hà Nëi - N«m 2018
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MËT SÈ ĐỊNH LÝ GIÎI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Chuy¶n ngành: Lý thuy¸t x¡c su§t và thèng k¶ to¡n học M¢ sè: 8460112.02. LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC GS. TSKH. Đặng Hùng Th­ng Hà Nëi - N«m 2018
3. Mục lục Lời c£m ơn 2 Danh s¡ch ký hi»u 3 Lời nói đầu 4 Chương 1. Martingale và c¡c b§t đẳng thùc cơ b£n 7 1.1 Martingale và c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Định nghĩa Martingale và c¡c v½ dụ . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 C¡c b§t đẳng thùc cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Mët sè b§t đẳng thùc cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 B§t đẳng thùc hàm b¼nh phương . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Luªt sè lớn và c¡c định lý hëi tụ 22 2.1 Định lý hëi tụ martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Luªt sè lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Luªt sè lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Luªt m¤nh sè lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Hëi tụ trong Lp ........................... 35 Chương 3. Định lý giới h¤n trung t¥m 46 3.1 Hëi tụ L1− y¸u, hëi tụ ên định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Tèc độ hëi tụ trong định lý giới h¤n trung t¥m . . . . . . . . . . 53 K¸t luªn 60 Tài li»u tham kh£o 61 1
4. Lời c£m ơn Với t¼nh c£m ch¥n thành, em xin được bày tỏ láng bi¸t ơn đến trường Đại học Khoa học tự nhi¶n - Đại học Quèc Gia Hà Nëi, Pháng Đào t¤o Sau Фi học, Khoa To¡n - Cơ - Tin học cùng c¡c qu½ th¦y cô gi¡o đã tªn t¼nh hướng d¨n, t¤o mọi điều ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp, nghi¶n cùu và hoàn thành khóa luªn. Đặc bi»t, em xin bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đến GS.TSKH Đặng Hùng Th­ng, chõ nhi»m bë môn X¡c su§t và thèng k¶ to¡n học, Khoa To¡n - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhi¶n - Đại học Quèc Gia Hà Nëi, người Th¦y đã trực ti¸p gi£ng d¤y, hướng d¨n khoa học cho em. Xin được c£m ơn l¢nh đạo ch¿ huy Học vi»n Pháng Không - Không Qu¥n, l¢nh đạo ch¿ huy Pháng Qu£n Lý học vi¶n Đoàn 871 Têng cục ch½nh trị - Bë Quèc Pháng, cùng c¡c đồng nghi»p, người th¥n trong gia đình, b¤n b± th¥n thi¸t đã động vi¶n giúp đỡ, t¤o mọi điều ki»n thuªn lñi để tôi hoàn thành nhi»m vụ học tªp n¥ng cao tr¼nh độ chuy¶n môn cõa m¼nh. Dù t¡c gi£ đ¢ r§t cè g­ng, song luªn v«n không thº tr¡nh khỏi nhúng thi¸u sót. K½nh mong nhªn được sự góp ý, ch¿ d¨n cõa qu½ th¦y, cô gi¡o, c¡c b¤n đồng nghi»p và nhúng người quan t¥m tới đề tài nghi¶n cùu. Xin ch¥n thành c£m ơn! Hà Nëi, ngày 15 th¡ng 12 n«m 2018 Học vi¶n Dương Thị Ánh Tuy¸t 2
5. Danh s¡ch ký hi»u jj:jjp Chu©n cõa không gian Banach Lp (Xn) D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n # Gi£m h.c.c H¦u ch­c ch­n !d Hëi tụ theo ph¥n phèi p ! Hëi tụ theo x¡c su§t (Ω; F ;P ) Không gian x¡c su§t p Lp Tªp c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n X sao cho EjXj < 1 p L p Tªp hñp c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n X sao cho EjXj < 1 " T«ng 3
6. Lời nói đầu C¡i t¶n martingale đã được Ville đưa vào trong ngôn ngú x¡c su§t hi»n đại (1939) và chõ đề này được làm nêi bªt qua c¡c công tr¼nh cõa Doob trong nhúng n«m 1940 và đầu nhúng n«m 1950. Lý thuy¸t Martingale, gièng như lý thuy¸t x¡c su§t, b­t nguồn tø trá chơi cờ b¤c, nay trở thành mët lo¤i qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n có r§t nhi·u ùng dụng v· lý thuy¸t cũng như thực ti¹n, đặc bi»t là mët công cụ không thº thi¸u trong t½nh to¡n ng¨u nhi¶n và to¡n học trong tài ch½nh. Thªt ra, thuªt ngú martingale đã có mët lịch sû l¥u dài trong trá chơi cờ b¤c, khi đó ban đầu nó có nghĩa là mët h» thèng để bù đắp tên th§t b¬ng c¡ch t«ng g§p đôi ti·n thưởng sau méi m§t m¡t. Tø điển ti¸ng Anh cõa Oxford b­t đầu sû dụng thuªt ngú này tø n«m 1815. Kh¡i ni»m hi»n đại ½t nh§t có trong mët tài li»u tham kh£o trong Bachelier (1900). C¡c nghi¶n cùu v· lý thuy¸t martingale bởi Bernstein (1927, 1939, 1940, 1941) và L²vy (1935a, b, 1937) có trước khi sû dụng t¶n martingale. C¡c t¡c gi£ này giới thi»u martingale dưới d¤ng c¡c têng li¶n ti¸p để têng qu¡t ho¡ c¡c k¸t qu£ giới h¤n cho têng cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n độc lªp. Tuy nhi¶n, công tr¼nh ti¸p theo cõa Doob, bao gồm c£ vi»c kh¡m ph¡ ra định lý hëi tụ martingale, đã hoàn toàn thay đổi hướng cõa đề tài. Cuèn s¡ch cõa ông (1953) v¨n là mët £nh hưởng lớn trong g¦n ba thªp ni¶n. Ch¿ mới g¦n đây có sự hồi sinh quan t¥m thực sự và c¡c ho¤t động trong lĩnh vực lý thuy¸t giới h¤n martingale mà đề cªp tới vi»c têng qu¡t hóa c¡c k¸t qu£ cho têng cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n độc lªp. Lý thuy¸t x¡c su§t nói chung, lý thuy¸t martingale nói ri¶ng đóng góp mët vai trá vô cùng quan trọng trong sự ph¡t triºn chung cõa to¡n học hi»n đại. Nó 4
7. ch½nh là mët nghành to¡n học lớn, vøa có t¦m lý thuy¸t ở tr¼nh độ cao, đáp ùng đầy đủ c¡c ti¶u chu©n chặt ch³ ch½nh x¡c cõa to¡n học thu¦n túy đồng thời l¤i có ph¤m vi ùng dụng h¸t sùc rëng r¢i trong khoa học tự nhi¶n, khoa học x¢ hëi, công ngh», kinh t¸, y sinh học... Với t½nh ùng dụng cao như vªy, martingale là mët m£ng r§t đáng được quan t¥m nghi¶n cùu và ph¡t triºn s¥u rëng hơn núa. Tuy nhi¶n, với vèn ki¸n thùc h¸t sùc h¤n hẹp cõa m¼nh v· chuy¶n nghành Lý thuy¸t x¡c su§t và thèng k¶ to¡n học, t¡c gi£ cũng đã r§t cè g­ng học hỏi, t¼m tái, cùng với sự hướng d¨n, ch¿ b£o vô cùng tªn t¼nh tø Th¦y hướng d¨n, t¡c gi£ xin được tr¼nh bày k¸t qu£ t¼m hiºu được cõa m¼nh thông qua luªn v«n mang t¶n: Mët sè định lý giới h¤n trong lý thuy¸t Martingale. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n được chia làm 3 chương. Cụ thº: Chương 1: Martingale và c¡c b§t đẳng thùc cơ b£n. Nëi dung chương 1 cõa luªn v«n không chọn tr¼nh bày l¤i mët sè ki¸n thùc cơ b£n cũng như mët sè c¡c k¸t qua đã được học tªp, nghi¶n cùu trong c¡c môn học trong chương tr¼nh đào t¤o th¤c sĩ To¡n học chuy¶n nghành X¡c su§t và thèng k¶ to¡n học mà tªp trung chõ y¸u tr¼nh bày mët sè ki¸n thùc cơ b£n nh§t trong lý thuy¸t Martingale. Đó là định nghĩa martingale, mët sè v½ dụ, t½nh ch§t cõa nó và c¡c b§t đẳng thùc cơ b£n li¶n quan như: B§t đẳng thùc Doob, B§t đẳng thùc c­t ngang, B§t đẳng thùc Burkholder, B§t đẳng thùc Rosenthal.. Ti¸p theo, nëi dung chương 2: Luªt só lớn và c¡c định lý hëi tụ. Bè cục chương này được tr¼nh bày chi ti¸t như sau: 2.1. Định lý hëi tụ Martingale 2.2. Luªt sè lớn 2.2.1. Luªt sè lớn 2.2.2. Luªt m¤nh sè lớn 2.3 Hëi tụ trong Lp. Đó cũng ch½nh là nhúng nëi dung trọng t¥m cõa chương này.Ð đây, h¦u h¸t c¡c chùng minh cõa c¡c định lý hôi tụ Martingale dựa tr¶n mët sè mở rëng 5
8. cõa c¡c b§t đẳng thùc, và c¡c b§t đẳng thùc thi¸t lªp ở đây s³ được sû dụng nhi·u l¦n trong ph¦n sau. Trong chương này t¡c gi£ ¡p dụng chúng để chùng minh luªt sè lớn và ch¿ tr¼nh bày c¡c công cụ cơ b£n. Sau cùng chương 3: Định lý giới h¤n trung t¥m. Trọng t¥m chương 3 giới thi»u định lý giới h¤n trung t¥m và tèc độ hëi tụ trong định lý giới h¤n trung t¥m . B£n ch§t martingale cũng là mët d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n thỏa m¢n mët sè điều ki»n đặc bi»t. Lý thuy¸t v· sự hëi tụ cõa d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n, luªt sè lớn, luªt m¤nh sè lớn, định lý giới h¤n trung tâm..có l³ đã ko cán qu¡ xa l¤ trong lý thuy¸t x¡c su§t. Và h¢y cùng t¼m hiºu chút kh¡c bi»t lý thú cõa chúng qua ngôn ngú mới, ngôn ngú martingale. 6
9. Chương 1 Martingale và c¡c b§t đẳng thùc cơ b£n 1.1 Martingale và c¡c t½nh ch§t 1.1.1 Định nghĩa Martingale và c¡c v½ dụ Gi£ sû (Ω; F ;P ) là không gian x¡c su§t, G ⊂ F là σ−trường con cõa F . Mët bi¸n ng¨u nhi¶n X được gọi là tương th½ch với G n¸u X là G −đo được. Trong trường hñp §y, ta vi¸t X 2 G . Mët d¢y Fn; n = 1; 2; ::: được gọi là mët d¢y t«ng c¡c σ− trường n¸u Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F ; 8n 1. Cho d¢y t«ng c¡c σ− trường Fn. D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n (Xn) được gọi là tương th½ch với d¢y Fn n¸u với méi n; Xn 2 Fn: 2. D¢y (Xn) được gọi là thuëc Lp và ta vi¸t (Xn) 2 Lp n¸u với mọi n th¼ p EjXnj < 1: 3. D¢y Xn 2 L1 được gọi là mët martingale đối với d¢y Fn n¸u nó tương th½ch với d¢y Fn và với mọi m < n th¼ E(XnjFm) = Xm: K½ hi»u: martingale fXn; Fng 7
10. 4. D¢y Xn 2 L1 được gọi là mët supermartingale (martingale tr¶n) đối với d¢y Fn n¸u nó tương th½ch với d¢y Fn và với mọi m < n th¼ E(XnjFm) 6 Xm: 5. D¢y Xn 2 L1 được gọi là mët submartingale (martingale dưới) đối với d¢y Fn n¸u nó tương th½ch với d¢y Fn và với mọi m < n th¼ E(XnjFm) > Xm: Chú ý: 1. Điều ki»n E(XnjFm) = Xm: Tương đương với E(Xn+1jFn) = Xn: Thªt vªy, do Fn ⊂ Fn+1 n¶n theo t½nh ch§t cõa kỳ vọng có điều ki»n th¼ E(Xn+2jFn) = E(E(Xn+2jFn+1)jFn) = E(Xn+1jFn) = Xn: Ti¸p tục như vªy, b¬ng quy n¤p ta có với mọi k th¼ E(Xn+kjFn) = Xn: Tương tự cho c¡c điều ki»n E(XnjFm) 6 Xm và E(XnjFm) > Xm: 2. D¢y(Xn) là martingale tr¶n đối với d¢y Fn khi và ch¿ khi −Xn là martin- gale dưới đối với d¢y Fn 3. Gi£ sû σ(X)n là trường b² nh§t sinh bởi fXm; m 6 ng . Hiºn nhi¶n d¢y (σ(X)n) là mët d¢y t«ng và ta gọi nó là σ− trường tự nhi¶n sinh bởi d¢y (Xn). Hiºn nhi¶n d¢y (Xn) luôn tương th½ch với d¢y (σ(X)n). Ta nói (Xn) là mët martingale n¸u nó là mët martingale đối với σ−trường tự nhi¶n. 8