Luận văn Môđun không xoắn trên vành giao hoán

Nội dung tài liệu: Luận văn Môđun không xoắn trên vành giao hoán

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Huyên. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ các sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình.
4. Lời cảm ơn Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô, các đồng nghiệp và các bạn cao học toán K26. Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy tâm huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy cô khoa Toán - Tin của Trường Đại học Sư phạm TP.HCM cùng GS.TS. Bùi Xuân Hải, GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, hoàn thành và bảo vệ luận vặn. Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn. Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè là những người luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Trần Thị Vân Anh
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................... 2 1.1 Một vài khái niệm và kết quả của lý thuyết môđun .............................................. 2 1.2 Dãy khớp ............................................................................................................... 5 1.3 Các hàm tử đồng điều ............................................................................................ 8 CHƯƠNG 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN ................. 19 2.1 Môđun không xoắn trên miền nguyên ................................................................. 19 2.2 Môđun không xoắn trên vành giao hoán ............................................................. 25 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 41
6. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập các số nguyên. S : Môđun con sinh bởi tập S . Hom X, Y : Tập hợp tất cả các đồng cấu môđun từ X vào Y . FS() : Môđun tự do có cơ sở là S . AB : Tổng trực tiếp trong của hai môđun A và B .  X i : Môđun tích trực tiếp của họ môđun X i  . X i : Môđun tổng trực tiếp của họ môđun . XY : Tích tenxơ của R môđun phải X và R môđun trái Y . fg : Tích tenxơ của các đồng cấu R môđun f và g . n TorR A, B : Tích xoắn n chiều trên R của các môđun phải A và môđun trái . n ExtR A, B : Tích mở rộng chiều trên của các môđun phải và môđun trái . Tor A, B : Tích xoắn chiều trên của các môđun phải và môđun trái . Ext A, B : Tích mở rộng chiều trên của các môđun phải và môđun trái . ■ : Kết thúc chứng minh.
7. 1 MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn được xác định trước hết trên các miền nguyên, có một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun và một số ngành toán học khác. Việc mở rộng khái niệm đó lên các vành tổng quát hơn là miền nguyên là điều thực sự cần thiết. Ở đây, chúng tôi chỉ dừng lại ở mức độ xây dựng các môđun không xoắn trên vành giao hoán. Với đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các môđun không xoắn trên miền nguyên và vành giao hoán. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày thành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các kiến thức cơ bản của lý thuyết môđun và đại số đồng điều cần thiết cho sự trình bày các nội dung được triển khai ở chương tiếp theo. Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Trước hết, chúng tôi giới thiệu môđun không xoắn trên miền nguyên, trình bày các kết quả liên quan đến khái niệm này trong mối liên hệ với khái niệm khác của lý thuyết mô đun như sau: môđun con, môđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, môđun xạ ảnh, môđun dẹt,... Tiếp theo đánh giá những đặc trưng của môđun không xoắn trên miền nguyên, đưa ra cách thể hiện khác của đặc trưng đó dưới dạng ngôn ngữ tổng quát hơn, để đưa ra các khả năng mở rộng cho khái niệm này trên vành giao hoán.
8. 2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một vài khái niệm và kết quả của lý thuyết môđun Mục này giới thiệu một vài khái niệm và kết quả về lý thuyết môđun cần thiết cho các trình bày về sau. 1.1.1 Môđun tự do Cho môđun X , tập SX được gọi là hệ sinh của nếu SX . Nói cách khác, S là hệ sinh của nếu với bất kỳ phần tử xX thì x rs1 1 r 2 s 2 ... rnn s với r12, r ,..., rn R và sS12,s ,...,sn , tức x biểu thị được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S . Tập hợp SX được gọi là độc lập tuyến tính nếu phần tử 0 X chỉ có một cách biểu thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S , là tổ hợp tuyến tính tầm thường với tất cả các hệ tử đều bằng 0 . Nói cách khác, S là độc lập tuyến tính nếu r1 s 1 r 2 s 2 ... rnn s 0 thì r12 r ... rn 0. Khi SX không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính. Một hệ sinh của môđun đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi là cơ sở của môđun . Định nghĩa 1.1.1.1. ([1], trang 48) Môđun X có cơ sở là môđun tự do. Định lý 1.1.1.2. ([1],Định lý , trang 48) Tập S {si } i I các phần tử của môđun X là cơ sở của khi và chỉ khi mỗi phần tử xX chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua S . Nghĩa là với mọi phần tử xX thì cách biểu thị x rs1 1 r 2 s 2 ... rnn s với và s12, s ,..., sn S là duy nhất. Định lý 1.1.1.3. ([1], Định lý 2, trang 49) Nếu f: X Y là đẳng cấu môđun và X là môđun tự do thì Y cũng là môđun tự do. Hơn nữa, nếu S là cơ sở của X thì fS()là cơ sở của Y . Định lý 1.1.1.4. ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp của các môđun tự do là môđun tự do.
9. 3 Định lý 1.1.1.5. ([1],Định lý 4, trang 51) R môđun X là tự do khi và chỉ khi X đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R . Định lý 1.1.1.6. ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của môđun tự do nào đó. Ta xét môđun tự do FX() sinh bởi tập . Khi đó ánh xạ đồng nhất 1:X XX có thể mở rộng tới đồng cấu :()FXX hiển nhiên là toàn cấu và do đó X  F(X) . ker Định lý 1.1.1.7. ([1], Định lý 7, trang 53) Môđun con của môđun tự do trên vành X chính là môđun tự do. 1.1.2. Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.1.2.1. ([1], trang 72) Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu  : BC , mỗi đồng cấu f: P C , tồn tại một đồng cấu : PB , sao cho f  . Định lý 1.1.2.2. ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh. Định lý 1.1.2.3. ([1],Định lý 2, trang73) Tổng trực tiếp của họ môđun PP  i là xạ iI ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần Pi là xạ ảnh. Định lý 1.1.2.4. ([1], Định lý 4, trang 76) Khi R là vành chính, môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P là môđun tự do. 1.1.3. Môđun nội xạ Định nghĩa 1.1.3.1. ([1], trang 77) Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu với mọi đơn cấu  : AB , mỗi đồng cấu f: A J , tồn tại một đồng cấu f: B J , sao cho ff  . Bởi  là đơn cấu nên ta có thể xem AB , do vậy f có thể xem như là sự mở rộng của f trên B . Vì lý do đó có khi người ta xem môđun nội xạ J là môđun cho phép sự mở rộng của bất kỳ đồng cấu f: A J thành đồng cấu f: B J , trên mỗi môđun BA . Định lý 1.1.3.2. ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ Iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f: I J , luôn luôn tồn tại phần tử qJ sao cho với mọi  I , ta có: fq() .
10. 4 Nói cách khác mọi đồng cấu đều có thể mở rộng được tới đồng cấu fJ:R . Định lý 1.1.3.3. ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp của họ môđun JJ  k là kK nội xạ khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần J k là nội xạ. 1.1.4. Môđun chia được Định nghĩa 1.1.4.1. ([1], trang 58) Cho R là miền nguyên và X là R môđun. Khi đó là môđun chia được nếu với mọi xX và mọi  R* thì luôn có yX sao cho xy  . Khi R là vành giao hoán có đơn vị thì tích hai phần tử khác 0 có thể bằng 0. Định nghĩa môđun chia được trên vành giao hoán ta sẽ loại đi tất cả các phần tử là ước của 0 như sau: Cho là vành giao hoán và  R . Linh hóa tử ký hiệu là r  được xác định bởi rR   :0   . Định nghĩa 1.1.4.2. Môđun A được gọi là môđun chia được nếu với mọi  R thỏa ra  0 ta luôn có aA  . f: I J