Luận văn Đối đồng điều địa phương của môđun ⍺-Minimax

Nội dung tài liệu: Luận văn Đối đồng điều địa phương của môđun ⍺-Minimax

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
3. LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN-SĐH của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, GS.TS Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khóa 24 của trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh. Cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Minh Trí (Đại học Đồng Nai) đã dành thời gian đọc toàn bộ luận văn và cho tôi nhiều nhận xét, góp ý rất quí báu để luận văn được hoàn thành tốt hơn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn. Tp.HCM, ngày 1 tháng 9 năm 2015 Chương Hoa Anh
4. BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Spec R : Tập các iđêan nguyên tố của vành R. Ass(M) : Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M. V( ) : Tập các iđêan nguyên tố (trong vành R cho trước) chứa iđêan . HomR(M, N) : Tập tất cả các R-đồng cấu f : M ⟶ N. Supp(M) : Giá của môđun M. Gdim M : Chiều Goldie của môđun M. Gdim M : Chiều Goldie -tương đối của môđun M. H()i M : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan . E(M) : Bao nội xạ của môđun M.  ()M : Môđun con -xoắn của môđun M. MP : Địa phương hóa của môđun M tại iđêan nguyên tố P.
5. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................... 3 1.1 Hàm tử Ext ..................................................................................................... 3 1.2 Địa phương hóa .............................................................................................. 5 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết và giá ..................................................................... 9 1.4 Hàm tử -xoắn .............................................................................................. 12 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương ............................................................... 14 1.6 Bao nội xạ ..................................................................................................... 16 1.7 Số Bass ......................................................................................................... 20 Chƣơng 2: MÔĐUN -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE ..................................... 21 2.1 Chiều Goldie ................................................................................................ 21 2.2 Môđun minimax ........................................................................................... 22 2.3 Môđun -minimax ........................................................................................ 24 Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX ....... 32 3.1 Môđun -cominimax và đối đồng điều địa phương ................................... 32 3.2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết ................................... 36 KẾT LUẬN................................................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 41
6. 1 MỞ ĐẦU Cho R là một vành Noether giao hoán, là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh. Một câu hỏi quan trọng trong đại số giao hoán được đưa ra là khi nào thì tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i là Hi M là hữu hạn. Brodmann và Lashgari [11, Định lý 2.2] đã chỉ ra rằng nếu cho M là R-môđun hữu hạn sinh và một số nguyên không âm t sao cho các môđun đối đồng điều địa phương H,0 M HH11 MM ,..., t là hữu hạn sinh. Khi đó, t AssR H M là hữu hạn. Theo [5] thì một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn (GMdim < ) nếu M không chứa tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác không, hoặc bao nội xạ E(M) của M được phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con không phân tích được (nội xạ). Ngoài ra, một R-môđun M có chiều Goldie -tương đối hữu hạn nếu chiều Goldie của môđun con -xoắn Γ (M ) của M là hữu hạn. Ta gọi R-môđun M là -minimax nếu chiều Goldie -tương đối của bất kỳ môđun thương trong M là hữu hạn. Luận văn này sẽ trình bày khái niệm, tính chất của môđun -minimax (viết tắt là -minimax) và cho thấy rằng kết quả của Brodmann và Lashgari ở trên vẫn đúng cho lớp R-môđun -minimax. Cụ thể nội dung chính trong luận văn này là chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau đây: Định lý 3.2.2. Cho R là vành giao hoán Noether, là một iđêan của R và M là một R-môđun -minimax. Cho t là một số nguyên không âm sao cho Hi M là - minimax với mọi i < t . Khi đó, với mọi R-môđun con -minimax N của Ht M thì
7. 2 t R-môđun HomR RM/N / ,H là -minimax. Nói riêng, chiều Goldie của t t H/ MN là hữu hạn và do đó AssR (H MN / ) là hữu hạn. Nội dung của luận văn bao gồm 3 chương, có thể tóm tắt như sau: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái niệm và một số kết quả về hàm tử Ext, địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, hàm tử -xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, bao nội xạ và số Bass. Chƣơng 2: Môđun -minimax và chiều Goldie. Chương này trình bày khái niệm về chiều Goldie, môđun -minimax và một số tính chất của môđun - minimax, trong đó có tính chất quan trọng là Mệnh đề 2.3.3 được áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2. Chƣơng 3: Đối đồng điều địa phƣơng của môđun -minimax. Chương này được chia 2 mục nhỏ là 3.1 và 3.2. Mục 3.1 trình bày khái niệm về môđun - cominimax và một số tính chất của nó, trong đó có tính chất quan trọng là Hệ quả 3.1.6 được áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2. Mục 3.2 sẽ cho thấy rằng kết quả của Brodmann và Lashgari trong [11, Định lý 2.2] vẫn đúng cho lớp R-môđun - minimax, đây cũng là phần chính của luận văn này. Trong Chương 1 thì vành R luôn là vành giao hoán, Chương 2 và Chương 3 thì vành R luôn là vành giao hoán Noether và có đơn vị khác không, là một iđêan của R. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo iđêan được định nghĩa như sau: i i n H()()M = lim ExtR R/M , . n≥1 Độc giả có thể tham khảo thêm trong [12, Định lý 1.3.8].
8. 3 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm, tính chất, mệnh đề mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3, vành R trong chương này luôn là vành giao hoán. Chúng tôi không chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh đề, định lý ở chương này, độc giả có thể tham khảo thêm ở một số tài liệu [1], [2], [3], [4], [7], [12], [15], [16]. 1.1 Hàm tử Ext Cho A, C là các R-môđun. Xét phép giải xạ ảnh của C n 1 XXXXXC: ... n n-1 ... 10 0. Phức thu gọn tương ứng của X là: n 1 XXXXX: ... nn 1 ... 1 0 0. Ta có dãy nửa khớp sau: 0  1  n 1 Hom(X,AX,AX,AX,A ) : 0 Hom(0 ) Hom( 1 ) ... Hom(n 1 ) nn 1 Hom(X,AX,Ann ) Hom( 1 ) .... nn 1* trong đó các đồng cấu  ( 1) n 1 , với mọi n 0. Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này là: Hn Hom X,A Kerδδ n / Im n-1, n gọi là tích mở rộng n-chiều của môđun A bởi C, kí hiệu là Ext R (C,A). Khi vành R đã được chỉ rõ, ta kí hiệu đơn giản hơn là Extn(C,A). Mệnh đề 1.1.1. Cho A, C là các R-môđun. Khi đó
9. 4 Ext0(C,A) ≅ Hom(C,A). Mệnh đề 1.1.2. Tích mở rộng n-chiều Extn là hàm tử của hai biến, phản biến theo biến thứ nhất và hiệp biến theo biến thứ hai. Nói riêng, Extn ( ,B ) (tương ứng Extn (A , )) là các hàm tử phản biến (tương ứng hàm tử hiệp biến) từ phạm trù các môđun và các đồng cấu tới phạm trù Ab các nhóm Abel, với mọi môđun A (tương ứng mọi môđun B). Mệnh đề 1.1.3. Với mỗi R-môđun G và bất kì dãy khớp ngắn các R-môđun χ ζ 00 ABC    ta luôn có các khớp dài sau: **E ... ζχExtn ( B,G )  Ext n ( A,G )  * Ext n+1 ( C,G )  ... , (1) χ ζ E ... ***Extn ( G,B )  Ext n ( G,C )  Ext n+1 ( G,A )  .... (2) Các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên (bên trái) tương ứng là 0 ⟶ Hom(C,G) = Ext0(C,G) (đối với dãy (1)) và 0 ⟶ Hom(G,A) = Ext0(G,A) (đối với dãy (2)) và kéo dài về bên phải theo tất cả n = 0, 1, 2, . Mệnh đề 1.1.4. Cho A là môđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương (i) A là xạ ảnh. (ii) Ext(AB , ) 0 với mọi môđun B trên vành R. (iii) Extn (AB , ) 0 với mọi n > 0 và mọi môđun B trên vành R. Mệnh đề 1.1.5. Cho B là môđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương (i) B là nội xạ. (ii) với mọi môđun A trên vành R.
10. 5 (iii) với mọi n > 0 và mọi môđun A trên vành R. Mệnh đề 1.1.6. Cho họ các môđun {}Xi i I và R-môđun A. Khi đó, ta có đẳng cấu nn Ext (A , Xii ) Ext ( A,X ). i I i I Mệnh đề 1.1.7. Cho A và B là các R-môđun tùy ý, 00 MPA là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là môđun xạ ảnh trên R. Khi đó ta có Extnn (A , B ) Ext 1 ( M , B )víi mäi n 1. Mệnh đề 1.1.8. Cho A và B là các R-môđun tùy ý, 0 BJB ' 0 là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó J là môđun nội xạ trên R. Khi đó ta có Exttnn (A , B ) Ex 1 ( A , B ') víi mäi n 1. 1.2 Địa phƣơng hóa Vành R ở đây là vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0. Định nghĩa 1.2.1 ( Iđêan nguyên tố) Iđêan P của R được gọi là nguyên tố nếu P ≠ R và với mọi x,y ∈ R, từ xy ∈ P suy raExt hoặcn ( ABx , ∈ )P hoặc 0 y ∈ P. Iđêan nguyên tố P của R được gọi là tối tiểu trên nếu nó là iđêan nguyên tố thực sự nhỏ nhất chứa . Định nghĩa 1.2.2. Một tập S ⊂ R được gọi là tập con nhân của R nếu S thỏa 2 tính chất là: 1 ∈ S và với mọi x,y ∈ S thì xy ∈ S.