Luận văn Không gian F - Dugundji, không gian F - Milutin và co rút F - Giá trị tuyệt đối

Nội dung tài liệu: Luận văn Không gian F - Dugundji, không gian F - Milutin và co rút F - Giá trị tuyệt đối

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Dũng KHÔNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Dũng KHÔNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Chuyên ngành : Hình học và tôpô. Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2017
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Nguyễn Hoàng Dũng
4. LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 đã cho tôi những kiến thức toán học về Đại số, Giải tích và Hình học tôpô. Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hình học và tôpô khoa Toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học. Nguyễn Hoàng Dũng
5. MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 5 1.1. Không gian tôpô ................................................................................................... 5 1.2. Không gian compact ............................................................................................ 6 1.3. Không gian mêtric ................................................................................................ 7 1.4. Đồng cấu nhóm .................................................................................................... 8 1.5. Không gian lồi địa phương ................................................................................... 9 1.6. Dàn Banach .......................................................................................................... 9 1.7. Toán tử ............................................................................................................... 10 1.8. Độ đo .................................................................................................................. 13 1.9. Hàm tử ................................................................................................................ 14 1.10. Khối lập phương Cantor ................................................................................... 15 1.11. Khối lập phương Tychonoff ............................................................................. 16 Chương 2. KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN ..... 18 2.1. Không gian Dugundji và không gian Milutin .................................................. 18 2.2. Một số định lý của không gian F – Dugundji và F – Milutin .......................... 20 Chương 3. CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI .................................................................. 27 3.1. Co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối ...................... 27 3.2. Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho một vài hàm tử chức năng ............. 37 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 50
6. 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Những ghi nhận ban đầu Với mỗi hàm tử chức năng F :Comp Comp trong phạm trù Comp của các không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa các khái niệm của các không gian F – Dugundji và F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển trên các không gian Dugundji và Milutin. Qua đó, ta chứng minh được rằng lớp các không gian F – Dugundji trùng với lớp các co rút F – giá trị tuyệt đối. Kế tiếp, cho X là không gian compact Dugundji với các tích tensơ tương ứng và một hàm tử liên tục đơn cấu , là một co rút F – giá trị tuyệt đối khi và chỉ khi tập hai phần tử 0,1 là một co rút F – giá trị tuyệt đối. Ta cũng chứng minh được rằng với một hàm tử Lipk của các phiếm hàm k – Lipschitz ( k 2), mỗi co rút – giá trị tuyệt đối được sinh mở. Mặt khác, sự compact hóa một điểm của bất kỳ trong không gian rời rạc không đếm được nào thì không thể sinh mở nhưng lại là co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối. Tổng quát hơn, mỗi không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa của cái nâng rời rạc hữu hạn nX ht là một co rút – giá trị tuyệt đối với k 21n 2 . 1.2. Thực tiễn của đề bài Một trong các định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với mỗi hàm số liên tục fX: được xác định trên các tập con đóng X của không gian tôpô thông thường Y xác định một thác triển liên tục fY: . Trước đây, đã từng có nhiều nỗ lực nhằm hợp nhất định lý Tietze-Urysohn và toán tử chính quy được Dugundji đề cập [9] như một mong muốn hoàn toàn tự nhiên và hợp lý, tuy nhiên những nỗ lực này đã thất bại vì sự tồn tại của các
7. 2 cặp XA, của các không gian Hausdorff compact AX không nhận bất kỳ toán tử mở rộng tuyến tính chính quy u: C A C X . Điều này khiến A.Pelczynski [15] nãy ra ý tưởng giới thiệu một lớp các không gian compact Dugundji. Tồn tại các không gian compact X nhận với mỗi phép nhúng XY vào một không gian Hausdorff compact Y một toán tử mở rộng tuyến tính chính quy u: C X C Y . Việc nghiên cứu có hệ thống của lớp các không gian compact Dugundji được bắt đầu bởi A.Pelczynski không lâu sau đó các không gian compact Dugundji đã được chứng minh rằng có thể được mô tả như là co rút P – giá trị tuyệt đối với các hàm tử P:Comp Comp của các độ đo xác suất trong phạm trù Comp của các không gian Hausdorff compact và các ánh xạ liên tục. Cần nhắc lại rằng với một không gian Hausdorff compact X thì không gian độ đo xác suất PX là một không gian con của Tychonoff cấp CX bao gồm tất cả các phiếm tuyến tính chính quy  :CX (  chính quy có nghĩa là  f  conv f X ). Ta có thể đồng nhất mỗi điểm xX với độ đo Dirac x :CX , gán mỗi hàm số f C X với giá trị của fx tại x . Phép gán x  x xác định một phép nhúng chính tắc  : X PX của X vào chính nó với độ đo xác suất. Đồng thời R. Haydon đã làm sáng tỏ các hiểu biết về cấu trúc của các không gian Dugundji compact khi đã chứng minh được lớp các không gian Dugundji compact trùng với lớp AE 0 của các mở rộng compact tuyệt đối số chiều không. Như đã thấy trước và sau Haydon đã có nhiều nghiên cứu và vấn đề được đặt ra xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin cũng như là
8. 3 co rút F – giá trị tuyệt đối và cũng đã đạt được nhiều kết quả. Từ đó cho chúng ta thấy sự cấp thiết của đề tài cần được quan tâm và nghiên cứu. Với các kiến thức tôpô đại cương và nghiên cứu trên không gian Dugundji của các nhà toán học trên thế giới và Việt Nam cũng như từ bài báo F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts của hai tác giả Taras Banakh và Taras Radul xuất bản trong tạp chí Topology and its Applications năm 2015. 2. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 2.1. Mục tiêu nghiên cứu Từ chứng minh của R. Haydon rằng lớp các không gian Dugundji compact trùng với lớp AE 0 của các giãn tử compact tuyệt đối trong số chiều không. Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu: Định lý Haydon và chứng minh định lý Haydon. Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của không gian compact F – Dugundji và không gian compact F – Milutin. Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối.. Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối của một số hàm tử chức năng. 2.2. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số kết quả đã có liên quan đến nội dung luận văn làm cơ sở lý luận và trình bày lại một số khái niệm và kết quả đã có chứng minh một số định lý và tính chất trong bài. 3. Cấu trúc của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, 3 và phần kết thúc.
9. 4 Mở đầu: Nội dung của phần mở đầu nhằm đề cập đến những ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung của chương 1 nhằm đưa ra một số kiến thức cơ bản cần thiết cho chương 2 và chương 3. Chương 2: Không gian F – Dugundji và F – Milutin: Chương 2 của luận văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji và F – Milutin cùng các tính chất liên quan. Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối: Chương 3 của luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối và các tính chất liên quan. Cuối chương tôi xin trình bày một số kết quả có được khi xét F là một hàm tử cụ thể. Kết luận: Chúng tôi đã hệ thống lại các kết quả đã được trình bày trong chương 2 và chương 3 cùng một số vấn đề nhằm định hướng phương hướng nghiên cứu trong tương lai.
10. 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung của chương này giới thiệu và nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương sau. Các định nghĩa được trình bày trong chương 1 được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [4], [12]. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của sao cho: 1.  , X  ; 2. UVUV,   ; 3. Uii ,  i I U . iI Khi đó, ta gọi  là một tôpô trên X và X; là một không gian tôpô. 1.1.2. Lân cận của một điểm Cho không gian tôpô và điểm x  X, U X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại V  sao cho xV và VU . 1.1.3. Tập đóng Tập BX được gọi là tập đóng nếu XB\ là tập mở. 1.1.4. Tôpô cảm sinh Cho không gian tôpô và AX . Ta có họ A AUU  : mở trong X là họ các tập mở trong A và  A là một tôpô trên được cảm sinh từ tôpô  . Khi đó X; A được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô .