Luận văn Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa

Nội dung tài liệu: Luận văn Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN - - - - - - - - - - - - - - - - - - Nguyạn Thị Hồng HÔnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HÅ TIẾN HÂA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC Hà Nởi - Nôm 2019
2. ĐẠI HÅC QUẩC GIA HÀ NậI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN - - - - - - - - - - - - - - - - - - Nguyạn Thị Hồng HÔnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HÅ TIẾN HÂA Chuyản ngành: ToĂn giÊi tẵch MÂ số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC: TS. Trịnh Viát Dược Hà Nởi - Nôm 2019
3. Mục lục Lời cÊm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Mởt số kián thực chuân bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.Khụng gian tuyán tẵnh định chuân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. CĂc định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. ToĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Khụng gian cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.Họ tián húa trong khụng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2. Đặc trưng tẵnh nhị phƠn mũ mÔnh cừa họ tián húa. . . . . . . . 11 2.1.KhĂi niằm nhị phƠn mũ mÔnh theo mởt họ chuân . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.Đặc trưng tẵnh nhị phƠn mũ mÔnh cừa họ tián húa sinh bởi họ toĂn tỷ liản tục mÔnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.Đặc trưng tẵnh nhị phƠn mũ mÔnh cừa họ tián húa tờng quĂt . 28 2.4.Nhị phƠn mũ mÔnh khụng đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kát luên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liằu tham khÊo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1
4. LÍI CẢM ƠN Trước khi trẳnh bày nởi dung chẵnh cừa khúa luên, em xin bày tỏ lỏng biát ơn sƠu sưc tới Tián Sỹ Trịnh Viát Dược người đó tên tẳnh hướng dăn để em cú thº hoàn thành luên vôn này. Em cũng xin bày tỏ lỏng biát ơn chƠn thành tới toàn thº cĂc thƯy cụ giĂo trong khoa ToĂn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiản, ĐÔi Học Quốc Gia Hà Nởi đó dÔy bÊo em tên tẳnh trong suốt quĂ trẳnh học têp tÔi khoa. NhƠn dịp này em cũng xin được gỷi lời cÊm ơn chƠn thành tới gia đỡnh, bÔn b± đó luụn bản em, cờ vũ, động viản, giỳp đỡ em trong suốt quĂ trẳnh học têp và thực hiằn luên vôn này. Hà Nởi, ngày 19 thĂng 10 nôm 2019 Học viản Nguyạn Thị Hồng HÔnh 2
5. LÍI Mé ĐẦU Tẵnh hyperbolic cừa toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn được xĂc định qua phờ cừa toĂn tỷ, phờ cừa toĂn tỷ khụng cưt trục Êo. Perron vào nôm 1930 đó đặc trưng tẵnh hyperbolic cừa toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn thụng qua lớp cĂc Ănh xÔ liản tục và bị chặn, phương phĂp cừa Perron sau này cỏn được gọi là phương phĂp “input-output” (đƯu vào-đầu ra). Vã mặt hẳnh học, dĂng điệu nghiằm cừa phương trẳnh trẳnh vi phƠn gưn với toĂn tỷ hyperbolic (cỏn được gọi là hằ hyperbolic) giống với mặt ph¯ng pha cừa điºm yản ngựa. Khụng gian ban đầu được phƠn tĂch thành tờng trực tiáp cừa hai khụng gian con đúng mà nghiằm s³ bị co lÔi khi cú giĂ trị ban đầu thuởc mởt trong hai khụng gian con này (ựng với khụng gian con ờn định) và giÂn ra khi cú giĂ trị ban đầu thuởc khụng gian con cỏn lÔi (ựng với khụng gian con khụng ờn định). Tẵnh chĐt này được xem như là tẵnh cốt lói cừa hằ hyperbolic, vẳ vêy khi mở rởng khĂi niằm hyperbolic cho phương trẳnh trẳnh vi phƠn gưn với toĂn tỷ tuyán tẵnh khụng bị chặn hoặc phương trẳnh trẳnh vi phƠn gưn với cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh phụ thuởc thời gian (cỏn được gọi là hằ khụng ụtụnụm - “non autonomous”) thẳ tẵnh chĐt này luụn được bÊo toÊn. Tuy nhiản, do cú sự điãu ch¿nh vã mặt khĂi niằm nản cĂc hằ khụng ụtụnụm cú tẵnh chĐt hyperbolic thường được gọi là hằ cú nhị phƠn mũ. Sau này, khĂi niằm hyperbolic được tờng quĂt húa bởi Pesin thụng qua khĂi niằm hyperbolic khụng đều (hay nhị phƠn mũ khụng đều). X²t trong khụng gian hỳu hÔn chiãu hoặc khụng gian Banach, khĂi niằm hyperbolic khụng đều cho ph²p hằ số giÂn và co cừa cĂc quỹ đạo khụng bị chặn đều mà phụ thuởc vào thời điểm ban đầu. Do đú, đối với hằ hyperbolic khụng đều thẳ dĂng điệu nghiằm với điều kiằn ban đầu nơm trong khụng gian con ờn định hoặc khụng gian con khụng ờn định s³ bị xĐu đi mà khụng cú sự kiºm soĂt vã dĂng điệu. Tuy nhiản, khĂi niằm hyperbolic khụng đều được đưa ra bởi Pesin cú hằ số giÂn và co tông khụng quĂ hàm mũ. Chi tiát vã lý thuyát 3
6. hyperbolic khụng đều cừa Pesin và mối liản hằ cừa lý thuyát này với số mũ Lyapunov, chỳng tụi giới thiằu người đọc cĂc tài liằu [4, 3]. KhĂi niằm nhị phƠn mũ mÔnh theo mởt họ chuân cho trước được đưa ra và phĂt triºn bởi Luis Barreira và Claudia Valls. Trong luên vôn này, chỳng tụi s³ trẳnh bày chi tiát cĂc kát quÊ trong bài bĂo [5] cừa Luis Barreira và Claudia Valls xuĐt bÊn nôm 2017. Trong bài bĂo này, cĂc tĂc giÊ đưa ra đặc trưng tẵnh nhị phƠn mũ mÔnh cừa họ tián húa theo mởt họ chuân trong hai trường hủp: họ tián húa sinh bởi họ toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tục mÔnh và họ tián húa tờng quĂt, cĂc kát quÊ này được phĂt biºu và chựng minh theo phương phĂp cừa Perron mà đó đề cêp ở trản; và tẵnh tương đương giỳa họ tián húa cú nhị phƠn mũ mÔnh khụng đều (theo nghĩa Pesin) và họ tián húa cú nhị phƠn mũ mÔnh ựng với họ chuân nào đú. Vẳ vêy, bố cục luên vôn được chia thành hai chương. • Chương 1 trẳnh bày nhỳng kián thực cơ bÊn cừa giÊi tẵch hàm như là khụng gian tuyán tẵnh định chuân, toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn, khụng gian cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn và họ tián húa trong khụng gian Banach. • Chương 2 là nởi dung chẵnh cừa luên vôn. Chỳng tụi trẳnh bày chi tiát cĂc chựng minh trong bài bĂo [5] cừa Luis Barreira và Claudia Valls, đồng thời xƠy dựng mởt vẵ dụ minh họa cho khĂi niằm nhị phƠn mũ mÔnh theo mởt họ chuân cho trước với mục đớch hiºu ró hơn khĂi niằm này. Hà Nởi, ngày 19 thĂng 10 nôm 2019 Học viản Nguyạn Thị Hồng HÔnh 4
7. Chương 1 Mởt số kián thực chuân bị 1.1. Khụng gian tuyán tẵnh định chuân Trong mục này, chỳng tụi trẳnh bày lÔi mởt số kián thực cơ bÊn vã giÊi tẵch hàm mà s³ được sỷ dụng trong chương sau. CĂc kián thực này được tham khÊo trong hai cuốn sĂch [1, 2]. 1.1.1. CĂc định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Têp X 6= ; được gọi là khụng gian v²ctơ trản trường số K náu trản X xĂc định hai ph²p toĂn: cởng v²ctơ + : X ì X ! X và nhƠn mởt số vụ hướng với v²ctơ ã : K ì X ! X thỏa mÂn cĂc tiản đề sau. a) x + (y + z) = (x + y) + z với mọi x; y; z 2 X. b) Tồn tÔi θ 2 X sao cho x + θ = θ + x = x với mọi x 2 X. c) Với mội x 2 X tồn tÔi (−x) 2 X sao cho x + (−x) = (−x) + x = θ. d) x + y = y + x với mọi x; y 2 X. e) α(βx) = (αβ)x với mọi x 2 X và α; β 2 K. f) Với mọi x; y 2 X và α; β 2 K thẳ (α + β)x = αx + βx; 5
8. α(x + y) = αx + αy: g) 1x = x với mọi x 2 X. Định nghĩa 1.1.2. Cho X là mởt khụng gian v²ctơ trản trường K (K = R hoặc C). X được gọi là khụng gian tuyán tẵnh định chuân náu với mọi x 2 X xĂc định mởt số gọi là chuân cừa x, kẵ hiằu kxk, thỏa mÂn ba tiản đề sau: a) kxk ≥ 0 với mọi x 2 X. Đẳng thực xÊy ra khi và ch¿ khi x = θ. b) kλxk = jλjkxk với mọi x 2 X và λ 2 K. c) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x; y 2 X. Định nghĩa 1.1.3. DÂy fxng trong khụng gian định chuân X được gọi là hởi tụ tới x 2 X náu lim kxn − xk = 0, ký hiằu là xn ! x. n!1 Định nghĩa 1.1.4. DÂy fxng trong khụng gian định chuân X được gọi là dÂy cơ bÊn (hay dÂy Cauchy) náu lim kxn − xmk = 0. n;m!1 Định nghĩa 1.1.5. Khụng gian định chuân X được gọi là khụng gian Banach náu mọi dÂy cơ bÊn trong X đều hởi tụ đến mởt v²ctơ trong X. 1.1.2. ToĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn Định nghĩa 1.1.6. Cho X và Y là hai khụng gian v²ctơ trản trường K. Ánh xÔ A : X ! Y được gọi là tuyán tẵnh náu i) A(x + x0) = Ax + Ax0 với mọi x; x0 2 X. ii) A(αx) = αAx với mọi x 2 X và α 2 K. Định nghĩa 1.1.7. Cho X và Y là hai khụng gian định chuân. Ánh xÔ A : X ! Y được gọi là liản tục tÔi x0 2 X náu với mọi dÂy fxng ⊂ X sao cho xn ! x0 thẳ A(xn) ! A(x0). Chỳ ý 1.1.1. Náu A liản tục tÔi mọi điểm x0 2 X thẳ A được gọi là liản tục trản X. 6
9. Định nghĩa 1.1.8. Cho X và Y là hai khụng gian định chuân. ToĂn tỷ tuyán tẵnh A : X ! Y được gọi là bị chặn náu tồn tÔi hơng số C > 0 sao cho kAxk ≤ Ckxk; 8x 2 X: Khi đú, M := inffC > 0 : kAxk ≤ Ckxkg được gọi là chuân cừa toĂn tỷ A và kẵ hiằu là kAk. Định lý 1.1.1. Cho X; Y là hai khụng gian định chuân và A : X ! Y là toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn. Khi đú, kAk = sup kAxk = sup kAxk: kxk≤1 kxk=1 Định lý 1.1.2. Cho X; Y là hai khụng gian định chuân và A : X ! Y là toĂn tỷ tuyán tẵnh. Khi đú, cĂc kh¯ng định sau là tương đương. i) A là liản tục trản X. ii) A là liản tục tÔi điểm x0 nào đú thuởc X. iii) A là bị chặn. Định nghĩa 1.1.9. Cho X; Y là cĂc khụng gian tuyán tẵnh định chuân và D(A) là khụng gian con cừa X. ToĂn tỷ tuyán tẵnh A : D(A) ! Y được gọi là toĂn tỷ đúng náu với mọi dÂy fxng ⊂ D(A) thỏa mÂn xn ! x; Axn ! y thẳ x 2 D(A) và Ax = y. Định lý 1.1.3 (Định lẵ đồ thị đúng). Cho X; Y là cĂc khụng gian Banach và A : X ! Y là toĂn tỷ tuyán tẵnh. Khi đú, A là liản tục khi và ch¿ khi A là toĂn tỷ đúng. Định nghĩa 1.1.10. Cho họ (At)t2T gồm cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh At tứ khụng gian định chuân X vào khụng gian định chuân Y . Họ (At)t2T được gọi là bị chặn tứng điểm náu với mội x 2 X thẳ têp fAtx : t 2 T g là bị chặn. Họ (At)t2T được gọi là bị chặn đều náu têp fkAtk : t 2 T g là bị chặn. Định lý 1.1.4 (Nguyản lý bị chặn đều Banach - Steinhaus). Náu họ (At)t2T gồm cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tục tứ khụng gian Banach X vào khụng gian định chuân Y là bị chặn tứng điểm thẳ họ này bị chặn đều. 7
10. 1.1.3. Khụng gian cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn Cho hai khụng gian định chuân X và Y . Kẵ hiằu B(X; Y ) là têp hủp tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bị chặn tứ X vào Y , được trang bị hai ph²p toĂn như sau: tờng cừa hai toĂn tỷ A; B 2 B(X; Y ) là mởt toĂn tỷ, kẵ hiằu là A + B và xĂc định bởi (A + B)(x) = Ax + Bx; 8 x 2 X; tẵch cừa mởt số vụ hướng α 2 K với toĂn tỷ A 2 B(X; Y ) là mởt toĂn tỷ, kẵ hiằu là αA và xĂc định bởi (αA)(x) = α(Ax): Têp B(X; Y ) cựng với hai ph²p toĂn bản trản trở thành mởt khụng gian vộctơ trản trường K. Trong trường hủp X = Y , B(X; Y ) được ký hiằu là B(X). Mặt khĂc, với mội A 2 B(X; Y ) thẳ số kAk = sup kAxk kxk=1 tÔo thành mởt chuân trản khụng gian vộctơ B(X; Y ). Do đú, B(X; Y ) là khụng gian định chuân. Định lý 1.1.5. Náu Y là khụng gian Banach thẳ B(X; Y ) là khụng gian Banach. Định lý 1.1.6. Cho khụng gian Banach X và A 2 B(X). Náu kAk < 1 thẳ toĂn tỷ I − A khÊ nghịch và 1 X (I − A)−1 = Ak: k=0 1.2. Họ tián húa trong khụng gian Banach Trong phƯn này, chỳng tụi nhưc lÔi khĂi niằm họ tián húa sinh bởi mởt phương trẳnh vi phƠn trong khụng gian Banach. Với giÊ thiát họ cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh là liản tục mÔnh, họ tián húa sinh bởi mởt phương trẳnh vi phƠn trong khụng gian Banach s³ luụn tồn tÔi. Nởi dung cừa phƯn này được viát theo sĂch chuyản khÊo cừa Daleckii-Krein [6]. 8