Luận văn Đồng điều kì dị

Nội dung tài liệu: Luận văn Đồng điều kì dị

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Đồng điều kì dị” do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Huyên và chưa từng được công bố trong bất kì công trình khoa học nào khác cho tới thời điểm này.
4. LỜI CẢM ƠN Tôi xin cảm ơn thầy Trần Huyên – người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học và các thầy cô trong Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường và trong suốt khoảng thời gian thực hiện luận văn này. Qua đây tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện khóa luận này. TP. Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng 8 năm 2019 HỌC VIÊN Võ Quang Phú
5. MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 2 §1. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ................................................................................... 2 1. Phạm trù. ............................................................................................................... 2 2. Hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến. ................................................................ 4 3. Biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử hiệp biến và biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử phản biến. ........................................................................................................... 10 §2. ĐỒNG LUÂN ...................................................................................................... 12 1. Đồng luân. ........................................................................................................... 12 2. Hai ánh xạ liên tục đồng luân. ............................................................................ 12 3. Mệnh đề 2.3. ....................................................................................................... 12 4. Mệnh đề 2.4. ....................................................................................................... 13 5. Phạm trù các không gian topo và lớp đồng luân của các ánh xạ liên tục. .......... 13 6. Một số ví dụ về đồng luân. ................................................................................. 15 §3. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU CÁC PHỨC ................................................................ 17 1. Phức và đồng điều các phức. .............................................................................. 17 2. Phức con – Phức thương. .................................................................................... 25 3. Dãy khớp ngắn các phức..................................................................................... 26
6. 4. Phức trên một nhóm aben. .................................................................................. 29 Chương 2: ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ .................................................................................. 33 §1. ĐƠN HÌNH KÌ DỊ ................................................................................................ 33 1. Đơn hình mẫu ..................................................................................................... 33 2. Đơn hình kì dị ..................................................................................................... 37 3. Phép biến đổi affin .............................................................................................. 37 4. Đơn hình kì dị affin. ........................................................................................... 39 5. Bờ của đơn hình mẫu .......................................................................................... 41 6. Biên của đơn hình kì dị ....................................................................................... 42 7. Biên của đơn hình affin. ..................................................................................... 43 8. Biên lặp. .............................................................................................................. 43 §2. ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ ............................................................................................. 46 1. Toán tử bờ. .......................................................................................................... 46 2. Dây chuyền n chiều của không gian X . ........................................................... 46 3. Phức kì dị. ........................................................................................................... 47 4. Đồng điều kì dị ................................................................................................... 52 5. Không gian acyclic. ............................................................................................ 53 §3. ĐỒNG LUÂN DÂY CHUYỀN CẢM SINH TỪ CÁC ÁNH XẠ LIÊN TỤC ĐỒNG LUÂN ............................................................................................................ 56 1. Không gian co rút. .............................................................................................. 56 2. Mệnh đề 3.3. ....................................................................................................... 57 3. Bổ đề 3.4. ............................................................................................................ 63 4. Bổ đề 3.5. ............................................................................................................ 63
7. 5. Bổ đề 3.6. ............................................................................................................ 65 6. Định lý 3.5. ......................................................................................................... 68 7. Hệ quả 3.6. .......................................................................................................... 69 TỔNG KẾT .................................................................................................................. 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 72
8. 1 MỞ ĐẦU Đồng điều là công cụ dùng để đo mức độ mà một dãy nửa khớp đi chệch so với một dãy khớp. Trong Topo đại số người ta dùng phương tiện đồng điều kì dị để nghiên cứu một số các bất biến đại số đối với không gian Topo . Để xây dựng đồng điều kì dị, trước tiên người ta đưa ra khái niệm về đơn hình kì dị bằng cách xác lập các ánh xạ liên tục từ đơn hình mẫu chiều vào không gian Topo và xây dựng các tổng hình thức của chúng tạo nên các dây chuyền kì dị. Chính các đơn hình kì dị này sẽ mô tả cho chúng ta các tương quan giữa hai ánh xạ liên tục của hai không gian topo đồng luân với nhau với các biến đổi dây chuyền giữa các phức kì dị sinh ra bởi các không gian topo tương ứng. Đề tài mà chúng tôi chọn nhằm làm sáng tỏ điều đó. Do vậy, trong đề tài này, chúng tôi chỉ quan tâm đến các ánh xạ liên tục đồng luân và các phép biến đổi dây chuyền cảm sinh từ chúng. Luận văn được trình bày gồm hai chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về phạm trù, hàm tử, đồng luân, hai ánh xạ liên tục đồng luân, phức và phạm trù các phức. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiênn cứu được trình bày trongX luận văn. Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu về các đơn hình mẫu, đơn hình kì dị, đồng điều kì dị, phức kì dị và đưa ra mối tương quan giữa hai ánh xạ liên tục của hai không gian topo đồng luân với nhau với các biến đổi dây chuyền giữa các phức kì dị sinh ra bởi các không gian topo tướng ứng. Luận văn này chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô, nhà khoa học, các bạn học viên, người quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.
9. 2 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ 1. Phạm trù. 1.1. Định nghĩa 1.1. Một phạm trù C bao gồm: i) Một lớp các vật, ký hiệu Ob C mà các vật được ký hiệu là XYZ,, Nếu không gây nhầm lẫn thì ta có thể ghi thay cho . ii) Với mỗi cặp vật có thứ tự XY, có một tập các cấu xạ từ vào Y mà ta ký hiệu là Mor X, Y mà nếu Mor X, Y thì được gọi là miền nguồn của và được gọi là miền đích của . Nếu thì ta cũng có thể viết : XY hay XY . iii) Với mỗi bộ ba có thứ tự các vật XYZ,, có một ánh xạ đi từ Mor X,, Y Mor Y Z vào Mor X, Z được gọi là phép hợp thành. Ảnh của cặp cấu xạ ,,, Mor X Y Mor Y Z được ký hiệu bằng  hay  và được gọi là tích của  và . Đồng thời luật hợp thành phXải thỏa các điểu kiện: PT1. Với mọi Mor X,,,,, Y  Mor Y Z  Mor Z W tùy ý thì     (tính chất kết hợp). PT2. Với các vật XY, , tồn tại một cấu xạ đồng nhất idX : X X và một cấu xạ đồng nhất idY : Y Y sao cho với mọi cấu xạ bất kì thì idX và idY . 1.2. Đẳng xạ. Ta sẽ cần tới các cấu xạ đặc biệt được đưa ra trong các định nghĩa dưới đây:
10. 3 1.2.1. Nghịch đảo trái và nghịch đảo phải của một cấu xạ. Định nghĩa 1.2. Nếu  Mor X,,, Y Mor Y X là các cấu xạ trong phạm trù thỏa  id X thì được gọi là nghịch đảo trái của và được gọi là nghịch đảo phải của . C 1.2.2. Đẳng xạ. Định nghĩa 1.3. Cho là một cấu xạ trong phạm trù . Nếu tồn tại đồng thời t Mor Y, X là nghịch đảo trái của và  p Mor Y, X là nghịch Y đảo phải của thì khi đó được gọi là đẳng xạ. Hơn nữa ta có Mor X, Y t  tid Y  t  p  t  p id X  p  p . Vậy các nghịch đảo trái và nghịch đảo 1 1 phải bằng nhau và được ký hiệu là . Vậy tp  . 1.2.3. Hai vật đẳng xạ. Định nghĩa 1.4. Hai vật của phạm trù được gọi là đẳng xạ, ký hiệu là XY, nếu tồn tại một đẳng xạ . 1.3. Ví dụ về phạm trù. Bây giờ, ta đưa ra hai ví dụ về phạm trùX mà sẽ liên quan trong luận văn. 1.3.1. Phạm trù Top các không gian topo và các ánh xạ liên tục. + Lớp các vật là lớp các không gian topo. + Với hai không gianXY, topo và bất kì thì các cấu xạ từ đến là các ánh xạ liên tục từ vào . + Hợp thành hai ánh xạ liên tục :,:XYYZ là tích  : XZ theo nghĩa thông thường. 1.3.2. Phạm trù Ab các nhóm giao hoán và các đồng cấu nhóm. + Lớp các vật là lớp các nhóm aben. + Với hai nhóm aben và bất kì thì các cấu xạ từ đến là các đồng cấu nhóm đi từ vào .