Luận văn Công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

Nội dung tài liệu: Luận văn Công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------- HOÀNG VĂN KHÁNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------- HOÀNG VĂN KHÁNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội - 2015
3. MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................. 1 Chương 1 ........................................................................................................... 2 Một số kiến thức chuẩn bị ................................................................................. 2 1. Dãy số ........................................................................................................ 2 1.1 Một số khái niệm về dãy số ................................................................. 2 1.2 Cách xác định một dãy số ................................................................... 2 1.3 Một số dãy số đặc biệt ......................................................................... 2 2. Một số tính chất số học ............................................................................. 3 2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên ............................. 3 2.2 Hàm phần nguyên và số chính phương ............................................... 4 Chương 2 ........................................................................................................... 5 Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ........................ 5 1. Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa .......................................................................................................... 5 2.Phương pháp sai phân .............................................................................. 10 2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất ............................. 10 2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát ............................... 11 3. Phương pháp tìm công thức tổng quát dãy số bằng định hướng bởi công thức lượng giác ............................................................................................ 20 Chương 3 ......................................................................................................... 30 Một số bài toán liên quan đến công thức tổng quát của dãy số ...................... 30 1. Tính tổng của một dãy số ........................................................................ 30 2. Dãy số và tính chất số học của dãy số..................................................... 34 2.1 Tính chính phương của dãy số .......................................................... 34 2.2 Toán chia hết và phần nguyên .......................................................... 43 3. Dãy số và giới hạn của dãy số ................................................................. 52 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 69
4. LỜI NÓI ĐẦU Dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò quan trọng phục vụ cho việc tính toán trong phương trình hàm, lý thuyết biểu diễn, hay cụ thể hơn là những bài toán thực tế như tính lãi xuất ngân hàng, tính số nhiễm sắc thể, tính số phân bào Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập tới các bài toán dãy số. Tuy nhiên tài liệu này chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm công thức tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan như tính tổng, xét tính chất số học, tính giới hạn một vài dãy số Mục đích của luận văn là khái quát một cách hệ thống những phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số hay dùng và một số bài toán liên quan hay được đưa ra trong các kỳ thi học sinh giỏi, OLYMPIC 30/4, hay một số kỳ thi khác. Luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Luận văn tóm tắt một số định nghĩa và tính chất số học hay dùng Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Chương này tác giả đề cấp tới 3 phương pháp chính để tìm công thức tổng quát của dãy số: phương pháp đổi biến đưa về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa; phương pháp sai phân; phương pháp sử dụng định hướng bởi công thức lượng giác. Chương 3: Một số bài toán liên quan tới công thức tổng quát của dãy số Chương này đề cập tới vấn đề tính tổng dãy số bất kỳ, tính chất số học của dãy số, giới hạn của dãy số. Luận văn được hoàn thành với sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS. PHẠM VĂN QUỐC. Tác giả tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt để luận văn hoàn thành đúng thời hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã nhiệt tình giảng dạy cung cấp thêm cho chúng em kiến thức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến những người thân, bạn bè và các đồng nghiệp đã tận tình giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12/2015 Tác giả Hoàng Văn Khánh 1
5. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1. Dãy số 1.1 Một số khái niệm về dãy số Định nghĩa 1: Dãy un (hoặc un) là dãy các số u12, u , ..., un tuân theo một quy luật nào đó được gọi là dãy số. + Nếu dãy un có vô hạn phần tử ta nói dãy là dãy số vô hạn. + Nếu dãy có hữu hạn phần tử ta nói dãy là dãy số hữu hạn. + Số u1 được gọi là số hạng đầu của dãy, ui được gọi là số hạng thứ i của dãy (1 i). 1.2 Cách xác định một dãy số a. Dãy số cho bởi công thức tổng quát n Ví dụ 1: u . n n 1 1 2 3 n Có u : ; ; ;...; ;.... n 2 2 1 3 1n 1 b. Dãy số cho bởi công thức truy hồi Ví dụ 2 : Dãy Phibonacci uu12 1 (n 3). un u n 12 u n Khi đó un:1;1;2;3;5;... c. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả Ví dụ 3 : Cho số 3,141592653589... Lập dãy là giá trị gần đúng của , lấy từ số thập phân thứ nhất đến thứ n. Như thế ta có dãy u1 3,1; u 2 3,14; u 3 3,141;.... 1.3 Một số dãy số đặc biệt a. Cấp số cộng 2
6. Định nghĩa 2 : Dãy số u12, u ,..., un ,... được gọi là cấp số cộng với công sai d nếu unn 1 u d  n 1. Tính chất : 1i ; un u1 ( n 1) d  n 1 uu 2i ; u nn 11  n 2 n 2 uu 2u ( n 1) d 3i ; s u u .. u 1 n . n n .1 . nn12 22 b. Cấp số nhân Định nghĩa 3 : Dãy số u12, u ,..., un ,... được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu unn 1 u.1 q  n . Tính chất : n 1 1i ; un u1 . q  n 1 2 2i ; un u n 11 . u n  n 2 qn 1 3i ; s u u .. u u . nn1 2 1 q 1 2. Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên Định nghĩa 4 : Cho a, b Z ta nói a chia hết cho b (kí hiệu ab) hay a là bội của b hoặc b là ước của a nếu  kZ sao cho a bk . Trường hợp ngược lại ta nói a không chia hết cho b (kí hiệu ab ). Định nghĩa 5 : Cho số p Z ;2 p , ta nói p là số nguyên tố nếu p chỉ có 2 ước nguyên dương 1 và p. Định nghĩa 6 : Ta nói số a đồng dư b modul m nếu a và b cùng có số dư khi chia cho m. Kí hiệu : a b(mod m ) . Tính chất : 3
7. a  b(mod m ) a b  0 mod m a11 b(mod m )  a1 a 2  b 1 b 2 (mod m ) a22 b(mod m ) a11 b(mod m )  a1. a 2  b 1 . b 2 (mod m ) a22 b(mod m ) a  b(mod m ) akk  b (mod m ). 2.2 Hàm phần nguyên và số chính phương a. Hàm phần nguyên Định nghĩa 7: Phần nguyên của một số là số nguyên lớn nhất không vượt quá số đó. Kí hiệu : Cho số xR ta kí hiệu x là phần nguyên của số x . Tính chất : x a x a d(0 d 1; x 0) a x a 1  x a ( a Z: ; x 0) x  y  x y. b. Số chính phương Định nghĩa 8 : Số nN được gọi là số chính phương nếu kN sao cho nk 2 . Tính chất : Điều kiện cần để một số là số chính phương là số đó phải có chữ số tận cùng là 0,1, 4, 5, 6, 9 4
8. Chương 2 Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 1. Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Một dãy số bất kỳ, sau một hoặc một vài phép đổi biến khéo léo ta sẽ đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa. Từ đó sẽ tìm được công thức tổng quát của dãy số mới và dãy số đã cho. Cấp số cộng: Nếu unn 1 u d;  n thì công thức tổng quát un u1 ( n 1) d ( n 2). Cấp số nhân: n 1 Nếu unn 1  u.; q n thì công thức tổng quát un u1. q ( n 2). Dãy lũy thừa: k kn 1 Nếu unn 1  u n thì công thức tổng quát un u1 ( n 2). Chúng ta sẽ xét một số bài toán cụ thể sau để làm rõ hơn phương pháp này. Bài toán 1. Cho dãy số : u1 1 uunn 2 1 3. Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Đặt uvnn 3. vv11 22 Ta có dãy số vn 3 2( v n 11 3) 3 v n 2 v n . nn 1 Do vn là một cấp số nhân với vq1 2 ; 2 nên: vn v1.2 q . n Vậy un 23 là công thức tổng quát của dãy đã cho. Bài toán 2. Cho dãy số : uu12 1; 2 un 3 u n 12 2 u n ; ( n 3). 5
9. Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Ta có thể biến đổi : uu12 1; 2 un 2 u n 1 u n 1 2 u n 2 . Đặt vn u n2 u n 1 . v2 0 Ta có dãy (n 3) . vvnn 1 Vì vn là dãy số hằng nên vn 0. uu11 11 Do đó : un 2 u n 11 0 u n 2 u n . Nên un là cấp số nhân với uq1 1; 2. n Vậy un 2 . Bài toán 3. Cho dãy số u1 2 (n 2). unn u 1 21 n Tìm công thức tổng quát của un . Bài giải : 2 Đặt unn v n 2 n ta có dãy v1 1 22 vnn n 2 n v 1 ( n 1) 2( n 1) 2 n 1 v1 1 vvnn 1. Do đó vn là cấp số nhân với vq1 1, 1. Nên vn 1. 2 Vậy un n 21 n . Bài toán 4. Cho dãy số 6
10. u1 1 n (n 2). uunn 32 1 Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : n 1 Đặt uvnn 2 ta có dãy v1 5 n 1 n n vvnn 2 3( 1 2 ) 2 v1 5 vvnn 3. 1 nn 11 Có vn là cấp số nhân với vq1 5 , 3. Nên vn v1. q 5.3 . nn 11 Vậy có un 5.3 2 . Bài toán 5. Cho dãy uu01 1; 3 n (n 2). un 4 u n 12 3 u n 5.2 Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : n Đặt vunn 4.5.2 ta có dãy vv01 19 ; 43 n n 12 n n (n 2) vn 20.2 4( v n 12 20.2 ) 3( v n 20.2 ) 5.2 vv01 19 ; 43 vn 4 v n 12 3 v n 0 vv01 19 ; 43 vn 3 v n 1 v n 1 3 v n 2 . z1 14 Đặt zn v n3 v n 1 . Ta có dãy : zznn 1. v1 43 Vì zn là dãy hằng nên . Khi đó vvnn 3 1 14. 7