Luận văn Một số biểu diễn Cuspidal của nhóm Gl₂ trên trường P-Adic

Nội dung tài liệu: Luận văn Một số biểu diễn Cuspidal của nhóm Gl₂ trên trường P-Adic

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN Nguy¹n Thị Thu Hà MËT SÈ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÂM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Hà Nëi - N«m 2019
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN Nguy¹n Thị Thu Hà MËT SÈ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÂM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC Chuy¶n ngành: Đại sè và lý thuy¸t sè M¢ sè: 8460101.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC TS. ĐỖ VIỆT CƯỜNG Hà Nëi - N«m 2019
3. Mục lục 1 Giới thi»u 3 2 Định gi¡ và trường địa phương 6 3 C¡c `- nhóm 15 4 Lý thuy¸t biºu di¹n cõa c¡c `-nhóm 25 5 Độ đo Haar 35 6 Mët vài t½nh ch§t cõa nhóm GLr 43 7 Biºu di¹n h¤n ch¸ và biºu di¹n c£m sinh 57 8 Biºu di¹n c£m sinh parabolic và môđun Jacquet 62 p q 9 C¡c biºu di¹n cõa nhóm GL2 Fp 66 p q 10 C¡c biºu di¹n cuspidal độ s¥u 0 cõa GL2 Qp 82 1
4. Lời c£m ơn Để hoàn thành qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu và hoàn thi»n luªn v«n này, lời đầu ti¶n t¡c gi£ xin ch¥n thành c£m ơn s¥u s­c đến TS. Đỗ Vi»t Cường, c¡n bë khoa To¡n - Cơ - Tin Học – trường Đại Học Khoa Học Tự Nhi¶n - Đại học Quèc gia Hà Nëi. Th¦y đã trực ti¸p ch¿ b£o và hướng d¨n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu để t¡c gi£ hoàn thi»n luªn v«n này. Ngoài ra t¡c gi£ xin ch¥n thành c£m ơn c¡c th¦y, cô trong khoa Toán-Cơ-Tin Học đã t¤o điều ki»n và đóng góp nhúng ý ki¸n quý b¡u để t¡c gi£ hoàn thành khóa học và b£n luªn v«n này. Cuèi cùng t¡c gi£ xin được gûi lời c£m ơn ch¥n thành tới gia đình, b¤n b±, người th¥n đã luôn động vi¶n, cê vũ, t¤o mọi điều ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh học tªp và hoàn thành luªn v«n. 2
5. 1 Giới thi»u Lý thuy¸t biºu di¹n cõa c¡c nhóm p-adic là mët hướng nghi¶n cùu hi»n đang được r§t nhi·u nhà to¡n học quan t¥m. Mët trong nhúng lý do thúc đẩy vi»c nghi¶n cùu c¡c biºu di¹n cõa c¡c nhóm p-adic xu§t ph¡t tø chương tr¼nh Langlands. Người ta muèn x¥y dựng mët mèi li¶n h» giúa c¡c d¤ng tự đẳng c§u và c¡c biºu di¹n cõa c¡c nhóm adelic mà c¡c biºu di¹n cõa c¡c nhóm p-adic đóng vai trá như c¡c thành ph¦n địa phương cõa chúng. Mët trong nhúng điều đặc bi»t quan trọng và mới cõa c¡c nhóm p-adics (so với c¡c nhóm thực) đó là sự tồn t¤i cõa c¡c biºu di¹n cuspidal. Chúng ta s³ th§y r¬ng c¡c biºu di¹n cuspidal có vai trá như nhúng “vi¶n g¤ch” dùng để x¥y dựng t§t c£ c¡c biºu di¹n b§t kh£ quy ch§p nhªn được cõa c¡c nhóm p-adic. Bushnell và Kutzko trong quyºn s¡ch cõa m¼nh [BK93] đã x¥y dựng h¸t t§t c£ c¡c biºu di¹n cuspidal cõa GLrpF q (với F là mët trường p-adic). C¡c biºu di¹n cuspidal được x¥y dựng c£m sinh tø biºu di¹n húu h¤n chi·u (đặc bi»t nào đó) cõa c¡c nhóm con mở compact. Mục ti¶u cõa bài vi¸t này là mô t£ l¤i c¡ch x¥y dựng đó cho trường hñp đơn gi£n nh§t. C¡c biºu di¹n p q p q cuspidal GL2 Qp được x¥y dựng tø c¡c biºu di¹n cuspidal cõa GL2 Fp (được xem  p q như là mët biºu di¹n cõa nhóm con mở compact K0 : GL2 Zp thông qua ph²p chi¸u p q Ñ p q ch½nh t­c GL2 Zp GL2 Fp ). Nhúng biºu di¹n này được gọi là biºu di¹n cuspidal p q độ s¥u 0 cõa GL2 Qp . C¡c k¸t qu£ trong luªn v«n đều là nhúng k¸t qu£ đã bi¸t, đóng góp cõa t¡c gi£ là têng hñp, tr¼nh bày l¤i c¡c k¸t qu£ này và chi ti¸t hóa chúng sao cho d¹ ti¸p cªn và logic nh§t có thº. Để luªn v«n có độ dài vøa ph£i, t¡c gi£ sû dụng mët c¡ch tự do c¡c k¸t qu£ cõa lý thuy¸t biºu di¹n cõa c¡c nhóm húu h¤n (như lý thuy¸t đặc trưng, ...) mà không c¦n ph£i nh­c l¤i. Luªn v«n được tr¼nh bày như sau: • Mục 2: Chúng ta nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m v· định gi¡ và trường địa phương. Trong mục này chúng ta định nghĩa th¸ nào là mët trường p- adic và c¡c t½nh ch§t cõa nó. Đồng thời ta cũng có được c¡ch biºu di¹n mët ph¦n tû cõa trường p-adic. • Mục 3: Chúng ta nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m v· `- nhóm têng qu¡t. C¡c nhóm GLrpF q mà chúng ta quan t¥m ch½nh là c¡c `-nhóm. • Mục 4: Do c¡c nhóm GLrpF q là c¡c nhóm tôpô n¶n ta cũng c¦n nghi¶n cùu nhúng biºu di¹n nhóm tương th½ch với c§u trúc tôpô đó. Trong mục này chúng ta n¶u 3
6. ra c¡c định nghĩa cõa biºu di¹n trơn, biºu di¹n b§t kh£ quy, biºu di¹n ch§p nhªn được, cũng như bê đề Schur, ... trong mët ngú c£nh mới (so với kh¡i ni»m biºu di¹n cõa nhóm húu h¤n). • Mục 5: Được dùng để định nghĩa độ đo Haar, mët độ đo đặc bi»t cõa không gian compact địa phương. Kh¡i ni»m v· nhóm đơn modular cũng như đặc trưng modular cũng được đề cªp trong mục này. • Mục 6: Được dùng để nghi¶n cùu kĩ hơn v· nhóm GLrpF q. Trong mục này chúng ta s³ nh­c đến c¡c ph¥n t½ch phê bi¸n cõa nhóm này như: ph¥n t½ch Bruhat, ph¥n t½ch Iwasawa, ph¥n t½ch Cartan. Đồng thời trong mục này ta cũng nói rã hơn v· tôpô cõa nó. • Mục 7: Được dùng để nh­c tới c¡c kh¡i ni»m v· bi·u di¹n c£m sinh và h¤n ch¸ cõa mët biºu di¹n trơn. Trong mục này chúng ta đưa ra kh¡i ni»m biºu di¹n c£m sinh và biºu di¹n c£m sinh compact (được chu©n hóa). Được chu©n hóa ở đây được hiºu là nh¥n th¶m c«n bªc hai cõa đặc trưng modular. Lý do cõa vi»c chu©n hóa này là do ta muèn biºu di¹n c£m sinh cõa mët biºu di¹n unita cũng là mët biºu di¹n unita (do đối tượng ch½nh cõa chúng ta không li¶n quan đến kh¡i ni»m biºu di¹n unita n¶n kh¡i ni»m này s³ không được đề cªp trong nëi dung cõa luªn v«n). • Mục 8: Mët trong nhúng c¡ch x¥y dựng biºu di¹n cõa c¡c nhóm p-adic đó là c£m sinh tø nhúng biºu di¹n cõa nhóm con đơn gi£n hơn như c¡c nhóm xuy¸n, hay c¡c nhóm con parabolic. Mục này được dành cho vi»c định nghĩa c¡c biºu di¹n c£m sinh parabolic. Nhúng biºu di¹n không thº nhªn được như mët biºu di¹n con cõa mët biºu di¹n c£m sinh tø mët nhóm con parabolic th¼ đưñc gọi là mët biºu di¹n cuspidal. Chúng được đặc trưng b¬ng vi»c có môđun Jacquet là không gian 0. • Mục 9: Trong mục này chúng ta mô t£ t§t c£ c¡c biºu di¹n b§t kh£ quy cõa nhóm p q GL2 Fp . p q • Mục 10: Biºu di¹n b§t kh£ quy cuspidal độ s¥u 0 cõa GL2 Qp s³ được tr¼nh bày trong mục này. 4
7. BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU Q Trường sè húu tỷ R Trường sè thực Fp Trường húu h¤n gồm p ph¦n tû Qp Trường p-adic GLrpF q Nhóm tuy¸n t½nh têng qu¡t c¡c ma trªn cỡ r ¢ r Đơn modular Unimodular Xuy¸n Torus Phi¸m hàm Functional Hoàn toàn không li¶n thông Totally disconnected Ph¦n tû đơn trị hóa Uniformizer Phụ hñp Adjoint Môđun Jacquet Jacquet module N¥ng l¶n Lifting 5
8. 2 Định gi¡ và trường địa phương Tài li»u tham kh£o cho ph¦n này là mục 2 cõa bài gi£ng v· c¡c biºu di¹n cõa c¡c nhóm p-adic reductive cõa Murnaghan [FM09]. Cho F là mët trường không t¦m thường (nghĩa là F  0). | ¤ | Ñ Định nghĩa 2.1. Mët định gi¡ tr¶n F là mët ¡nh x¤ : F R¥0 thỏa m¢n t½nh ch§t với mọi x; y P F ta có: (1) |x|  0 ô x  0, (2) |x:y|  |x|:|y|, (3) |x y| ¤ |x| |y|. V½ dụ 2.2. 1. Gi¡ trị tuy»t đối thông thường tr¶n R là mët định gi¡. 2. N¸u F là mët trường húu h¤n, tr¶n F có duy nh§t mët định gi¡ đó là định gi¡ t¦m thường. Trường F húu h¤n n¶n có sè ph¦n tû là pn với p là mët sè nguy¶n tè và n là mët sè nguy¶n dương nào đó. Do đó xpn  1 với mọi x P F ¢. Điều này n d¨n đến |x|p  |1|. Mặt kh¡c ta l¤i có |1|  1 (do |1|  |1:1|  |1|2 và 1  0), n¶n |x| là sè thực dương và là c«n cõa cõa đơn vị. Hay nói c¡ch kh¡c |x|  1. ¢ 3. Cho p là mët sè nguy¶n tè. Với méi sè húu t¿ x P Q , ta có thº vi¸t x duy nh§t dưới a d¤ng x  pe pa; b P ; b  0; pa; pq  pb; pq  pa; bq  1q. Ta định nghĩa |x|  b Z p ¡e | |  | ¤ | p (và 0 p 0). Khi đó, p là mët định gi¡ tr¶n Q. Thªt vªy: (1) Tø định nghĩa ta có |x|p  0 ô x  0. 1 a 1 a (2) X²t x  pe và y  pe ta có: b b1 § § § § § 1 § § 1 § a 1 a 1 a:a 1 1 | |  § e e §  § e e §  ¡pe e q  ¡e ¡e  | | | | x:y p §p :p 1 § §p 1 § p p :p x p: y p: b b p b:b p (3) Không m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû e ¡ e1, khi đó: § ¢ § § 1 § 1 1 a a 1 | |  § e e¡e § ¤ ¡e  t| | | | u ¤ | | | | x y p §p p : 1 § p max x p; y p x p y p: b b p Hơn núa, n¸u |x|p  |y|p, khi đó |x y|p  max t|x|p; |y|pu. Định gi¡ này được gọi là định gi¡ p-adic. 6
9. Định nghĩa 2.3. Hai định gi¡ | ¤ |1 và | ¤ |2 tr¶n F được gọi là tương đương với nhau | ¤ | | ¤ |c n¸u 1 = 2, trong đó c là sè thực dương nào đó. Định nghĩa 2.4. Mët định gi¡ được gọi là rời r¤c n¸u tồn t¤i δ ¡ 0 thỏa m¢n t½nh ch§t 1 ¡ δ |a| 1 δ k²o theo |a|  1. Nói mët c¡ch kh¡c, định gi¡ | ¤ | được gọi là ¢ rời r¤c n¸u nhóm tlogp|a|q|a P F u là nhóm con rời r¤c cõa nhóm pR; q. V½ dụ 2.5. 1. Gi¡ trị tuy»t đối thông thường tr¶n trường sè thực R là mët định gi¡ không rời r¤c. t p| | q| P ¢u  p q 2. Ta có log a p a Q Z là mët nhóm con rời r¤c cõa nhóm R; . Định gi¡ p-adic tr¶n trường sè húu t¿ Q là mët định gi¡ rời r¤c. Định nghĩa 2.6. Mët định gi¡ | ¤ | được gọi là không acsimet n¸u nó (tương đương với) mët định gi¡ thỏa m¢n t½nh ch§t: |x y| ¤ max t|x|; |y|u : V½ dụ 2.7. 1. Gi¡ trị tuy»t đối thông thường tr¶n R là định gi¡ acsimet. 2. Định gi¡ p-adic tr¶n Q là định gi¡ không acsimet. Bê đề 2.8. C¡c điều ki»n sau là tương đương: (1) | ¤ | là không acsimet. (2) |x| ¤ 1 với mọi x thuëc vành con cõa F sinh bởi 1. (3) |x| bị chặn với mọi x thuëc vành con cõa F sinh bởi 1. Chùng minh. • p1q ñ p2q: Do |1|  |1:1|  |1|2 và 1  0 n¶n |1|  1. Khi đó, do | ¡ 1|2  |p¡1q2|  |1|  1 n¶n | ¡ 1|  1. X²t x là mët ph¦n tû cõa vành con cõa F sinh bởi 1 khi đó x ch¿ có thº có mët trong hai d¤ng sau: – Hoặc x  1 1 ¤ ¤ ¤ 1. Khi đó ta có: |x|  |1 1 ¤ ¤ ¤ 1| ¤ max t|1|; |1|; ¤ ¤ ¤ ; |1|u  1: – Hoặc x  p¡1q p¡1q ¤ ¤ ¤ p¡1q. Khi đó ta có: |x|  |p¡1q p¡1q ¤ ¤ ¤ p¡1q| ¤ max t| ¡ 1|; ¤ ¤ ¤ ; | ¡ 1|u  1: 7
10. • p2q ñ p3q: Hiºn nhi¶n. • p3q ñ p1q: Gi£ sû |x| ¤ c với mọi x thuëc vành con cõa F sinh bởi 1. B¬ng c¡ch đồng nh§t c¡c ph¦n tû thuëc vành con cõa F sinh bởi 1 với c¡c sè nguy¶n ta có: § § § § §¸n § | |n  |p qn|  § k k n¡k§ x y x y § Cn:x :y § k0 ¸n § § ¤ § k k n¡k§ Cn:x :y k0 ¸n § § ¸n ¤ c: §xk:yn¡k§ ¤ c: |xk|:|yn¡k| k0 k0 ¸n ¤ c: pmax t|x|; |y|uqn  cpn 1qpmax t|x|; |y|uqn: k0 Suy ra 1 1 |x y| ¤ c n :pn 1q n : maxt|x|; |y|u (2.1) 1 1 Cho n Ñ 8, ta s³ chùng minh lim pc n :pn 1q n q  1. nÑ 8 1 1 1 lnpn 1q Thªt vªy, lim pc n :pn 1q n q  lim pn 1q n  lim e n : nÑ 8 nÑ 8 nÑ 8 ? ? 1 1 ¡p n 1q2 X²t fpnq  lnpn 1q ¡ n, ta có f 1pnq  ¡ ?  ? : n 1 2 n 2 npn 1q Suy ra ? lnpn 1q 1 f 1pnq 0 @n ¥ 0 ñ fpnq ¤ fp0q  0 ñ lnpn 1q n ñ ? : n n lnpn 1q 1 L¤i có lnpn 1q ¡ 1 khi n Ñ 8 n¶n ¡ . n n 1 lnpn 1q 1 lnpn 1q Suy ra ? , cho n Ñ 8 ta có lim e n  1 n n n nÑ 8 Khi đó (2.1) ñ |x y| ¤ max t|x|; |y|u hay | ¤ | không acsimet. Mët tôpô tr¶n F c£m sinh bởi định gi¡ | ¤ | có cơ sở là c¡c tªp mở có d¤ng: Upa; q  tb P F ||b ¡ a| u a P F;  P R : V½ dụ 2.9. Cho F là mët trường húu h¤n. Tôpô c£m sinh tø định gi¡ t¦m thường tr¶n F ch½nh là tôpô rời r¤c. Bê đề 2.10. N¸u hai định gi¡ | ¤ |1 và | ¤ |2 là tương đương nhau tr¶n F th¼ tôpô c£m sinh bởi chúng là mët. 8