Luận văn Định lý wong-rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng

Nội dung tài liệu: Luận văn Định lý wong-rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng

1. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC Hà Nëi - N«m 2019
2. ĐẠI HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC PGS. TS. Ninh V«n Thu Hà Nëi - N«m 2019
3. Mục lục Lời c£m ơn 2 Danh s¡ch ký hi»u 3 Lời nói đầu 4 Chương 1. Ki¸n thùc chu©n bị 6 1.1 Hàm ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ánh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Mi·n gi£ lồi, d¤ng Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Mët sè k¸t qu£ bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Định lý Wong-Rosay cho ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng 12 2.1 Ph¡t biºu bài to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Mët sè bê đề bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Chùng minh Định lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 D¢y lặp cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng . . . . . . . . . . . . . . . 19 K¸t luªn 23 Tài li»u tham kh£o 24 1
4. Lời c£m ơn Luªn v«n này được hoàn thành t¤i trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n, Đại học Quèc gia Hà Nëi với sự hướng d¨n và ch¿ b£o tªn t¼nh cõa PGS. TS. Ninh V«n Thu. Em xin được bày tỏ láng bi¸t ơn s¥u s­c đối với sự quan t¥m, động vi¶n và sự ch¿ b£o hướng d¨n cõa th¦y. Qua đây, em xin gûi lời c£m ơn s¥u s­c tới quý th¦y cô Khoa To¡n - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n, Фi học Quèc gia Hà Nëi, cũng như c¡c th¦y cô tham gia gi£ng d¤y khóa cao học 2017 - 2019, đã có công lao d¤y dé em trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp t¤i Nhà trường. Em xin c£m ơn gia đình, b¤n b± và c¡c b¤n đồng nghi»p th¥n m¸n đã quan t¥m, t¤o điều ki»n và cê vũ, động vi¶n em để em hoàn thành tèt nhi»m vụ cõa m¼nh. Hà Nëi, ngày 23 th¡ng 11 n«m 2019 Học vi¶n T¤ Tu§n Long 2
5. Danh s¡ch ký hi»u Aut(Ω) Nhóm tự đẳng c§u cõa mi·n Ω Ck(Ω) Không gian c¡c hàm kh£ vi li¶n tục đ¸n c§p k TpbΩ Mặt ph¯ng ti¸p tuy¸n với bΩ t¤i p C Tp (bΩ) Không gian ti¸p xúc phùc với bΩ t¤i p Lρ(p) D¤ng Levi cõa bΩ t¤i p N~ (p) Là vectơ ph¡p tuy¸n trong đơn vị cõa bΩ t¤i p + ~ Bδ (p) Là "nûa" h¼nh c¦u t¥m pδ = p + δN(p), b¡n k½nh δ dKΩ Là gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi trong Ω f k = f ◦ ::: ◦ f Là hñp thành cõa k l¦n f 3
6. Lời nói đầu Gi£ sû M là đa t¤p phùc. Nhóm tự đẳng c§u cõa M (ký hi»u bởi Aut(M)) là tªp hñp c¡c song ch¿nh h¼nh cõa M với ph²p to¡n hai ngôi là ph²p hñp thành cõa hai tự đẳng c§u. Tôpô tr¶n Aut(M) là tôpô hëi tụ đều tr¶n c¡c tªp con compact. Định lý Riemann ph¡t biºu r¬ng mọi mi·n đơn li¶n D trong mặt ph¯ng C kh¡c C đều đẳng c§u (hay song ch¿nh h¼nh) với h¼nh trán đơn vị. Tuy nhi¶n, k¸t qu£ này không cán đúng trong trường hñp nhi·u chi·u. Tùc là, không tồn t¤i ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh tø đa đĩa l¶n h¼nh c¦u. V§n đề quan trọng được đưa ra đó là với điều ki»n nào để mët mi·n trong Cn (với n > 1) song ch¿nh h¼nh với h¼nh c¦u đơn vị. Mët trong nhúng k¸t qu£ nêi ti¸ng nghi¶n cùu theo hướng này được hai nhà to¡n học là B.Wong và J.-P.Rosay nghi¶n cùu tø nhúng n«m 70 cõa th¸ kỷ trước. N«m 1977, B. Wong [6] và sau đó n«m 1979, J.-P.Rosay [7] đã chùng minh r¬ng mọi mi·n bị chặn trong Cn với bi¶n gi£ lồi chặt và có nhóm tự đ¯ng c§u không compact luôn song ch¿nh h¼nh với h¼nh c¦u đơn vị trong Cn. Định lý Wong-Rosay được ph¡t biºu như sau: Gi£ sû Ω là mët mi·n bị chặn n 2 trong C với bi¶n trơn lớp C và (fn) là mët d¢y c¡c tự đẳng c§u tø Ω vào ch½nh nó. Gi£ sû r¬ng quĩ đạo cõa mët điểm trong Ω dưới t¡c động cõa d¢y (fn) hëi tụ đ¸n mët điểm bi¶n gi£ lồi chặt cõa Ω. Khi đó, mi·n Ω là song ch¿nh h¼nh với mët h¼nh c¦u đơn vị trong Cn. V¼ vªy, ti¸p tục m¤ch nghi¶n cùu tr¶n, chúng tôi chọn đ· tài nghi¶n cùu “Định lý Wong-Rosay cho ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng” để làm luªn v«n cao học. Mục ti¶u cõa luªn v«n này là tr¼nh bày l¤i c¡c k¸t qu£ trong bài b¡o [2]. Cụ thº, chúng tôi chùng minh ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng cõa mi·n bị chặn trong 4
7. Ck mà d¢y lặp cõa nó hëi tụ đến mët điểm bi¶n gi£ lồi chặt là song ch¿nh h¼nh với h¼nh c¦u đơn vị trong Ck. Trong luªn v«n này, ngoài ph¦n Lời nói đầu, K¸t luªn, Tài li»u tham kh£o, luªn v«n bao gồm hai chương. Chương 1 tr¼nh bày mët sè kh¡i ni»m cơ b£n và t½nh ch§t cõa hàm ch¿nh h¼nh, ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng, mi·n gi£ lồi, d¤ng Levi và mët sè k¸t qu£ bê trñ. Chương 2 được dành để tr¼nh bày chùng minh cõa Định lý kiºu Wong-Rosay cho ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng. Hà Nëi, ngày 23 th¡ng 11 n«m 2019 Học vi¶n T¤ Tu§n Long 5
8. Chương 1 Ki¸n thùc chu©n bị Gi£ sû Ω là mët mi·n trong Cn và ký hi»u Aut(Ω) là nhóm c¡c ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh cõa Ω. Ta nh­c l¤i mët k¸t qu£ cê điển cõa H. Cartan r¬ng n¸u Ω là mët mi·n bị chặn trong Cn và Aut(Ω) không compact th¼ tồn t¤i c¡c điểm x 2 Ω; p 2 @Ω và d¢y c¡c tự đẳng c§u 'j 2 Aut(Ω) sao cho 'j(x) ! p. Trong trường hñp này, ta gọi điểm bi¶n p là điểm bi¶n tụ quĩ đạo. N«m 1977, B. Wong [6] và sau đó n«m 1979, J.-P.Rosay [7] đã chùng minh r¬ng mi·n bị chặn trong Cn với bi¶n gi£ lồi chặt và có nhóm tự đẳng c§u không compact luôn song ch¿nh h¼nh với h¼nh c¦u đơn vị trong Cn. Định lý 1 (Wong-Rosay) Gi£ sû Ω là mët mi·n bị chặn trong Cn với bi¶n 2 trơn lớp C và (fn) là mët d¢y c¡c tự đẳng c§u tø Ω vào ch½nh nó. Gi£ sû r¬ng quĩ đạo cõa mët điểm trong Ω dưới t¡c động (fn) hëi tụ đến mët điểm bi¶n gi£ lồi chặt cõa Ω. Khi đó, mi·n Ω là song ch¿nh h¼nh với mët h¼nh c¦u đơn vị trong Cn. 1.1 Hàm ch¿nh h¼nh n K½ hi»u C là trường sè phùc và C = f(z1; :::; zn)jzj 2 C; j = 1; :::; ng. K½ hi»u zj = xj + iyj; xj; yj 2 R; j = 1; :::; n, và ta vi¸t @ @ Dj = và Dj = ; @zj @zj trong đó @ = 1 ( @ − i @ ) và @ = 1 ( @ + i @ ): @zj 2 @xj @yj @zj 2 @xj @yj 6
9. Hơn núa, với méi j = 1; :::; n ta đặt dzj = dxj + idyj; dzj = dxj − idyj: Gi£ sû f :Ω ⊂ Cn ! C là hàm kh£ vi li¶n tục. Khi đó, ta định nghĩa: n X @f @f = dz ; @z j j=1 j n X @f @f = dz : @z j j=1 j Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω ⊂ Cn là mët tªp mở trong Cn. Khi đó, hàm f : Ω ! C được gọi là ch¿nh h¼nh trong Ω n¸u: a) f 2 C1(Ω); b) f thỏa m¢n phương tr¼nh Cauchy-Riemann @f = 0 tr¶n Ω: K½ hi»u H(Ω) là tªp hñp t§t c£ c¡c hàm ch¿nh h¼nh trong mi·n Ω. Ta nh­c m ∗ l¤i r¬ng ¡nh x¤ F = (f1; : : : ; fm):Ω ! C (m 2 N ) đưñc gọi là ch¿nh h¼nh n¸u fj :Ω ! C là ch¿nh h¼nh với mọi j = 1; 2; : : : ; m. K½ hi»u Aut(Ω) := ff :Ω ! Ω là song ch¿nh h¼nhg. Ta cũng nh­c l¤i r¬ng Aut(Ω) là mët nhóm với ph²p to¡n hñp thành và được gọi là nhóm tự đẳng c§u cõa mi·n Ω. Định lý 1.1.2 (Định lý hàm ngược). Gi£ sû Ω là tªp mở trong Cn và F :Ω ! Cn là ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. Gi£ sû r¬ng F 0(p) là kh£ nghịch t¤i méi điểm p 2 Ω (JF (z) 6= 0). Khi đó, tồn t¤i l¥n cªn V cõa p và l¥n cªn W cõa F (p) sao cho ¡nh x¤ F : V ! W là song ch¿nh h¼nh. Chùng minh. Theo gi£ thi¸t, ta có Ω là tªp mở trong Cn, F :Ω ! Cn là ch¿nh h¼nh và F 0(p) là kh£ nghịch t¤i méi điểm p 2 Ω. V¼ F 0(p) kh£ nghịch tr¶n Cn n¶n nó cũng kh£ nghịch tr¶n R2n. Do đó, theo Định lý hàm ngược đối với ¡nh x¤ trơn giúa c¡c mi·n trong R2n, tồn t¤i l¥n cªn V cõa p và l¥n cªn W cõa F (p) sao đưñc F : V ! W là mët vi phôi. K½ hi»u G = (g1; :::; gn): W ! V là ¡nh x¤ ngược cõa F . B¥y giờ, ta chùng minh r¬ng G = (g1; :::; gn) là ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. 7
10. V¼ G là ¡nh x¤ ngược cõa F n¶n ta có G(F (z)) = z; 8z 2 V . Điều này suy ra r¬ng gi(F (z)) = zi; 1 ≤ i ≤ n: L§y đạo hàm Dk và theo Định lý hàm hñp (The chain rule), ta được n X Dkgi(F (z)) = Djgi(F (z)):Dkf j(z) = 0: j=1 Pn Ta k½ hi»u cik = j=1(Dkfj(z))(Djgi(F (z))) v¼ Dkf j = Dkfj, 1 ≤ i; k ≤ n. Khi đó, ta có ma trªn C = AB, với A = (akj) = Dkfj(z) , B = (bji) = Djgi(F (z)). Mặt kh¡c, do JF (z) 6= 0 n¶n A kh£ nghịch. Do đó, điều này suy ra r¬ng B = 0. Tø đó, Djgi(F (z)) = 0; 8j = 1; :::; n và v¼ th¸ gi ch¿nh h¼nh. Vªy, ¡nh x¤ G là ch¿nh h¼nh. 1.2 Ánh x¤ ch¿nh h¼nh ri¶ng Định nghĩa 1.2.1. Gi£ sû X; Y là hai không gian tôpô. Ánh x¤ f : X ! Y được gọi là ri¶ng n¸u f −1(K) là compact trong X với mọi tªp compact K ⊂ Y . Gi£ sû Ω và Ω0 là c¡c mi·n trong Cn và Ck tương ùng. Gi£ sû ¡nh x¤ F :Ω ! Ω0 là ch¿nh h¼nh ri¶ng. K½ hi»u #(w) là sè c¡c điểm trong F −1(w) 0 với w = (w1; :::; wk) 2 Ω . K½ hi»u M là tªp không điểm cõa hàm J, tùc là M = Z(J), trong đó J là hàm Jacobi cõa F . Ảnh F (M) cõa M gọi là tªp tới h¤n cõa F . Méi w 2 F (M) gọi là gi¡ trị tới h¤n cõa F . Méi điºm cõa F (Ω) n F (M) được gọi là gi¡ trị ch½nh qui cõa F . M»nh đề 1.2.2. N¸u Ω và Ω0 là mi·n trong Cn và F :Ω ! Ω0 là ¡nh x¤ ri¶ng th¼ a) F (Ω) = Ω0 b) Tªp c¡c gi¡ trị ch½nh qui cõa F là tªp mở, li¶n thông và trù mªt trong Ω0. Định lý 1.2.3 (Định lý Rado). Gi£ sû Ω ⊂ Cn và f :Ω ! C là ¡nh x¤ li¶n tục và ch¿nh h¼nh trong Ω n ff = 0g. Khi đó, f ch¿nh h¼nh tr¶n Ω. 8