Luận văn Hàm Zeta Tôpô của kì dị đường cong phẳng phức không suy biến

Nội dung tài liệu: Luận văn Hàm Zeta Tôpô của kì dị đường cong phẳng phức không suy biến

1. „I HÅC QUẩC GIA H€ NậI TRìÍNG „I HÅC KHOA HÅC Tĩ NHI–N Vụ Thà VƠn H€M ZETA TặPặ CếA Kœ DÀ ìÍNG CONG PHNG PHÙC KHặNG SUY BI˜N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H Nởi - Nôm 2020
2. „I HÅC QUẩC GIA H€ NậI TRìÍNG „I HÅC KHOA HÅC Tĩ NHI–N Vụ Thà VƠn H€M ZETA TặPặ CếA Kœ DÀ ìÍNG CONG PHNG PHÙC KHặNG SUY BI˜N Chuyản ng nh : Ôi số v Lỵ thuyát số M số : 8460101.04 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC NGìÍI HìẻNG DˆN KHOA HÅC TS. L– QUị THìÍNG H Nởi - Nôm 2020
3. Lới cÊm ỡn º ho n th nh quĂ trẳnh nghiản cựu v ho n thiằn luên vôn n y, lới Ưu tiản tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn sƠu sưc án TS. Lả Quỵ Thữớng, cĂn bở Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - Ôi hồc Quốc gia H Nởi. ThƯy  trỹc tiáp ch¿ bÊo v hữợng dăn tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh nghiản cựu º tĂc giÊ ho n thiằn luƠn vôn n y. Ngo i ra tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ trong khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc  tÔo iãu kiằn v õng gõp nhỳng ỵ kián quỵ bĂu º tĂc giÊ ho n th nh khõa hồc v luên vôn n y. Cuối cũng tĂc giÊ xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi gia ẳnh, bÔn b±, ngữới thƠn  luổn ởng viản, cờ vụ, tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ trong quĂ trẳnh hồc têp v ho n th nh luên vôn. H Nởi, thĂng 2 nôm 2019 Hồc viản cao hồc Vụ Thà VƠn 1
4. Mửc lửc Lới cÊm ỡn 1 Lới nõi Ưu 3 1 Kián thực chuân bà 6 1.1 GiÊi kẳ dà cho kẳ dà ữớng cong ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2 CĂc ph²p bián ời xuyán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3 GiÊi kẳ dà khổng suy bián bơng bián ời xuyán . . . . . . . . . . 10 1.4 H m zeta tổpổ cừa kẳ dà ữớng cong ph¯ng . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Vẵ dử: Kẳ dà f(x; y) = y2 − x3 tÔi O ................ 13 2 H m zeta tổpổ cừa kẳ dà ỡn 17 2.1 Kẳ dà ỡn A2n−1 (n ≥ 2)...................... 17 2.2 Kẳ dà ỡn A2n (n ≥ 1)....................... 20 3 H m zeta tổpổ cừa kẳ dà khổng suy bián cõ phƯn chẵnh tỹa thuƯn nhĐt 26 3.1 Kẳ dà ya − xb vợi (a; b) = 1 ..................... 26 3.2 Biản Newton ch¿ cõ mởt cÔnh compưc . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Kẳ dà ữớng cong ph¯ng phực khổng suy bián 35 4.1 Ph²p giÊi xuyán cho kẳ dà khổng suy bián . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 H m zeta tổpổ cừa kẳ dà khổng suy bián . . . . . . . . . . . . . 38 T i liằu tham khÊo 42 2
5. Lới nõi Ưu Nôm 1992, Denef v Loeser phĂt minh ra mởt h m zeta mợi, ữủc gồi l h m zeta tổpổ, bði °c trững Euler-Poincar² tổpổ ữủc sỷ dửng trong ành nghắa (xem [3]). Nõi mởt cĂch nổm na, h m zeta tổpổ top cừa mởt a thực Zf (s) d bián hằ số phực f l mởt h m hỳu t cừa s chựa nhỳng thổng tin ữủc lĐy ra tứ mởt ph²p giÊi kẳ dà cừa a tÔp phực d . X0 := fx 2 C j f(x) = 0g Chúng ta nhưc lÔi ành nghắa cừa top nhữ sau. Cho Zf (s) h : Y ! (X; X0) l mởt ph²p giÊi kẳ dà cừa X0. Khi õ, theo ành nghắa cừa ph²p giÊi kẳ dà, h : Y ! X l mởt Ănh xÔ riảng theo tổpổ phực (nghàch Ênh cừa mởt têp compưc trong X l mởt têp compưc trong Y ), Y l mởt a tÔp phực trỡn, sao cho Ănh xÔ hÔn chá −1 h : Y n h (X0) ! X n X0 −1 l mởt ¯ng cĐu giỳa cĂc a tÔp Ôi số v sao cho h (X0) l hủp cừa cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy m chúng ho°c khổng giao nhau ho°c ch¿ giao ho nh (giao nhau vợi bởi giao bơng 1 sau khi bọ qua số bởi trản mội th nh phƯn). −1 CĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa h (X0) cõ hai loÔi: th nh phƯn cĂ biằt (náu chúng ¯ng cĐu vợi khổng gian xÔ Ênh d−1), th nh phƯn thỹc sỹ (náu chúng PC ¯ng cĐu vợi khổng gian affine d−1). Gồi fE j i 2 Sg (vợi S l mởt têp hỳu AC i −1 hÔn) l têp tĐt cÊ cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa h (X0). Gồi Ni l số bởi cừa f ◦ h trản Ei v νi − 1 l số bởi cừa Jacobian of h trản Ei. Vợi mội têp con cừa , ta kẵ hiằu cho têp giao T v ◦ cho têp I S EI i2I Ei EI hủp S . Khi õ Denef v Loeser [3] ành nghắa h m zeta tổpổ cừa EI n j62I Ej f nhữ sau X Y 1 Ztop(s) = χ(E◦) ; f I N s + ν I⊆S i2I i i trong õ χ l °c trững Euler-Poincar² tổpổ. Trong [3], cĂc tĂc giÊ ch¿ ra rơng top khổng phử thuởc v o sỹ lỹa chồn cừa ph²p giÊi kẳ dà cừa . Hỡn Zf (s) h X0 3
6. 4 nỳa, h m zeta tổpổ n y cỏn l mởt bĐt bián rĐt thú và, liản quan án GiÊ thuyát ỡn Ôo (mởt giÊ thuyát quan trồng trong Lỵ thuyát kẳ dà v Hẳnh hồc Ôi số, ữủc phĂt biºu bði nh toĂn hồc Nhêt BÊn Jun-Ichi Igusa nhỳng nôm 1980). Náu x l mởt iºm cừa X0, ta ành nghắa Sx := fi 2 S j h(Ei) = xg. Khi õ h m zeta tổpổ àa phữỡng cừa f tÔi iºm x ữủc ành nghắa nhữ sau top X ◦ Y 1 Zf;x (s) = χ(EI ) : Nis + νi I⊆S;I\Sx6=; i2I GiÊ thuyát ỡn Ôo (phiản bÊn tổpổ) kát nối cĂc cỹc cừa h m zeta tổpổ vợi cĂc bĐt bián quan trồng cừa Lỵ thuyát kẳ dà. Tứ ành nghắa cừa cĂc h m zeta tổpổ, mồi cỹc cừa Ztop(s) v Ztop(s) ãu cõ dÔng − νi vợi i 2 S. Tuy nhiản, f f;x Ni bơng rĐt nhiãu vẵ dử, ngữới ta nhên thĐy rơng cõ rĐt nhiãu số hỳu t − νi (vợi Ni ) khổng phÊi l cỹc cừa top v top . Do õ, º chựng minh GiÊ i 2 S Zf (s) Zf;x (s) thuyát ỡn Ôo, b i toĂn tẳm cỹc cừa top v top l mởt b i toĂn rĐt Zf (s) Zf;x (s) quan trồng. Nõi chung, cho án nay, b i toĂn n y chữa ữủc giÊi trong trữớng hủp tờng quĂt. Cõ rĐt nhiãu b i bĂo viát vã h m zeta tổpổ v GiÊ thuyát ỡn Ôo cho kẳ dà ữớng cong ph¯ng (tực l cho trữớng hủp d = 2), ch¯ng hÔn [7], [11], [10], [4], [6]. Trữớng hủp d = 2, GiÊ thuyát ỡn Ôo ữủc chựng minh trong [7], [10], [6]. Nõi riảng, phữỡng phĂp trong [6] dỹa trản nhỳng hiºu biát quan trồng vã cĂc ph²p bián ời xuyán, ph²p giÊi xuyán, hẳnh hồc xuyán v thĂp giÊi Tschirnhausen cho kẳ dà ữớng cong ph¯ng  ữủc giợi thiằu trữợc õ trong [8], [9], [1]. Trong luên vôn n y, chúng tổi tẳm hiºu phữỡng phĂp tẵnh h m zeta tổpổ àa phữỡng trong b i bĂo cừa Thữớng v Hững [6]. M°c dũ b i bĂo [6] ã cêp án h m zeta tổpổ cho kẳ dà ữớng cong ph¯ng tờng quĂt, trong luên vôn chúng tổi ch¿ ồc hiºu v trẳnh b y lÔi phữỡng phĂp n y cho cĂc kẳ dà ữớng cong ph¯ng tứ cĂc trữớng hủp °c biằt nhữ kẳ dà ỡn án kẳ dà khổng suy bián. Luên vôn chia th nh bốn chữỡng. Chữỡng 1 trẳnh b y kián thực chuân bà vã ph²p bián ời xuyán v h m zeta tổpổ cừa kẳ dà ữớng cong ph¯ng. Chữỡng 2 cho cĂc tẵnh toĂn cử thº vã giÊi kẳ dà v h m zeta tổpổ cừa kẳ dà ỡn. Chữỡng 3 trẳnh b y vã h m zeta tổpổ cừa kẳ dà khổng suy bián cõ phƯn chẵnh l mởt a thực tỹa thuƯn nhĐt. Cuối cũng, trong Chữỡng 4, chúng tổi khÊo sĂt kẳ dà
7. 5 ữớng cong ph¯ng khổng suy bián bơng cĂch sỷ dửng cĂc ph²p bián ời xuyán, tứ õ mổ tÊ h m zeta tổpổ cừa kẳ dà n y thổng qua a diằn Newton cừa nõ.
8. Chữỡng 1 Kián thực chuân bà 1.1 GiÊi kẳ dà cho kẳ dà ữớng cong ph¯ng GiÊi kẳ dà l mởt cổng cử quan trồng lỵ thuyát kẳ dà nõi riảng v hẳnh hồc Ôi số nõi chung. Nõ cho ph²p chuyºn thổng tin hẳnh hồc cừa iºm kẳ dà th nh cĂc thổng tin tờ hủp nhữ mởt trữớng hủp °c biằt cừa sưp xáp siảu ph¯ng, cho ph²p nghiản cựu mởt phữỡng trẳnh a thực thổng qua nghiản cựu nhiãu phữỡng trẳnh ỡn thực. Sỹ tỗn tÔi cừa giÊi kẳ dà trản trữớng °c số 0 ữủc chựng minh bði Hironaka. Trong luên vôn n y, ta ch¿ ã cêp án giÊi kẳ dà cừa ữớng cong ph¯ng phực. Gồi O l gốc tồa ở cừa C2. Ta s³ kẵ hiằu bði Cfx; yg v nh cĂc chuội luÿ thứa hai bián hằ số phực hởi tử trong mởt lƠn cên cừa O trong C2. X²t mởt phƯn tỷ f(x; y) cừa Cfx; yg. °t C = f(x; y) 2 C2 j f(x; y) = 0g. iºm O ữủc gồi l iºm kẳ dà cừa C (ho°c cừa f) náu @f @f f(O) = (O) = (O) = 0: @x @y ành nghắa 1.1. Cho f(x; y) l mởt chuội lụy thứa hởi thử trản mởt lƠn cên W cừa O trong C2 sao cho O l mởt iºm kẳ dà cừa f. Mởt Ănh xÔ π : Y ! W ữủc gồi l mởt ph²p giÊi tốt cừa C tÔi O (hay cừa (C; O), cừa (f; O), hay ỡn giÊn hỡn, cừa f) náu tỗn tÔi mởt lƠn cên V cừa O sao cho V ⊆ W v cĂc iãu sau Ơy ữủc thọa mÂn. (a) Y l mởt a tÔp trỡn, tực l Y ữủc phừ bði cĂc bÊn ỗ àa phữỡng, mội bÊn ỗ vi phổi vợi (C2; x; y), cĂc bÊn ỗ ữủc dĂn vợi nhau bơng cĂc Ănh xÔ trỡn. 6
9. Chữỡng 1. Kián thực chuân bà 7 (b) π l mởt Ănh xÔ xĂc ành bði cĂc chuội lụy thứa hởi tử trản V (tực l mởt Ănh xÔ giÊi tẵch), π l riảng (nghàch Ênh cừa mởt têp compưc l mởt têp −1 −1 compưc), to n Ănh v πjπ−1(V )nπ−1(O) : π (V ) n π (O) ! V n fOg l mởt ¯ng cĐu giÊi tẵch. (c) ìợc div(π∗f) := π−1(C \ V ) ch¿ cõ kẳ dà l cĂc iºm giao ho nh cừa cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa nõ, cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy n y l trỡn trong π−1(V ). Trong luên vôn n y, chúng ta s³ gồi mởt ph²p giÊi tốt cừa f l mởt ph²p giÊi kẳ dà cừa f. Mội th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa π−1(O) ữủc gồi l mởt th nh phƯn cĂ biằt cừa ph²p giÊi kẳ dà π. Mội th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa bao õng π−1(C n fOg) trong Y cừa π−1(C n fOg) ữủc gồi l mởt th nh phƯn thỹc sỹ cừa ph²p giÊi kẳ dà π. Tứ ành nghắa cừa ph²p giÊi kẳ dà ta thĐy mội th nh phƯn cĂ biằt cừa π ¯ng cĐu vợi khổng gian xÔ Ênh phực mởt chiãu P1, mội th nh phƯn thỹc sỹ ¯ng cĐu vợi ữớng th¯ng phực C. GiÊ sỷ (U; u; v) l mởt bÊn ỗ àa phữỡng trong Y sao cho trản õ π∗f cõ dÔng π∗f(u; v) = λ(u; v)umvn; trong õ λ(u; v) khĂc 0 vợi mồi (u; v) 2 U. Khi õ u = 0 l phữỡng trẳnh xĂc ành mởt th nh phƯn cĂ biằt E n o õ cừa π trong bÊn ỗ (U; u; v). Tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt bÊn ỗ khĂc chựa mởt phƯn cừa E v xĂc ành E trản bÊn ỗ õ bơng mởt phữỡng trẳnh àa phữỡng theo cĂch tữỡng tỹ. Số m l mởt bĐt bián trản mồi bÊn ỗ giao vợi E, nõ ữủc gồi l số bởi cừa π∗f trản E, ta s³ kẵ hiằu số n y bði N(E). Náu Cej l mởt th nh phƯn thỹc sỹ v náu f l rút gồn (cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa f ãu cõ lụy thứa bơng 1) thẳ số bởi trản th nh phƯn cĂ biằt luổn l N(Cej) = 1. Náu kẵ hiằu Ei, vợi i thuởc mởt têp hỳu hÔn −1 S, l tĐt cÊ cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa π (C), v kẵ hiằu Ni thay cho N(Ei), ta cõ ∗ −1 X div(π f) = π (C) = NiEi: i2S Chú ỵ rơng, Ei cõ thº l mởt th nh phƯn cĂ biằt, cụng cõ thº l mởt th nh phƯn thỹc sỹ. Cụng trong mởt bÊn ỗ (U; u; v) nhữ vêy, h m det Jacπ cõ dÔng p q det Jacπ(u; v) = δ(u; v)u v ;
10. Chữỡng 1. Kián thực chuân bà 8 trong õ δ(u; v) khĂc 0 vợi mồi (u; v) 2 U. Náu E l mởt th nh phƯn cĂ biằt m trong bÊn ỗ n y ữủc xĂc ành bði phữỡng trẳnh u = 0 thẳ, tữỡng tỹ nhữ trản, p l mởt bĐt bián ch¿ phử thuởc v o E, khổng phử thuởc v o cĂc bÊn ỗ. Ta kẵ hiằu ν(E) := p + 1. Tữỡng tỹ nhữ trản ta cõ X Kπ := KY=W := div(det Jacπ) = (νi − 1)Ei; i2S trong õ νi := ν(Ei) vợi mồi i 2 S. ành nghắa 1.2. °t  2 1 X = (x1; x2; y1 : y2) 2 C ì P j x1y2 = x2y1 : Khi õ ph²p nờ tƠm O cừa C2 l Ănh xÔ ρ : X ! C2 xĂc ành bði ρ(x1; x2; y1 : y2) = (x1; x2): a tÔp −1  2 1 ∼ 1 ρ (O) = (x1; x2; y1 : y2) 2 C ì P j (x1; x2) = O; x1y2 = x2y1 = P ữủc gồi l th nh phƯn cĂ biằt cừa ph²p nờ ρ. Trong ành nghắa vã ph²p nờ ρ ð trản, a tÔp X ữủc dĂn tứ hai bÊn ỗ àa phữỡng U1 = f(x2y1; x2; y1 : 1) j x2; y1 2 Cg v U2 = f(x1; x1y2; 1 : y2) j x1; y2 2 Cg theo phữỡng trẳnh dĂn . ỗng nhĐt vợi , ỗng y1y2 = 1 U1 f(x2; y1) j x2; y1 2 Cg nhĐt vợi . Khi õ biºu thực tữớng minh cừa trản U2 f(x1; y2) j x1; y2 2 Cg ρ U1 l ρ(x2; y1) = (x2y1; x2); biºu thực tữớng minh cừa ρ trản U2 l ρ(x1; y2) = (x1; x1y2): ành lỵ vã giÊi kẳ dà cừa Hironaka Ăp dửng v o kẳ dà ữớng cong ph¯ng phực cõ thº phĂt biºu nhữ sau: Mội ph²p giÊi kẳ dà cừa C tÔi O l mởt ph²p hủp −1 th nh cừa mởt số hỳu hÔn cĂc ph²p nờ cõ dÔng ρjρ−1(V ) : ρ (V ) ! V , vợi V l mởt têp con mð chựa O cừa C2 v ρ xĂc ành nhữ trản.