Luận văn Định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

Nội dung tài liệu: Luận văn Định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
3. LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Bùi Xuân Hải - người thầy đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô của Trường, Phòng Sau đại học, Khoa Toán học, bộ môn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn. TP. HCM, ngày 27 tháng 9 năm 2013 An Thị Thúy Nga 1
4. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG KÍ HIỆU ........................................................................................................... 3 MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 4 CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN ...................................... 5 1.1. Một số khái niệm cơ bản ............................................................................................. 5 1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán ................................................................ 6 1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán ................................................ 6 1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán ........................................ 8 1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch ........................................ 12 1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán ..................................... 13 1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa ............................................................................... 13 1.6.2. Phương pháp khai triển ......................................................................................... 14 1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác ............................................... 15 1.6.4. Phương pháp quy nạp ............................................................................................ 15 1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán ................................................... 16 CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE ............................................................ 22 2.1. Một số khái niệm cơ bản ........................................................................................... 22 2.2. Định nghĩa định thức Dieudonne ............................................................................. 26 2.3. Một số tính chất của định thức Dieudonne .............................................................. 26 2.4. Sự tồn tại của định thức Dieudonne ......................................................................... 29 2.5. Một số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne ............ 32 2.6. Một số phương pháp tính định thức Dieudonne ..................................................... 36 2.6.1. Phương pháp 1 ....................................................................................................... 36 2.6.2. Phương pháp 2 ....................................................................................................... 36 2.7. So sánh định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne ......................... 37 2.7.1. Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức .................................................... 37 2.7.2. Một số tính chất khác nhau giữa hai định thức ..................................................... 38 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41 2
5. BẢNG KÍ HIỆU ab,={ aa , ++12 , a ,..., b} , trong đó ab, ∈ và ab< R* - Nhóm nhân của vành R AT - Ma trận chuyển vị của ma trận A MRn ( ) - Vành ma trận vuông cấp n trên vành R GLn ( R) - Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành R ERn ( ) - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R [ab, ] = abab−−11 - Giao hoán tử của các phần tử a và b trong nhóm G [HK, ]- Nhóm con của G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng [ab, ] với aHbK∈∈, ( HK, là các tập con khác rỗng của G 3
6. MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính nói chung và Lý thuyết định thức nói riêng được xây dựng trên trường. Trường là cấu trúc trọn vẹn nhất nên việc xây dựng định thức trên đó có nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Tuy nhiên nếu thay đổi trường bằng một cấu trúc đại số khác, mà cụ thể là vành giao hoán có đơn vị và vành chia thì kết quả đã biết còn đúng, hay được thay đổi như thế nào. Mặt khác, định thức trên vành giao hoán được nghiên cứu dựa trên tính giao hoán của phép nhân giữa các phần tử. Còn đối với định thức Dieudonne nghiên cứu trên vành chia. Sự khác biệt của vành giao hoán và vành chia dẫn đến sự khác biệt của hai định thức trên. Trên đây là một số lý do chúng tôi chọn đề tài “Định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne” để nghiên cứu và tìm hiểu. Luận văn sẽ tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne, sau đó so sánh những điểm giống và khác nhau giữa hai định thức này. Bố cục luận văn được chia làm 2 chương: Chương 1 - Định thức trên vành giao hoán Chương 2 - Định thức Dieudonne Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn. 4
7. CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1. Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Xét Xn= {12, ,.., } với n là số nguyên dương. Đặt Sn là tập hợp các song ánh từ X vào X. Ta định nghĩa 1) Mỗi phần tử s ∈ Sn được gọi là một phép hoán vị bậc n hay một phép thế bậc n và được biểu diễn bởi ma trận loại 2× n  12 ... n = s , ss(12) ( ) ... s(n) trong đó ở dòng thứ nhất, các phần tử của X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó (thường là 1, 2, , n), dòng thứ hai gồm ảnh của dòng thứ nhất qua song ánh s. 2) Với mỗi số nguyên k ≥ 2, phép hoán vị s ∈ Sn được gọi là k - chu trình có chiều dài k nếu tồn tại các phần tử phân biệt ii12, ,..., ik ∈ Xsao cho ss(ii12) =; ( ii 23) = ;...; s( ik− 1) = i kk ; s( ii) = 1 và s ( jj) = với mọi j∉{ iikk, 2 ,..., i} . Khi đó ta viết s = (ii12 ...ik ) . Hai chu trình s = (ii12 ... ik ) và t = ( jj12 ... jl ) được gọi là rời nhau nếu {ii12, ,..., ikl}∩={ j1 , j 2 ,..., j} ∅ . Mỗi 2 - chu trình được gọi là một chuyển vị. Như vậy, mỗi chuyển vị có dạng s = (ij ) với 1≤≠i jn ≤. Định lý 1.1.2. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chu trình rời nhau. Cách phân tích duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình. Bổ đề 1.1.3. Mọi chu trình được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách phân tích không duy nhất. Định lý 1.1.4. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách phân tích không duy nhất nhưng tính chẵn lẻ của số các chuyển vị là duy nhất. Chú ý 1.1.5. Xét phép hoán vị s. Gọi k là số chuyển vị trong phân tích s thành tích các chuyển vị. Đặt 5
8. k sgn(s) =( −1) . Theo Định lý 1.1.4, sgn(s) không phụ thuộc vào cách phân tích s. - Nếu sgn(s) = 1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số chẵn các chuyển vị. Ta nói s là một hoán vị chẵn. - Nếu sgn(s) = −1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số lẻ các chuyển vị. Ta nói s là một hoán vị lẻ. - Với các phép hoán vị s và t, ta có sgn(ss−1 ) = sgn( ) và sgn(st) = sgn( s) ⋅ sgn( t). k−1 - Với s là một k - chu trình, ta có sgn(s) =( −1) . Ví dụ 1.1.6. Xét hoán vị s = (136285109)( ). Ta có s = (1316292102528)( )( )( )( )( ). Vậy s được phân tích dưới dạng tích của 6 chuyển vị nên sgn(s) = 1, do đó s là hoán chẵn. 1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán Xét R là vành giao hoán, có đơn vị. Định nghĩa 1.2.1. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Cho Aa ij là ma trận vuông cấp n trên R . Định thức của ma trận A trên R , được kí hiệu là detA hay A và xác định bởi detA sgns a a... a  11ss 2 2 nn s . s Sn 1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán Tính chất 1.3.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R và AT là ma trận chuyển vị của ma trận A . Khi đó detAT detA . T Chứng minh. Giả sử Aa ij và Ab ij thì baij ji ,  ij,,1 n. Khi đó ta có 6
9. detAT sgn b b... b  s 11ss 2 2 nn s s Sn sgn a a... a  s ss 11 2 2 s nn s Sn 1 sgns a 11 a... a 1  1ss 12 2 nn s 1 s Sn sgn a a... a  t 11tt 2 2 nn t t Sn detA Tính chất 1.3.2. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu. Chứng minh. Đặt Aa ij , giả sử trong ma trận A đổi dòng i và dòng j 1 ij, n ta được ma trận mới Aa . ij Khi đó detA sgn a ... a .... a .... a  s 11ss ii j s j nn s s S n = sgnaaaa... .... .... .  s 11ss ji i s j nn s s Sn Với mỗi s Sn , đặt t Sn sao cho ij ts ts ji k k, k ij ,. ts  Khi đó, sgn ts sgn và aaaa aaaa 11s ...jiijnn ss ... ... s 11 tt ... iijjnn ... t ... t . Do đó detA sgnt a ... a ... a ... a  11tt ii j t j nn t t Sn - sgnt aaa ... ... ... a  11tt ii j t j nn t t Sn - detA . Tính chất 1.3.3. Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA 0. Tính chất 1.3.4. Cho ma trận vuông Aa ij cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với kR thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k . 7
10. Chứng minh. Giả sử trong ma trận A tất cả các hệ số của dòng i được nhân lên k lần, còn các dòng khác giữ nguyên ta nhận được ma trận mới Aa . Khi đó ij detA sgns a ... a .... a  11ss ii nn s s Sn sgns a ... ka .... a  11sss ii nn s Sn k sgns aa ... .... a  11ss ii nn s s Sn kdetA . Hệ quả 1.3.5. Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội kR của một dòng khác thì detA 0 . Tính chất 1.3.6. Cho ma trận vuông Aa ij cấp n trên R và giả sử dòng thứ ii, n A a bc bc, R 1 của có tính chất ij ij ij với ij ij . Khi đó, ta có a11 a12 ... a1n aa11 12 ... a1 nn aa 11 12 ... a1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... detA bi1122 c i b i c i ... bin c in b i12 b i ... bin c i12 c i ... cin ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... a a... a aa... a aa... a n1n 2 nn n12 n nn n12 n nn detB detC Chứng minh. detA sgns a ... a ... a  11ss ii nn s s Sn sgns a ... bc... a  11s ii ss ii nn s s Sn sgnssaba ... ... sgn aca ... ...  11sss ii nn 11sss ii nn ss SSnn detB detC Tính chất 1.3.7. Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội kR của một dòng khác thì định thức của nó không đổi. Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.3.3 và tính chất 1.3.4 1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán Định nghĩa 1.4.1. Cho Aa ij là ma trận vuông cấp n trên R. Với mỗi ij, ta gọi ij Aij 1 detA i; j 8