Luận văn Đối đồng điều của đại số lie toàn phương thấp chiều

Nội dung tài liệu: Luận văn Đối đồng điều của đại số lie toàn phương thấp chiều

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. DƯƠNG MINH THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu cầu của đề tài cần nghiên cứu. Học viên Hà Thị Ngọc Phượng
4. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè. Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Dương Minh Thành. Thầy đã luôn quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Trần Tuấn Nam, cô Phạm Thị Thu Thủy, quý thầy cô đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tôi nhiều kiến thức về Toán học, đặc biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số, làm nền tảng vững chắc để tôi học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lý thuyết số Khóa 27 cũng như bạn bè và người thân đã hết lòng động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2019 Hà Thị Ngọc Phượng
5. BẢNG KÍ HIỆU Trường số phức End V Không gian các đồng cấu trên không gian vector V gl n Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường sl n Đại số Lie các ma trận vuông cấp n có vết bằng 0 trên trường C k g,V Không gian các ánh xạ k - tuyến tính phản xứng từ g ... g vào V span X, Y Không gian sinh bởi cơ sở XY,  dim g Số chiều của không gian vector g g* Không gian đối ngẫu của đại số Lie g  Tổng trực tiếp   Tổng trực tiếp trực giao 3 g* Không gian các 3 - dạng phản xứng trên g*
6. MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều của đại số Lie và đại số Lie toàn phương ........................................................................ 4 1.1 Đại số Lie ..................................................................................................... 4 1.2 Đại số Lie toàn phương .............................................................................. 7 1.3 Đối đồng điều đại số Lie .......................................................................... 12 Chương 2. Đại số Lie toàn phương thấp chiều ........................................... 15 2.1. Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều ................................ 15 2.2. Đại số Lie toàn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều ............................................................................................................ 17 Chương 3. Tính toán về họ đối đồng điều đại số Lie ................................. 24 3.1. Mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của đại số Lie ................... 24 3.2. Tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ .................................................... 40 KẾT LUẬN .................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 50
7. 1 MỞ ĐẦU Các không gian vectơ được xét trên trường số phức và hữu hạn chiều. Trong Lý thuyết đại số Lie, bài toán nghiên cứu đối đồng điều của các đại số Lie là một bài toán lý thú nhưng mức độ giải quyết cho đến nay vẫn còn khá hạn chế. Cụ thể, một bài toán đơn giản trong lĩnh vực này là mô tả các nhóm đối đồng điều của một đại số Lie cho trước cũng mới chỉ giải quyết được trên một số ít các họ đại số Lie hoặc chỉ mới dừng lại ở việc mô tả số chiều của các nhóm đối đồng điều trong một số trường hợp đơn lẻ nào đó. Đối với trường hợp đơn giản nhất là các nhóm đối đồng điều (픤, ℂ) với 픤 là một đại số Lie cho trước và số chiều của các nhóm này hiện vẫn tồn tại nhiều câu hỏi. Một trong những kết quả đầu tiên được nhiều người nhắc đến là công thức số Betti, tức số chiều của nhóm đối đồng điều (픤, ℂ), của đại số đại số Lie Heisenberg 2n+1 chiều h21n được L. J. Santharoubane tìm ra năm 1983: 22nn bk [1]. Gần đây, H. Pouseele [2] đã chứng minh được kết kk 2 quả sau: giả sử g là một mở rộng của đại số Lie 1 chiều Z bởi đại số Lie Heisenberg h21n bởi dãy khớp 10 hg21n   Z  sao cho g tác động tầm thường trên tâm z W của h21n . Đặt f g/ z . Khi đó:
8. 2 bk (f ), k 0, k 1, bkk(ff ) b 2 ( ), 2 k n , bk(g ) 2 b n 11 ( f ) 2 b n ( f ), k n 1, b(ff ) b ( ), n 2 k 2 n , kk 11 bk 1(f ), k 2 n 1, k 2 n 2. và đã dùng kết quả này để tìm ra công thức tính số Betti cho hai họ đại số Lie: g sinh bởi cơ sở xii,,, y w z , 1 in, z, xii y , xii, y w. g sinh bởi cơ sở xi ,, w z, 12 in, z, xii x 1 với 1 in 2 1, i z, x2n  w, xi, x21 n i  ( 1) w với 1 in. Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm nhiều hơn đến một bài toán cụ thể là tính toán đối đồng điều nhưng là cho một lớp đại số Lie khá đặc biệt, lớp các đại số Lie toàn phương. Đây là lớp các đại số Lie được trang bị thêm một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, không suy biến và chúng được coi là lớp đại số Lie tổng quát của các đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến tính đối xứng được khái quát từ dạng Killing. Lớp các đại số Lie toàn phương được đề cập trong cuốn sách chuyên khảo của V. Kac (1985) [3] và sau đó được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu [trích dẫn công trình của Medina, Bordemann, Benayadi]. Một trong những bài toán được đưa là phân loại các đại số Lie toàn phương ở chiều thấp. Công trình đầu tiên phải kể đến là kết quả phân loại trường hợp lũy linh đến 7 chiều của G. Favre và L. J. Santharoubane [4], sau đó là những công trình khác như [5] đối với các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều trên trường số thực, [6] đối với trường hợp lũy linh đến 10 chiều. Điều này dẫn tới câu hỏi: liệu có thể mô tả tường minh các nhóm đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương thấp chiều hay không? Và câu hỏi này đưa chúng tôi đến việc thực hiện đề tài luận văn. Một trong lý do chúng tôi quan tâm đến việc tính toán đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương là trong trường hợp 픤 là một đại số Lie toàn
9. 3 phương, thì việc tính toán 2(픤, ℂ) và số chiều của nó sẽ trở nên đơn giản hơn và có nhiều cách hơn nhờ các kết quả được đưa ra trong [7] “New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and Cohomology” của tác giả G. Pinczon và R. Ushirobira năm 2007 (J. of Lie Theory). Cụ thể hơn, ta sẽ thu được nhóm 2(픤, ℂ) và số chiều của nó thông qua hai cách: mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của 픤 hoặc tính toán trực tiếp nhóm 2(픤, ℂ) nhờ toán tử đối bờ  bây giờ chỉ đơn giản là  I,. với I là 3- dạng liên kết với 픤 và .,. là tích Super – Poisson được định nghĩa trên không gian Λ(픤∗) chứa các dạng đa tuyến tính phản xứng trên 픤. Việc mô tả tường minh các nhóm đối đồng điều giúp cung cấp thêm các thông tin về các đại số Lie toàn phương, từ đó giúp hiểu biết thêm về lớp đại số này. Phần nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương đầu tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơ bản trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương. Chương hai chủ yếu dành để khảo sát các đại số Lie toàn phương cơ bản và phân loại đại số Lie toàn phương đến 7 chiều dựa trên kết quả của bài báo khoa học [8]. Chương ba sẽ trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học [9] của tác giả Dương Minh Thành. Trong đó tập trung tính toán về họ đối đồng điều của đại số Lie, mô tả nhóm đối đồng điều 2(픤, ℂ) và số chiều của nó bằng hai phương pháp chính. Đối với đại số Lie thông thường ta sẽ mô tả không gian các đạo hàm phản xứng từ đó tính số chiều của 2(픤, ℂ). Đối với đại số Lie toàn phương cơ bản ta tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ. Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn còn có những sai sót không mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá, nhận xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.
10. 4 Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều của đại số Lie và đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho g là một không gian vector trên trường . Khi đó, g được gọi là một đại số Lie nếu trên g được trang bị một phép toán (gọi là tích Lie hay móc Lie). .,. : g g g XYXY,,   thỏa mãn tính chất sau: i. Phép toán .,. là một ánh xạ song tuyến tính; ii. Phép toán .,. là phản xứng, tức là XX,0 , với mọi X g; iii. XYZYZXZXYXYZ, , , , , , 0,  , , g . (Đồng nhất thức Jacobi). Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian vector g . Ví dụ: Cho V là một không gian vector trên trường F . Kí hiệu gl V là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính f: V V . Khi đó gl V cũng là một không gian vector trên trường F . Ta xác định tích Lie trên gl V như sau: x, y x y y x với x, y gl V trong đó kí hiệu cho tích hai ánh xạ. Định nghĩa 1.1.2 Cho g là một đại số Lie. Một không gian vector con A của g được gọi là một đại số Lie con của g nếu XYA,  với mọi XY, g. Định nghĩa 1.1.3 Cho g là một đại số Lie. Một không gian vector con I của g được gọi là ideal của g nếu XYI,  với mọi X g,YI (tính hút).