Luận văn Một lớp bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai

Nội dung tài liệu: Luận văn Một lớp bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM KHÔNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM KHÔNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “Một lớp bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai” là do tôi thực hiện với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn, không sao chép của bất kì ai. Nội dung luận văn được tham khảo, trình bày lại các kết quả của các nhà toán học: A.G. Lomtatidze, Robert Hakl và Manuel Zamora từ các tài liệu được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về luận văn của mình. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 7 năm 2020 Học viên thực hiện HUỲNH VĂN AN
4. LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Thạc sĩ. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên của Trường đã nhiệt tình truyền đạt những kiến thức quý báu, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Thạc sĩ. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến kích tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn.
5. MỤC LỤC Lời cam đoan ....................................................................................................... Lời cảm ơn........................................................................................................... Mục lục ................................................................................................................ Danh mục các kí hiệu .......................................................................................... GIỚI THIỆU .................................................................................................... 1 Chương 1. TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (1.1), (1.2) ..................... 3 1.1. Các kết quả cơ bản cho bài toán (1.1), (1.2) ............................................ 3 Định nghĩa 1.1. ............................................................................................ 3 Định lý 1.2. .................................................................................................. 3 Hệ quả 1.3. .................................................................................................. 4 Hệ quả 1.4. .................................................................................................. 4 1.2. Các bổ đề bổ trợ ....................................................................................... 5 Bổ đề 1.5. .................................................................................................... 5 Bổ đề 1.6. .................................................................................................. 11 Bổ đề 1.7. .................................................................................................. 13 Bổ đề 1.8. .................................................................................................. 18 Bổ đề 1.9. .................................................................................................. 19 1.3. Chứng minh các kết quả cơ bản ............................................................. 19 Chứng minh Định lý 1.2: .......................................................................... 19 Chứng minh Hệ quả 1.3: ........................................................................... 22 Chứng minh Hệ quả 1.4: ........................................................................... 29 Chương 2. TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (2.1), (2.2) ................... 32
6. 2.1. Các kết quả cơ bản cho bài toán (2.1), (2.2) .......................................... 32 Định nghĩa 2.1. .......................................................................................... 32 Định lý 2.2. ................................................................................................ 32 2.2. Các bổ đề bổ trợ ..................................................................................... 33 Bổ đề 2.3. .................................................................................................. 33 Bổ đề 2.4. .................................................................................................. 39 Bổ đề 2.5. .................................................................................................. 43 Bổ đề 2.6. .................................................................................................. 43 Bổ đề 2.7. .................................................................................................. 45 Bổ đề 2.8. .................................................................................................. 49 2.3. Chứng minh kết quả cơ bản ................................................................... 49 Chứng minh Định lý 2.2. .......................................................................... 49 KẾT LUẬN .................................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 52
7. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ℕ là tập các số tự nhiên, ℝ là tập các số thực, ℝ+ = [0, +∞). 퐿([ , ]; ) với ⊆ ℝ là tập các hàm : [ , ] → khả tích Lebesgue trên [ , ]. 퐿푙표 (( , ); ) với ⊆ ℝ là tập các hàm : ( , ) → thỏa ∈ 퐿([훼, 훽]; ) với mọi [훼, 훽] ⊂ ( , ). ∞ 퐿푙표 (( , ); ℝ+) là tập các hàm : ( , ) → ℝ+ bị chặn hoàn toàn trên mỗi đoạn chứa trong ( , ). ([ , ]; ) với ⊆ ℝ là tập các hàm liên tục : [ , ] → . 푙표 (( , ); ℝ) là tập các hàm : ( , ) → ℝ thỏa ∈ ([훼, 훽]; ℝ) với mọi [훼, 훽] ⊂ ( , ). 1([ , ]; ) với ⊆ ℝ là tập các hàm : [ , ] → liên tục tuyệt đối và đạo hàm cấp một cũng liên tục tuyệt đối. 1 AC푙표 ( ; ) với ⊆ ( , ), ⊆ ℝ là tập các hàm : → thỏa mãn ∈ 1([훼, 훽]; ) với [훼, 훽] ⊆ . 푙표 (( , ) × × ℝ; ℝ) với ⊆ ℝ là lớp Carathéodory, nghĩa là hàm : ( , ) × × ℝ → ℝ thỏa (푡,∙,∙): × ℝ → ℝ liên tục hầu khắp nơi 푡 ∈ ( , ), (∙, , ): ( , ) → ℝ liên tục với mọi ( , ) ∈ × ℝ và sup{| (∙, , )|: ( , ) ∈ 0} ∈ 퐿푙표 (( , ); ℝ+) với mọi tập compact 0 ⊂ × ℝ. 1 1 [ ] = (| | − ), [ ] = (| | + ). − 2 + 2 (푠 +) và (푠 −) là giới hạn phải và giới hạn trái của hàm tại điểm 푠.
8. 1 GIỚI THIỆU Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân thường ra đời từ thế kỉ 18, tuy nhiên đến nay vẫn phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật khác nhau như: cơ khí, điện tử, vật lý, sinh học, nông nghiệp, .[1], [3], [4], [6] – [8], [18] – [20]. Một trong những mục đích chính của việc nghiên cứu bài toán biên cho phương trình vi phân là xem xét sự tồn tại nghiệm, các tính chất của nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm và đối số lệch hay phương trình vi phân không chính quy. Bài toán biên cho phương trình vi phân không chính quy được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học đến từ Cộng hòa Grugia, Cộng hòa Séc, như I. Kiguradze, A. Lomtatidze, R. Hakl. Mục đích chính của luận văn là hệ thống và trình bày lại một cách chi tiết hai bài báo của A. Lomtatidze và R. Hakl. 1) A. Lomtatidze and P. J. Torres, On a two-point boundary value problem for second order singular equations, Czechoslovak Math. J. 53 (2003), 19 – 43. 2) R. Hakl and Manuel Zamora, Existence of a solution to the Dirichlet problem associated to a second-order differential equation with singularities: The method of lower and upper functions, Georgian Math. J. 20 (2013), 469 – 491. Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1. Tính giải được cho bài toán (1.1), (1.2). Chương này xây dựng điều kiện đủ và trong một số trường hợp là điều kiện cần và đủ cho tính giải được của bài toán giá trị biên: ′′ = (푡, ) + (푡, ) ′ (1.1) ( +) = 0, ( −) = 0 (1.2) trong đó , ∈ Car푙표 (( , ) × (0, +∞); ℝ).
9. 2 Nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) là hàm không bị chặn, 1 ∈ AC푙표 (( , ); (0; +∞)) thỏa mãn phương trình (1.1) hầu khắp nơi trên ( , ) và thỏa mãn điều kiện biên (1.2). Chương 2. Tính giải được cho bài toán (2.1), (2.2). Chương này xây dựng điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán giá trị biên: ′′ = (푡, ) + (푡, ) ′ (2.1) ( +) = 0, ( −) = 1 (2.2) trong đó , ∈ Car푙표 (( , ) × (0,1); ℝ). 1 Nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) là hàm bị chặn, ∈ AC푙표 (( , ); ℝ), 0 < (푡) < 1, 푡 ∈ ( , ) thỏa mãn phương trình (2.1) hầu khắp nơi trên ( , ) và thỏa mãn điều kiện biên (2.2).
10. 3 Chương 1. TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (1.1), (1.2) Trong chương này, ta xây dựng điều kiện đủ và trong một số trường hợp là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm không bị chặn của bài toán giá trị biên: ′′ = (푡, ) + (푡, ) ′ (1.1) ( +) = 0, ( −) = 0 (1.2) Trong đó , ∈ Car푙표 (( , ) × (0, +∞); ℝ). 1.1. Các kết quả cơ bản cho bài toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.1. Hàm liên tục 𝜎: ( , ) → (0, +∞) là hàm dưới (trên) của phương trình (1.1) 1 nếu ∈ 푙표 (( , )\{푡1, 푡2, , 푡푛}; (0, +∞)), < 푡1 < 푡2 < ⋯ < 푡푛 < , tồn ′ tại các giới hạn hữu hạn 𝜎( +), 𝜎( −), 𝜎′(푡푖 +), 𝜎 (푡푖 −), 푖 = 1̅̅̅,̅푛̅, ′ ′ 𝜎 (푡푖 −) 𝜎′(푡푖 +)), 푖 = 1̅̅̅,̅푛̅, và hkn 푡 ∈ ( , ) ta có: 𝜎′′(푡) ≥ (푡, 𝜎(푡)) + (푡, 𝜎(푡))𝜎′(푡) (𝜎′′(푡) ≤ (푡, 𝜎(푡)) + (푡, 𝜎(푡))𝜎′(푡)). Định lý 1.2. Giả sử 𝜎1 và 𝜎2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1.1) và: 𝜎1(푡) ≤ 𝜎2(푡), 푡 ∈ ( , ), 𝜎1( +) = 0, 𝜎1( −) = 0, 𝜎2( +) ≠ 0, 𝜎2( −) ≠ 0. (1.3) Giải sử thêm, với mỗi 0 < 휂 < min{𝜎2(푡): ≤ 푡 ≤ } tồn tại 훾 ∈ ( , ), 휂, 푞휂 ∈ 퐿푙표 (( , ); ℝ+) thỏa mãn: